Идеальная индуктивность при синусоидальном токе

Под идеальной будем понимать катушку, активное сопротивление которой равно нулю (R_к=0). Пусть под действием приложенного напряжения по катушке течет синусоидальный ток i=I_mSinωt (рис.5.6,а). Этот ток создает переменное электромагнитное поле, изменение которого индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции (3) В любой момент времени, согласно второму закону Кирхгофа, эта ЭДС должна компенсировать приложенное напряжение, т.е.

где U_m= ωLI_m, откуда I_m= U_m/ωL или I=  U/ωL

Рисунок 5.6 – Идеальная индуктивность в цепи синусоидального тока: а) цепь с идеальной индуктивностью; б) временные диаграммы тока

Величина ωL=X_L имеет размерность [Ом] и называется индуктивным сопротивлением катушки.

Выражение (2.12) показывает, что для поддержания в цеп и синусоидального тока, напряжение в цепи должно быть синусоидальным, но по фазе опережать ток на угол π/2=90˚.

Временные диаграммы тока, напряжения и мгновенной мощности представлены на рисунке 5.6,б.

Мгновенная мощность рассматриваемой цепи:

Из полученного выражения видно, что мгновенная мощность рассматриваемой цепи изменяется по синусоидальному закону, но с двойной частотой. В течение первой четверти периода, когда ток в цепи нарастает от нуля до максимального значения, направления тока и ЭДС самоиндукции противоположны, а направления тока и напряжения совпадают. Мгновенная мощность положительна. Это означает, что в этом интервале времени катушка потребляет энергию от источника и запасает ее в своем магнитном поле (W_M=Li²/2).

Во второй четверти периода ток убывает от максимального значения до нуля. ЭДС самоиндукции и ток совпадают по направлению. Напряжение и ток направлены противоположно и мгновенная мощность отрицательна. Это означает, что в этом интервале времени катушка становится источником электрической энергии и отдает в цепь запасенную в магнитном поле энергию. Так как активное сопротивление катушки равно нулю (по условию), то есть, активных потерь в цепи нет, то вся запасенная энергия полностью возвращается. В третьей и четвертой четвертях периода процессы повторяются. Катушка вновь запасает энергию и возвращает ее источнику.

Таким образом, в цепи с идеальной катушкой индуктивности происходит периодический обмен энергией между катушкой и источником. Средняя (активная) мощность оказывается равной нулю. Источник не расходует энергии, т.к. активные потери отсутствуют.

Для количественной оценки интенсивности обмена электрической энергией между источником и катушкой вводят понятие реактивная мощность. Она равна амплитудному значению мгновенной мощности:

  Единицей измерения реактивной мощности является Вольт Ампер реактивный [ВАр].

 

          Емкость при синусоидальном напряжении

/

На рисунке 5.7 показана схема подключения конденсатора к источнику синусоидального напряжения u=U_mSinωt.

Если пренебречь потерями в проводах, то внешнее напряжение в любой момент времени равно напряжению на конденсаторе. Учитывая известное соотношение q=cU_c, ток в цепи

Рисунок 5.7 – Схема подключения конденсатора к источнику переменного напряжения

Таким образом, ток в цепи с конденсатором опережает напряжение по фазе на угол π/2. Величина ωCU_m=I_m откуда действующее значение тока

Величина 1/ωC=X_c имеет размерность Ом и называется емкостным сопротивлением конденсатора.

На рисунке 5.8 показаны временные диаграммы тока, напряжения и мгновенной мощности.

Рисунок 2.8 – График временной диаграммы тока, напряжения и мгновенной мощности на конденсаторе.

Энергетические процессы в цепи с конденсатором аналогичны цепи с идеальной катушкой. Здесь так же происходит периодический обмен энергией между источником и конденсатором, причем энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Так же, как и в цепи с идеальной катушкой, вводят понятие реактивная мощность

Реактивная мощность может иметь как индуктивный Q_L, так и емкостной Q_C характер.