Координаты векторов сомножителей

Если , , то .                                          

Геометрический смысл модуля векторного произведения

параллелограмма                                                                                

треугольника                                                                                    

Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора , , . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют разные виды произведений.

     Рассмотрим подробно произведение называемое смешанным. Это. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, а затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение , затем – скалярное произведение .

Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом  или символом . Результатом смешанного произведения является число.

Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов , , . Вычислим предварительно . Имеем

  

или . Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме .                                  

Формула дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов , ,  записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя.

 Для смешанного произведения векторов справедливы равенства

.

Проверим, например, справедливость равенства . Согласно формуле) имеем . Как известно, при перестановке двух срок определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда, умножая обе части предыдущего равенства на (−1), получим .

Итак, . Модуль смешанного произведения трех векторов  равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора , ,  были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е.  или в координатной форме .                                          

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая линия

Из школьного курса математики известно, что в декартовой системе координат прямая линия может задаваться одним из уравнений:

,                                                   (4.1)

.                                               (4.2)

Первое равенство является уравнением вертикальной прямой линии, проходящей через точку  и параллельной оси . Второе уравнение задает линейную функцию, графиком которой является невертикальная прямая. Напомним геометрический смысл параметров  и , входящих в уравнение (4.2).

Будем обозначать прямые строчными латинскими буквами (возможно с нижними индексами).

Определение .Углом наклона   прямой   к оси  называется угол, откладываемый против часовой стрелки от положительного направления оси  до прямой :          .                                        

Рис. 4.1

Определение .Угловым коэффициентом невертикальной прямой  называется тангенс угла наклона  этой прямой к оси .

В действительности угловой коэффициент прямой  совпадает с коэффициентом  при  в уравнении (4.2), т.е. .                                              

Теперь положим  в уравнении (4.2), получим . Геометрически это означает, что число  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Определение. Уравнение прямой вида (4.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Замечание 4.1. Если задан угловой коэффициент  прямой , то угол наклона  этой прямой к оси  можно найти таким образом:

если ,                            

если ,                                 

Действительно, при  уравнение  эквивалентно уравнению . Если же , то  и, значит, , откуда находим, что , или .

Уравнение прямой,