Решение вырожденных систем линейных уравнений.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

 

Методические указания

для самостоятельной работы студентов

по направлению подготовки

38.03.01 – Экономика

 

 

Воронеж 2016

 

УДК 512.8

 

Раецкая, Е. В. Линейная алгебра [Текст]: методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 46 с.

 

    Печатается по решению учебно-методического совета

    ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»       (протокол № 5  от 22 апреля 2016 г.)

 

Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа ВГУ                                                                                Зубова С.П.

 

 

Содержание

Введение……………………………………………………………………………4

1.Матрицы и определители………………………………………………………5

2.Системы линейных уравнений ………………………………………………10

3. Векторная алгебра ……………………………………………………………..15

4. Аналитическая геометрия…………………………………………………….28

5. Кривые второго порядка……………………………………………………..36

 

Вопросы для контроля. ………………………………………………………….44

 

Библиографический список…………………………………………………...45

Введение

 

 Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным математическим понятиям и методам линейной алгебры, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели, при самостоятельной работе решаются следующие задачи:

- самостоятельное усвоение студентом теоретического материала, построенного  на основе четких формулировок и доказательстве основных теорем и выработка умения самостоятельно иллюстрировать  его примерами и задачами; самостоятельное  изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов; наряду с изучением основных теоретических результатов при самостоятельной работе с учебными материалами, необходимо обращать внимание на пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к техническим наукам;

- закрепление теоретического материала и выработка умения самостоятельно применять математические методы в различных приложениях.

В результате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:

- знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов курса математики;

- уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса математики, решать задачи и примеры по различным разделам высшей математики с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач самостоятельно выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по математике;

- иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

Студент по результатам освоения дисциплины «Линейная алгебра» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

 

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицей  А размера   называется таблица из  чисел

Часто для краткости пишу . Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент  находится на пересечении второй строки и первого столбца:

Элементы называются элементами главной диагонали матрицы или просто главной диагональю матрицы.

Матрица A, состоящая из одной строки называется строкой (вектор-строкой), матрица, состоящая из одного столбца называется столбцом (вектор-столбец). Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается , элементы транспонированной матрицы и исходной связаны соотношением .

Если матрица А имеет размер , то такую матрицу называют квадратной матрицей порядка . Две матрицы одинакового размера  и называют равными (при этом пишут А = В), если  , ; . (т.е., если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах в таблице).

Суммой двух матриц одинакового размера  и  называют матрицу размера такую, что

 ,         ;  .

.

Нулевой матрицей 0 называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции сложения матриц:

1. А+В=В+А (коммутативность),

2. (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность),

3. А+0=А.

Произведением матрицы размера   на число  называют матрицу того же размера такую, что ;  . Умножение матрицы  размера на матрицу  размера определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т.е. когда n=l. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом:

Произведением матриц АВ называется матрица

размера , у которой

,

Иначе говоря, элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

Единичной матрицей порядка  называется квадратная матрица вида

.

Каждой квадратной матрице можно сопоставить некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое через |A| или  Прежде чем дать общее определение этого понятия, определим его для матриц 2-го и 3-го порядков.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число

Общее понятие определителя дадим с помощью рекуррентной схемы, а именно, считая, что понятие определителя известно для матриц

п–1-го порядка, дадим его для матриц п-го порядка (фактически так и вводилось понятие определителя для матриц 3-го порядка).Определителем матрицы  порядка n называется число

Определитель матрицы  принято обозначать  , или  , или .

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы и транспонированной матрицы не изменяется т.е.

2. Общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя, т.е.

3. Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю:

4. Определитель, имеющий две равные строки или два равных столбца, равен нулю:

5. Определитель, две строки или два столбца которого пропорциональны, равен нулю:

6. При перестановке двух строк или двух столбцов определителя он умножается на –1:

 

7.  

8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число:

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Пусть дана матрица  

Выберем k строк и k столбцов в этой матрице и составим новую матрицу из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. Определитель полученной матрицы называется минором порядка k. Например, если выбрать вторую и третью строки, первый и третий столбец, то получим минор второго порядка

Рангом матрицы называется максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля.

Алгебраическим дополнением  элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента  есть число четное, или число, противоположное минору, если  нечетно, т.е. .

Обозначим через  матрицу, составленную из алгебраических дополнений матрицы .

 Квадратная матрица  называется обратной к квадратной матрице  того же порядка, если . При этом  обозначается .

