Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой M_o называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой M_e называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R = x_max - x_min.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение:

Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m = n =10. Следовательно, Р (А)=1. Событие А достоверное.

Ответ: Р (А)=1.

Пример 2. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по немецкому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение:

Обозначим события:

А – студенты, не имеющие двоек по предметам.

 - студенты, имеющие двойки по предметам.

И – студенты, получившие двойку по истории, ,

Н – студенты, получившие двойку по немецкому языку, ,

ИН - студенты, получившие двойки по обоим предметам .

Так как события И и Н совместные, то найдем Р() по теореме сложения совместных событий

Так как события А и  противоположные, то найдем Р(А) по формуле

Ответ: .

Пример 3. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение:

Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через  обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Ответ: Р(В) = 0,135.

Пример 4. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение:

Возможны три гипотезы:

 - на линию огня вызван первый стрелок,

 - на линию огня вызван второй стрелок,

 - на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы  после опыта:

Ответ: 0,628.

Пример 5. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение:

Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности

, .

По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

.

Ответ: 8/27.

Пример 6. Стрелок произвел 150 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Решение:

Число попаданий в мишень распределено по биноминальному закону при n=150 и Р=0,9. тогда , .

Ответ: , .

 

Пример 7. Монету бросают два раза. Составить таблицу распределения числа появлений герба и построить график этого распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Решение:

Х – число появлений герба при двукратном бросании монеты, которое может принимать значения , , .

А – событие, состоящее в появлении герба.

Тогда

,

Закон распределения:

х	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25

Ответ: , .

х	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25

 

Пример 8

По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3. Требуется:

– составить вариационный ряд и построить полигон частот;

Решение: в условии прямо сказано о том, что перед нами выборка из генеральной совокупности (всех рабочих цеха), и первое, что логично сделать – подсчитать её объем, т.е. количество рабочих. В данном случае это легко сделать устно: .

Квалификационные разряды – есть величина дискретная, и поэтому нам предстоит составить дискретный вариационный ряд

			4	5	6
			8		3	Σ = 25

Построим полигон частот.

Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки :

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. В рюкзаке геолога лежат пять одинаковых мешочков: два с образцами гранита и три с образцами сиенита. Из рюкзака наугад вынут один мешочек. Какова вероятность, что это будет мешочек с образцами гранита?

2. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

3. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав которой составляет: 20% - 1 предприятия, 30% - 2 предприятия, 50% - 3 предприятия. Причем, высшего сорта на 1 предприятии 10% продукции, на 2 предприятии - 5% и на 3 - 20%. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

4. На склад поступает продукция 3 фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй — 46% и третьей — 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2% и, наконец, для третьей— 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

5. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?

6. Охотник сделал 10 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7.Определить числовые характеристики распределения числа попаданий.

7. Два шахматиста, играющие в одинаковую силу, сыграли матч из шести партий (ничьих в матче не было). Пусть Х – число партий, выигранных одним из шахматистов. Найдите: а) закон распределения, б) постройте график распределения, в) , г) .

 

 

Справочные материалы.

Решение квадратного уравнения:

 

Разложение квадратного трехчлена на множители:

1.Приравниваем к 0 -

2. Находим корни уравнения.

3. Раскладываем на множители: .

 

Формулы сокращенного умножения:

 

Свойства логарифмов:

1. , где  и .

2. , где .

3. .

4.

 

Формулы дифференцирования основных функций.

1)		6)		11)
2)		7)		12)
3)		8)		13)
4)		9)
5)		10)

Основные правила дифференцирования

Пусть С – постоянная, , , имеющие производные. Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Основные формулы интегрирования:

 

 

Формула двойного угла:

 

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

I четверть