Реакции первого порядка. Выражение для константы скорости, времени полупревращения.

Реакции первого порядка – это реакции, в которых показатель степени в уравнении зависимости скорости от концентрации, в которую возводится концентрация, равен единице. Все реакции радиоактивного распада являются реакциями первого порядка. Также можно привести в пример реакции изомеризации, распада некоторых молекул в газовой фазе: N2O5, CH3-O-CH3 и т. д. Выражение для мгновенной скорости реакции по какому-либо из реагентов записывается в виде:

, где v – мгновенная скорость, dc – бесконечно малое изменение молярной концентрации, dt – бесконечно малый промежуток времени.

Напомним, что знак минус перед правой частью уравнения ставиться для того, чтобы скорость была положительной величиной (изменение концентрации реагента – величина отрицательная, так как концентрация реагентов во время протекания реакции уменьшается).

По закону действующих масс – закону Гульберга-Вааге, скорость реакции прямо пропорциональная концентрации. Для реакций первого порядка (порядок – показатель степени, в которую возводится концентрация) математическое выражение этого закона принимает вид:

 , где k – константа скорости.

Приравняем правые части приведённых выше уравнений друг к другу:

Разнесём переменные:

Для того чтобы понять сколько вещества вступит в реакцию за определенный интервал времени, нам необходимо решить данное дифференциальное уравнение, т. е. найти его первообразную.

Запишем выражение для вычисления определённого интеграла, чтобы в дальнейшем не решать задачу Коши (решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, для нас это исходная концентрация и исходное время). Хотя, можно поступить иначе и вычислить неопределённый интеграл данного уравнения, а затем через начальные условия определить константу интегрирования (т. е. решить задачу Коши).

Для нахождения интеграла вспомним, что:

, где С – постоянная интегрирования

Результат интегрирования следующий:

 

Запишем уравнение иначе:

Потенцируем уравнение:

Отсюда найдем уравнение для нахождения концентрации регента в момент времени t:

Если изменить порядок действий, то легко прийти к уравнению для нахождения константы реакции первого порядка:

Выведем уравнение для нахождения константы реакции первого порядка через период полупревращения.

Период полупревращения – время, которое необходимо для превращения половины исходного количества вещества.

Т. е. к моменту времени t молярная концентрация вещества будет равна ½ её исходного значения:

 

Для решения расчётных задач можно использовать формулу:

Из формулы видно, что время полупревращения для реакций первого порядка не зависит от количества, или концентрации исходного вещества.

Приведём уравнение

к виду

Это уравнение есть ни что иное как линейная зависимость ln(c) от t.

Построим график этой зависимости.

Отсюда, константа скорости реакции первого порядка численно равна тангенсу угла наклона прямой к оси t.

Определим размерность константы реакции первого порядка. Для этого в уравнение:

подставим размерности скорости и молярной концентрации:

Отсюда размерность константы реакции первого порядка.