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной. Тогда

 

,

то есть ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы , деленные на ее определитель. Отметим, что обратная матрица  определена однозначно т.е. существует только одна обратная матрица для заданной квадратной невырожденной матрицы

 

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Линейным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

где  и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

 Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

 Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида

 

                                               (2.1)

 

где , - числа, - неизвестные,  – число неизвестных, m – число уравнений.

 Решением системы линейных алгебраических уравнений называется набор чисел  которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

 Совместная систем линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера.

Определение. Матрицы

 

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (2.1).

Если ранг матрицы А равен рангуматрицы А ₁, то система совместна.

Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы а_ii в матрице А называются диагональными.

Метод Гаусса заключается в преобразованиях строк матрицы А ₁ так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, а _ii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i -й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо, и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид: 

 

Рассмотрим систему линейных алгебраическихуравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных:         

                                                  (2.2)                          

Для нахождения решения совместной определенной системы

уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, можно применять метод обратной матрицы и метод Крамера.

Рассмотрим систему линейных алгебраическихуравнений (2.2) и введем следующие обозначения:

- матрица системы,

- столбец неизвестных, 

- столбец свободных членов.

Тогда систему (2.2) можно записать в виде матричного уравнения:         АХ = В.                 (2.3)                                        

Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица      

Умножим обе части равенства () слева на   

Получим   Но  тогда , а поскольку

Итак, решением матричного уравнения (2.3) является произведение матрицы, обратной к   А,  на столбец свободных членов системы (2.2). Система решена методом обратной матрицы.

Назовем главным определителем системы (2.2) определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

 ,                                  (2.4)

 

а определителем - определитель, полученный из (2.4) заменой столбца коэффициентов при x_j на столбец свободных членов. Тогда, если  то система (2.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам:  

(система является совместной, определенной). Приведенные формулы и называются формулами Крамера.

Отметим, что если = =0, то система имеет бесконечно много решений (система является совместной, неопределенной).

 

Если = 0, а хотя бы один из  то система не имеет решений (система является несовместной).

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Пусть даны две точки А и В. Отрезок, соединяющий эти точки, будем называть направленным, если указаны начальная и конечная точка отрезка, т.е. на отрезке указано направление.

Вектором называется направленный отрезок. Векторы принято обозначать буквами а, b, c, …, или …, или  , или  указывая начальные и конечные точки.

Вектор называется нулевым, если начальная и конечная точки совпадают. В этом случае будем писать а = . Длиной вектора называется длина соответствующего ему направленного отрезка. Длина обозначается через | a | или .

Векторы а и b называются коллинеарными (при этом пишут a || b), если существует прямая   которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Иными словами, мы рассматриваем свободные векторы, начальные точки которых могут выбираться произвольным образом.

Сложение векторов.

Пусть даны векторы а и b. Совместим начальную точку вектора b с конечной точкой вектора а. Тогда вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой вектора а, а конечная – с конечной точкой b, называется суммой векторов а + b.

Совместим начальные точки векторов а и b и обозначим эту точку через О. Построим параллелограмм ОАСВ на сторонах этих векторов. Тогда вектор a + b. Тем самым получено эквивалентное определение суммы векторов, называемое правилом параллелограмма.

Видно, что       Таким образом, операция сложения векторов коммутативна: a + b = b + a.

Имеет место также свойство ассоциативности: (а + b) + c = a + (b + c).

Умножение вектора на число.

 Определение. Пусть даны вектор  и число . Произведением вектора  на число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину  и то же направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если . Если , то .

Следствие 1. Из определения умножения вектора на число следует, что если , то векторы  и  коллинеарны. Очевидно, что если  и  коллинеарные векторы, то . Таким образом, два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство .

Следствие 2. Противоположный вектор   можно рассматривать как произведение вектора   на , то есть . Отметим основные свойства операции умножения вектора на число, которые непосредственно вытекают из определения этой операции:

1. (  + )а = а + а.

2.  ( а) = ( )а.

3.  (a + b) = a + b.

Вычитание векторов.

Разностью двух векторов а и b называется вектор a – b = a + (-1)·b. Зафиксируем в пространстве некоторую точку О и три взаимно перпендик-улярных вектора единичной длины i, j и k. Совокупность точки О и векторов i, j, k называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пусть задан вектор а. Совместим его начальную точку с началом координат О, а через его конечную точку А проведем плоскости, перпендикулярные координатным осям. Пусть эти плоскости пересекают оси Ox, Oy, Oz в точках L, M, N соответственно.

