Базис векторного пространства

 

Система векторов Σ векторного пространства V называется системой образующих этого пространства, если любой вектор из V линейно выражается через какие-то вектора из системы Σ.

 

Если Σ — система образующих векторного пространства V и вектор a ∈ Σ линейно выражается через другие вектора системы Σ, то и система Σ \ {a} является системой образующих пространства V.

 

Базис векторного пространства - линейно независимая система образующих.

Базис плоскости - произвольная пара неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости.

Базис обычного трехмерного пространства - произвольная тройка некомпланарных векторов этого пространства.

Стандартный базис пространства   - система векторов e1, e2,..., en.

 

Если в ненулевом векторном пространстве V есть конечная система образующих, то в V есть и конечный базис.

 

Если в векторном пространстве есть базис из n векторов, то и любой базис этого пространства содержит ровно n векторов.

 

Если у векторного пространства V есть система из n образующих, то любая линейно независимая система в V содержит не больше n векторов. Если в V есть линейно независимая система из n векторов, то любая система образующих пространства V содержит не менее n векторов.

 

В пространстве с конечным базисом каждая линейно независимая система может быть дополнена до базиса.

 

Размерность пространства - число векторов в базисе (если у векторного пространства есть конечный базис) - dim V.

 

Пусть V — ненулевое векторное пространство, a1, a2,..., an — базис этого пространства и x ∈ V. Тогда существуют, и притом единственные, скаляры t1,t2,...,tn такие, что x = t1a1 + t2a2 + · · · + tnan - разложение вектора x по базису a1, a2,..., an. Скаляры t1,t2,...,tn называются координатами вектора x в базисе a1, a2,..., an - x = (t1,t2,...,tn).

 

Пусть V — векторное пространство, x, y ∈ V, а t — произвольный скаляр. Если в некотором базисе a1, a2,..., an вектор x имеет координаты (x1, x2,..., xn), а вектор y — координаты (y1, y2,..., yn), то вектор x + y имеет в том же базисе координаты (x1 + y1, x2 + y2,..., xn + yn), а вектор tx — координаты (tx1,tx2,...,txn).

 

Векторные пространства V1 и V2 над одним и тем же полем F изоморфны, если существует биекция f из V1 и V2 (называемая изоморфизмом) такая, что f сохраняет операции, т.е. ∀x1, x2 ∈ V1 ∀t ∈ F f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) и f(tx) = t * f(x).

 

Любое n-мерное векторное пространство V над полем F изоморфно пространству .

 

-----------Подпространства-----------

 

Непустое подмножество M векторного пространства V над полем F называется подпространством пространства V, если выполняются следующие условия:

1) если x, y ∈ M, то x + y ∈ M (замкнутость подпространства относительно сложения векторов);

2) если x ∈ M, а t ∈ F, то tx ∈ M (замкнутость подпространства относительно умножения вектора на скаляр).

 

Нулевой вектор содержится в любом подпространстве M пространства V.

 

Пусть V — произвольное векторное пространство и a1, a2,..., ak ∈ V. Обозначим через M множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1, a2,..., ak. Пусть x, y ∈ M, т. е. x = s1a1 + s2a2 + · · · + skak и y = t1a1 + t2a2 + · · · + tkak для некоторых скаляров s1,s2,...,sk и t1,t2,...,tk. Пусть, далее, t — произвольный скаляр. Тогда

 x + y = (s1a1 + s2a2 + · · · + skak) + (t1a1 + t2a2 + · · · + tkak) = (s1 + t1)a1 + (s2 + t2)a2 + · · · + (sk + tk)ak и tx = t(s1a1 + s2a2 + · · · + skak) = (ts1)a1 + (ts2)a2 + · · · + (tsk)ak.

Мы видим, что x + y,tx ∈ M, т. е. M — подпространство пространства V. Оно называется подпространством, порожденным векторами a1, a2,..., ak, или линейной оболочкой векторов a1, a2,..., ak - 〈a1, a2,..., ak〉.

 

Пусть V — векторное пространство и a1, a2,..., ak ∈ V. Тогда 〈a1, a2,..., ak〉 — наименьшее подпространство пространства V, содержащее вектора a1, a2,..., ak.

 

Пусть M — подпространство векторного пространства V. Тогда dim M ≤ dim V, причем dim M = dim V тогда и только тогда, когда M = V.