Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона.
И снова, начнём с общей формулы. Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через . На практике отрезков может быть: Итак, наше разбиение имеет следующий вид: Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: – сумма первого и последнего значения подынтегральной функции; Пример. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков Решение: Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид: Вычислим шаг разбиения: Заполним расчетную таблицу: В результате: Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид: Вычислим шаг разбиения: Заполним расчетную таблицу: Найдём абсолютное значение разности между приближениями: Так как больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: . Формула Симпсона: Вычислим шаг: И снова заполним расчетную таблицу: Таким образом: Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздкаОцениваем погрешность: Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:
Ответ: с точностью до 0,001 Метод прямоугольников. Вычислить определённый интеграл приближённо: Решение: Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка): Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того, Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников: При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков: Запишем формулы в общем виде. Если функция непрерывна на отрезке , и он разбит на равных частей: , то определённый интеграл можно вычислить приближенно по формулам: В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй - На практике рассчитываемые значения удобно заносить в таблицу: ПР№8. «Приближенное вычисление по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона»
ТЕМА 9 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 -го порядка называется выражение вида , т.е. уравнение, содержащее неизвестную, искомую функцию y=y(x) и ее производную. Решением дифференциального уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в верное тождество. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной х и произвольной независимой постоянной С. (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними). Определение: Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего условию (4) где числа – заданные числа, называется задачей Коши. Условие (4) называется начальным условием. Решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию (4), называется решением задачи Коши и записывается в виде . (5) Решить задачу Коши (5) означает найти интегральную кривую дифференциального уравнения, которая проходит через заданную точку . Примеры. Пример№1: Решить дифференциальные уравнения: а) ; б) . Решение: а) Приведём уравнение к виду ; . Интегрируем обе части уравнения: ; . Ответ: . б) Приведём уравнение к виду: ; . разделим обе части уравнения на : . Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: ; . Применим основное логарифмическое тождество или , получим или . При делении на могли быть потеряны решения . Очевидно, что является решением данного уравнения при C=0, а – нет. Таким образом, формула , где С – произвольная постоянная, задаёт все решения данного уравнения. Ответ: . Пример №2: Найдите решения задачи Коши: а) б) Решение: а) Найдём общее решение дифференциального уравнения. ; . Интегрируем обе части уравнения: ; . – общее решение дифференциального уравнения. Подставим начальное условие в общее решение, получим . Так как по условию , то С=1. Тогда частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид . Ответ: . б) Найдём общее и частное решение дифференциального уравнения. ; . Интегрируем обе части уравнения: ; . – общее решение дифференциального уравнения. Подставим начальное условие в общее решение, получим . Так как по условию , то –1+С=3, С=4. Тогда частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид . Ответ: .
Решите следующие задачи. 1. Решите дифференциальные уравнения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 2. Найдите решения задачи Коши: а) в) д) б) г)
Дифференциальное уравнение второго порядка, содержит: Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
2.Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль. Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение: По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно: – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить. Существуют три варианта развития событий. Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так: , где – константы. Пример. Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: , Ответ: общее решение:
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 549; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.6.75 (0.049 с.) |