Нетрудно убедиться, что          Поскольку вектора коллинеарны векторам i, j, k соответственно, то найдутся числа x₁, y₁, z₁ такие, что          Следовательно,  любой вектор а может быть представлен в виде a = x₁i + y₁j + z₁k.

Числа x₁, y₁, z₁ в представлении называются координатами вектора а. Вместе с равенством будет использоваться также запись вида

a = (x₁, y₁, z₁). Радиусом-вектором точки А называется вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а конец – с точкой А. Координатами точки А называются координаты радиус-вектора точки А. При этом, если    = (x₁, y₁, z₁),    будем писать А = { x₁, y₁, z₁}.

Пример. Найдем координаты вектора , если А = { x₁, y₁, z₁} и

В = { x₂, y₂, z₂}. Имеем   Отсюда

Прямую с заданным на ней направлением будем называть осью. Пусть дан вектор и ось l. Обозначим через С и D проекции точек А и В на ось l. Тогда проекцией вектора на ось l пр_l называется величина , если направление оси l совпадает с направлением вектора , и – в противном случае.

.

Пусть заданы векторы  и . Выберем в пространстве произвольную точку O и отложим от этой точки векторы  и .

Углом между векторами  и  называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым.

Пусть в пространстве заданы вектор  и ось  .

Обозначим через  и  проекции на ось  точек  и B соответственно. Построим вектор  и назовем его компонентом вектора   по оси .

Проекцией вектора  на ось  называется длина его компоненты  по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось ; противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления; нуль, если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде  или .

Выберем на оси  единичный вектор  имеющий то же направление, что и ось . Углом между векторами  и  называется угол между вектором  и осью .

  Проекция вектора  на ось  равна модулю вектора , умноженному на косинус угла  между вектором и осью: .                                           

 Если , то компонента есть нулевой вектор. Тогда и .

Итак, для любых углов . Опираясь на ранее рассмотренные линейные операции над векторами, можно убедиться, что для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств).   Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось: .                   

  Если вектор  умножить на число  , то его проекция на ось умножится на это число: .                                             

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Прямая линия

Из школьного курса математики известно, что в декартовой системе координат прямая линия может задаваться одним из уравнений:

,                                                   (4.1)

.                                               (4.2)

Первое равенство является уравнением вертикальной прямой линии, проходящей через точку  и параллельной оси . Второе уравнение задает линейную функцию, графиком которой является невертикальная прямая. Напомним геометрический смысл параметров  и , входящих в уравнение (4.2).

Будем обозначать прямые строчными латинскими буквами (возможно с нижними индексами).

Определение .Углом наклона   прямой   к оси  называется угол, откладываемый против часовой стрелки от положительного направления оси  до прямой :          .                                        

Рис. 4.1

Определение .Угловым коэффициентом невертикальной прямой  называется тангенс угла наклона  этой прямой к оси .

В действительности угловой коэффициент прямой  совпадает с коэффициентом  при  в уравнении (4.2), т.е. .                                              

Теперь положим  в уравнении (4.2), получим . Геометрически это означает, что число  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Определение. Уравнение прямой вида (4.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Замечание 4.1. Если задан угловой коэффициент  прямой , то угол наклона  этой прямой к оси  можно найти таким образом:

если ,                            

если ,                                 

Действительно, при  уравнение  эквивалентно уравнению . Если же , то  и, значит, , откуда находим, что , или .

Уравнение прямой,

Угол между прямыми

Пусть даны две прямые , .

Определение. Углом   между прямыми ,  называется угол, на который нужно повернуть прямую  против часовой стрелки, чтобы она совпала с прямой  (или стала ей параллельной)

.

Вычисление угла . Пусть прямые ,  заданы уравнениями

и .

Обозначим через ,  углы наклона прямых ,  к оси  и заметим, что , . Из определения угла между прямыми вытекает равенство , откуда находим, что .

Вычисление . В приложениях используется формула, выражающая  через угловые коэффициенты , :  , .     (4.7)                           

Для ее доказательства предположим, что прямые ,  не являются перпендикулярными, и воспользуемся известной формулой тригонометрии, тогда , что и требовалось.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

1.Матрицы и действия с ними.

2.Симметрическая, диагональная, единичная матрицы.

3. Ортогональная матрица.

4. Обратная матрица. 

5. Ранг матрицы.

6. Определители второго и третьего порядков.

7. Определители n-го порядка.

8. Определители n-го порядка и их свойства.

9. Алгебраические дополнения и миноры.

10. Вычисление определителей разложением по столбцу или по строке.

11. Системы линейных алгебраических уравнений. 

12. Методы решения систе