Исследование функции при помощи производных

Возрастание и убывание функций

Теорема 1. (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция  возрастает (убывает), то  для любого .

Теорема 2. (достаточные условия). Если функция  дифференцируема на интервале (a;b) и  для любого , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Теоремы 1 и 2 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность (функция, убывающая или возрастающая, называется монотонной).

Пример. Исследовать функцию =x³-3x-4 на монотонность.

Решение:

     +             -               +

                                                        Х

            -1                    1

при , при

Ответ: даннаяфункция возрастает при   и убывает

Максимум и минимум функций

Теорема (необходимое условие). Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: =0.

Теорема (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция  дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки  и при переходе через нее (слева на право) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то  - точка минимума.

Удобно использовать другой достаточный признак существования экстремума основанный на определении знака второй производной.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема. Если функция  во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх.

Если же  для любого  - график выпуклый вниз.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная  при переходе через точку в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Общая схема исследования функции и построения

Графика функции

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых >0 или <0).

4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти интервалы монотонности функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.

1.

2.

Точка (0;0)- точка пересечения графика с осями ОХ и ОУ.

3. Функция знакоположительна (у>0) в интервалах  и , знакоотрицательна – в  и

4. Функция   является нечетной т.к. . Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при .

5. Прямые х = 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптотами.

Выясним наличие наклонной асимптоты.

 

Следовательно, есть горизонтальная асимптота ее уравнение у=0. Наклонных асимптот нет.

Прямая у=0 является асимптотой и при , и при .

6. .

Так как у’>0 в области определения, то функции является возрастающей на каждом интервале области определения.

7. Т.к. , то критическими точками является точки х₁ = -1 и х₂ = 1.

Данные точки не принадлежат области определения функции, значит, функция экстремумов не имеет.

8. Найдем

Точка (0;0) – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах  и ; выпуклый вниз на интервалах  и

Практическая работа №3. «Исследование функции и построение графика»

ТЕМА 4.