Краткие теоретические сведения. Точечная оценка - это оценка параметра, выражающаяся одним числом

Точечная оценка - это оценка параметра, выражающаяся одним числом. Точечная оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Под интервальными характеристиками, в частности, понимают доверительный интервал. Доверительный интервал – это числовой интервал, между границами которого с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра [1].

Вероятность того, что случайная величина (отдельный результат измерений  или его истинное значение  попадет в заданный интервал, называют д оверительной вероятностью .

(3.1)

где  – уровень значимости (вероятность того, что правильная гипотеза будет отвергнута);  – значение оцениваемого параметра; – соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала.

Ширина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки  (уменьшается с ростом ) и значения доверительной вероятности   (увеличивается с приближением  к 1).

Для нормального закона распределения доверительный интервал выбирается симметричным относительно искомого параметра, под которым понимают точечную оценку . Границы доверительного интервала при оценке отдельного (единичного) результата измерения можно определить по формуле:

(3.2)

где   – аргумент функции Лапласа, принимаемый в зависимости от доверительной вероятности (Приложение 1).

Использование нормального распределения для обработки конечных совокупностей случайных величин (выборок) возможно, если количество измерений достаточно велико (более 20). При отличии закона распределения случайной величины от нормального необходимо построить его математическую модель и определять доверительный интервал с её использованием.

При малом количестве измерений расчет границ доверительного интервала можно выполнить с использованием распределения Стьюдента.

Распределение плотности вероятностей по этому закону зависит не только от значения случайной величины, но и от числа измерений. Границы доверительного интервала для истинного значения параметра определяют по формуле 3.3:

(3.3)

где  – число измерений;  – коэффициент Стьюдента по Приложению 2;  - среднее квадратическое отклонение (СКО) среднего арифметического значения:

(3.4)

СКО среднего арифметического значения оценивает рассеивание точечных оценок, т.е. получение различных значений среднего арифметического при повторении несколько раз серии из  измерений. При увеличении количества измерений повышается точность определения статистических характеристик, т.е. уменьшается отклонение от истинного значения. Поэтому уменьшается доверительный интервал для истинного значения (рис. 1).

Рисунок 1 – Графическое сравнение интервалов