Краткие теоретические сведения. Для статистической оценки показателей качества и выполнения сравнительного анализа

Для статистической оценки показателей качества и выполнения сравнительного анализа необходимо знать закон распределения случайной величины.

При числе наблюдений более 50 для идентификации закона распределения используют критерий Пирсона  (хи-квадрат) При числе наблюдений более 15, но менее 50 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий ( -критерий). При числе измерений менее 15 принадлежность экспериментального распределения нормальному закону не проверяется [1].

Согласно критерию Пирсона ( )контролируют отклонение гистограммы экспериментальных данных от теоретической кривой, построенной для такого же числа интервалов. Идея заключается в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от теоретической кривой, построенной на основе нормального закона распределения для такого же числа интервалов, что и при построении гистограммы.

Если , то гипотеза о подчинении выборки нормальному закону распределения не отвергается.

Величина  определяется по формуле:

(5.1)

где  - частота попадания экспериментальных данных в -й интервал гистограммы; - теоретическая частота попадания данных в -й интервал гистограммы; - число интервалов гистограммы распределения.

Величина  есть мера суммарного отклонения между теоретической моделью (кривой рассматриваемого закона распределения) и экспериментальным распределением Если бы выбранная модель в центрах всех интервалов (столбцов) совпадала с экспериментальными данными, то все разности  были бы равны нулю, значение  тоже было бы равно нулю.

Допустимая величина отклонений  зависит от уровня значимости  и числа степеней свободы  и определяется по прилож. 4:

(5.2)

Уровень значимости - это вероятность совершения ошибки 1-го рода, т.е. вероятность отклонения верной гипотезы. Ошибка 2-го рода заключается в принятии ложной гипотезы. Обычно принимают . В данной учебной работе можно принять . В случае, когда , вероятность того, что верная гипотеза не будет принята, составляет 10%.

Число степеней свободы  определяют по формуле:

(5.3)

где  – число интервалов,  - число параметров закона распределения (для нормального закона распределения параметрами являются среднее арифметическое значение  и СКО , т.е. ).

2.  Практические задания

1. Определить максимальное  и минимальное  значения в выборке.

2. Построить гистограмму экспериментальных данных по данным столбцов 2, 3 и 5:

2.1. Определить длину интервала  определяется по формуле Стерджеса (результат округляют до целого числа) [1, 6].

(5.4)

2.2. Разбить выборку на  интервалов длиной  начиная с интервала, включающего  до интервала, включающего .

2.3. Для каждого интервала установить верхнюю и нижнюю границы и определить количество результатов, попавших в этот интервал, т.е. экспериментальную частоту .

2.4. Результаты занести в табл. 5.1 (столбцы 1, 2, 3, 4, 5).

3. Построить теоретическую кривую нормального распределения по данным столбцов 4 и10:

3.1. Определить среднее арифметическое значение для середин интервалов:

(5.5)

 

3.2. Определить среднее квадратическое отклонение:

(5.6)

3.3. Для середины каждого интервала вычислить значения коэффициента  (значения определяют с точностью до второго знака после запятой). Результаты занести в 8-ой столбец таблицы 5.1:

(5.7)

3.4. Установить значения плотности нормального распределения  по приложению 5 и занести в столбец 9.

3.5. Вычислить теоретическую частоту попадания результатов измерений в й интервал (столбец 10):

(5.8)

4.. Для правильного построения теоретической кривой нормального распределения необходимо вычислить три дополнительные точки  для значений по оси абсцисс , которая является вершиной кривой и  и , которые являются точками перегиба кривой (табл. 5.2). Вычислить значение критерия Пирсона по формуле (5.1) и заполнить табл. 5.2.

5. Рассчитать число степеней свободы  по формуле 5.3.

6. Значения допустимого значения определить по прилож. 4.

7. Сравнить  с рассчитанным и установить адекватность теоретических и экспериментальных данных .