Построение поля комплексных чисел

 

Множество ℂ комплексных чисел — это декартов квадрат ℝ × ℝ множества ℝ действительных чисел.

Комплексное число — это упорядоченная пара (a, b) действительных чисел a и b.

Число a называется действительной частью числа z = (a, b) - Re z, а число b — мнимой частью числа z = (a, b) - Im z.

 

Мнимая часть комплексного числа — это действительное число.

 

Суммой комплексных чисел z1 = (a, b) и z2 = (c, d) называется число

z1 + z2:= (a + c, b + d), а их произведением называется число z1z2:= (ac − bd, ad + bc).

 

Ось абсцисс - действительная ось; ось ординат - мнимая ось.

 

Мнимая единица - комплексное число i:= (0, 1).

Алгебраическая форма числа (a, b) - выражение a + bi.

Если x = a + bi — комплексное число, то число a − bi называется комплексно сопряженным к x - .

 

Свойства операции комплексного сопряжения: Если x и y — произвольные комплексные числа, то: 1)  = x; 2) x =  тогда и только тогда, когда x — действительное число; 3) x +  — действительное число; 4) x ·  — действительное число; более того, x ·  ≥ 0, причем x ·  = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; 5)  =  + ; 6)  =  ·

 

Если z ∈ ℂ \ ℝ — комплексное число, не являющееся действительным, то z и  — корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом. Обратно, корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом — комплексно сопряженные числа.

 

Комплексные числа в тригонометрической форме

 

Пусть комплексное число z = a + bi изображается на плоскости точкой M(a, b).

Модуль числа z - длина отрезка ОМ - |z|.

Аргумент числа z - угол между положительным направлением действительной оси и отрезком OM (при z  0) - arg(z).

У числа 0 аргумент не определен.

 

Свойства модуля комплексного числа: Если x и y — произвольные комплексные числа, то: 1) |x| = | |; 2) x ·  = ; 3) |x + y| ≤ |x| + |y|.

 

Тригонометрическая форма числа - выражение r(cos  + i sin ), если r — модуль, а  — аргумент комплексного числа a + bi.

●

●

●

Формула Муавра:

 

Корень степени n из комплексного числа z - комплексное число w такое, что  = z, если n - натуральное число.

Если z = r(cos  + i sin ) — произвольное комплексное число, отличное от 0, а n — произвольное натуральное число, то корень n-й степени из z имеет ровно n различных значений, которые могут быть вычислены по формуле

, где k = 0, 1,.., n - 1.

Корень n-й степени из 1 имеет ровно n различных значений ε0, ε1,..., εn−1, которые могут быть вычислены по формуле

, где k = 0, 1,.., n - 1.

 

Корни n-й степени из 1 располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность {z ∈ ℂ: |z| = 1}.

 

Основная теорема алгебры комплексных чисел: В ℂ можно извлекать корни любой степени из любого комплексного числа. В ℂ есть корни у алгебраического уравнения любой степени с произвольными комплексными коэффициентами.

 

Тема 4: Векторные пространства