Понятие линейного отображения

 

Всюду определенная функция : V1 ⟶ V2 называется линейным отображением, если .

 

Любой изоморфизм векторных пространств является линейным отображением.

 

Нулевое отображение - отображение : V1 ⟶ V2, сопоставляющее каждому элементу х из V1 элемент 0 из V2.

Тождественное отображение - отображение : V ⟶ V, сопоставляющее каждому элементу х его же, то есть .

Проектирование пространства V на подпространство U параллельно пространству W: пусть векторное пространство V является прямой суммой подпространств U и W. Каждый вектор однозначно представим в виде суммы

y + z, где  и . Положим . Пусть x1 = y1 + z1, x2 = y2 + z2. Поскольку

x1 + x2 = (y1 + y2) + (z1 + z2), .

 

Свойства линейного отображения: Пусть  - линейное отображение пространств V1 ⟶ V2. Тогда 1) (0) = 0; 2) Если a1, a2,..., an - линейно зависимая система векторов из V1, то (a1), (a2), …, (an) - линейно зависимая система векторов из V2.

 

Ядро и образ линейного отображения

 

Пусть  - линейное отображение пространств V1 ⟶ V2. Обозначим U множество тех элементов x из V1, для которых (x) = 0: U = {x ∈ V1 | (x) = 0} - ядро отображения  - Ker .

Обозначим W множество тех элементов z из V2, для которых найдется элемент x такой, что (x) = z - образ отображения  - Im .

 

Ядро линейного отображения является подпространством пространства V1. Образ линейного отображения является подпространством пространства V2.

 

Дефект ядра - размерность ядра линейного отображения.

Ранг образа - размерность образа линейного отображения.

 

Пусть V1 - конечномерное пространство. Тогда сумма ранга и дефекта любого линейного отображения : V1 ⟶ V2 равна размерности пространства V1.

 

Матрица линейного отображения

 

Пусть V1 и V2 - конечномерные векторные пространства над полем F,  - линейное отображение V1 ⟶ V2. Зафиксируем некоторые базисы в пространствах V1 и V2:

● a1, a2,..., am - базис пространства V1, в частности, dim V1 = m;

● b1, b2, …, bn - базис пространства V2, в частности, dim V2 = n.

Пусть x - произвольный вектор из V1. Распишем его через базис пространства V1:

● x = x1a1 + x2a2 + … + xmam.

Тогда (x) = x1 (a1) + x2 (a2) +... + xm (am). Значит, чтобы вычислить образ элемента х нам достаточно знать образы базисных векторов a1, a2,..., am.

Вывод: образы базисных векторов пространства V1 являются системой образующих для образа отображения .

Выразим образ (ai) каждого базисного вектора через базис пространства V2:

(ai) = a1ib1 + a2ibi + … + anibn.

Запишем координаты вектора в виде столбца:

Вся информация, которая нам нужна про , собрана в столбцах (ai).

 

Матрица линейного отображения - таблица, составленная из координат образов базисных векторов, полученных при линейном

отображении  - [ ].

 

(x) = x1 (a1) + x2 (a2) +... + xm (am) = x1(a11b1 + a21b2 + … + an1bn) + x2(a12b1 + a22b2 + … + an2bn) + … + xm(a1mb1 + a2mb2 + … + anmbn)

[ (x)] = [ ][x]

При фиксированных базисах пространств V1 и V2 получаем отображение φ: ⟶ [ ].