Тема: действия над матрицами.

Практическая работа № 1.

Тема: Действия над матрицами.

Краткое изложение темы.

Прямоугольная таблица чисел вида  называется матрицей.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Здесь  — действительные числа (i = 1, 2,..., m, j=1, 2,..., n), i и j — соответственно индексы строки и столбца.

Произведение  числа строк на число столбцов называют размером матрицы А.

Произведением матрицы А на действительное число  называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число .

Суммой матриц A и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Разность двух матриц одинакового размера определяется равенством: .

Произведением матриц  называется такая матрица , каждый элемент которой  равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В:

, где , .

Умножение матрицы А на матрицу В определено тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка.

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначение ), которая удовлетворяет условиям , где Е – единичная матрица.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной.

Теорема: Обратная матрица  существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы.

Если , то матрица А – вырожденная и обратной матрицы  не существует.

Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица  существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

.

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

, ;

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения .

 

Любой квадратной матрице  порядка  можно поставить в соответствие число, называемое определителем, обозначаемое следующим образом

и вычисляемое по определенным правилам:

1) Квадратная матрица первого порядка есть , ее определитель:

.

2) Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле:

.

3) Определитель квадратной матрицы третьего порядка вычисляется по формуле:

.

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка вычисляется по теореме: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраическое дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

· разложение определителя по элементам -ой строки:

· разложение определителя по элементам -го столбца:

.

Минором  элемента  определителя -го порядка называется определитель ( -1)-го порядка, полученный из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Алгебраическим дополнением  некоторого элемента  называется минор этого элемента, взятый со знаком :

.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Вычислить: .

Решение:

Ответ:

Пример 2. Вычислить:

Решение:

Ответ:

Пример 3. Найти к .

Решение: ,

Ответ:

Пример 4. Вычислить:

Решение:

Ответ:

Пример 5. Даны матрицы А и В. ,  

Найдите: .

Решение:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответ: .

Пример 6. Вычислите обратную матрицу: .

Решение:

1) Находим определитель:

, значит обратная матрица существует.

2)  Находим матрицу , транспонированную к матрице А:

.

3) Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:

Составляем из них присоединенную матрицу :

4) Находим обратную матрицу:

Ответ:

Задания для практической работы.

Вариант 1

1	Вычислить
2	Вычислить
3	Найдите
4	Вычислить
5	Даны матрицы А и В. Найдите: .		, .
6	Вычислить обратную матрицу к матрице:
7	Вычислить обратную матрицу к матрице:

Практическая работа № 2.

Краткое изложение темы.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти решение системы уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Найдем главный определитель:

D =  = 5∙2∙2 + 1∙3∙(-1) + (-1) ∙3∙4 - 4∙2∙(-1) - 1∙(-1) ∙2 – 3∙3∙5 = - 30;

2) Найдем первый вспомогательный определитель

D_х =  = 0∙2∙2 + 14∙3∙(-1) + (-1) ∙3∙16 - 16∙2∙(-1) - 3∙3∙0 - 14∙(-1) ∙2= - 30.

3) Найдем второй вспомогательный определитель

D_у =  = 5∙14∙2 + 1∙16∙(-1) + 0∙3∙4 - 4∙14∙(-1) - 16∙3∙5 - 1∙0∙2 = - 60.

4) Найдем третий вспомогательный определитель

D_z =  = 5∙2∙16 + 1∙3∙0 + (-1) ∙14∙4 - 4∙2∙0 - 3∙14∙5 - 1∙(-1) ∙16= -90.

5) Найдем х, у и z по формулам Крамера x = D_х/D = 1; у = D_у/D = 2; z = D_z/D = 3.

Ответ: x = 1, у = 2, z = 3.

Пример 2. Найти х, у, z при помощи обратной матрицы:

Решение: 1. Находим определитель системы: .

2. Находим транспонированную матрицу .

3. Находим присоединенную матрицу.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Следовательно: .

4. Вычисляем обратную матрицу :

.

5. Находим х, у, z.

Ответ: х=1, у=2, z=3.

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1	Найти решение системы уравнений методом Крамера
2	Найти х, у, z при помощи обратной матрицы
3	Найти решение СЛУ методом Крамера и при помощи обратной матрицы

Практическая работа № 3.

Краткое изложение темы.

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных. Он заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного или трапецеидального вида, из которых последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные.

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2. Перестановка уравнений местами.

3. Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех .

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение:

Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу

В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк.

Разделим вторую строку на 8

Домножим вторую строку на 3 и из нее вычтем третью строку

Получили треугольную матрицу. Прямой ход выполнили.

Обратный ход: последнюю строку матрицы запишем в виде уравнения.

Получим:

,

Предпоследнюю строку матрицы запишем в виде

и подставим вместо z найденной значение 3

И далее, из первого уравнения получим

Итак, получили x = 1, y = 2, z = 3

Ответ: (1; 2;3)

 

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
1.		2.		3.

Практическая работа № 4.

Краткое изложение темы.

Комплексными числами называются числа вида , где  и  - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1) два комплексных числа  и  называются равными, если  и ,

2) суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число ,

3) произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число .

Запись  называется алгебраической формой записи комплексного числа, где  - действительная часть,  - мнимая часть комплексного числа.

Любое действительное число  содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: .

Числа  и  называются комплексно-сопряженными.

Числа  и  называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число .

Аргументом комплексного числа называется угол  между действительной осью  и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Записывается так:  или .

Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства:

, .

Действия над комплексными числами  и , заданными в алгебраической форме:

сложение: ,

вычитание: ,

умножение: ,

деление: .

Тригонометрическая форма комплексного числа

.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

умножение:

,

деление:

,

возведение в -ю степень:

 - формула Муавра,

извлечение корня -ой степени

,

где  - арифметический корень, .

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти модуль и главное значение аргумента числа .

Решение:

1. Выполним деление:

2. Найдем модуль данного числа: .

3. Найдем главное значение аргумента:  

Ответ: , , .

 

Пример 2. Представить в тригонометрической форме число: .

Решение:

Найдем модуль числа: .

Найдем главное значение аргумента:

Значит,

или

Ответ:

 

Пример 3. Возвести в степень .

Решение:

Представим данное число в тригонометрической форме.

Итак, .

По формуле Муавра получим

Ответ:

 

Пример 4. Извлечь корни из комплексного числа .

Решение:

Представим число 1 в тригонометрической форме: .

По формуле находим

если , то ,

если , то ,

если , то .

Ответ: , то , , то , , то .

 

Пример 5. Решите уравнение .

Решение:

Введем подстановку , тогда

Вычислим дискриминант .

Найдем корни уравнения , .

Тогда

или

Ответ: , , , .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найдите модуль и аргумент числа .

2. Выполните действия: .

3. Возведите в степень по формуле Муавра .

4. Извлеките корень .

5. Решите уравнение .

 

 

Практическая работа № 5.

Краткое изложение темы.

Число А называется пределом функции  при , если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что  при . Это записывают так: .

Свойства пределов:

Если существуют  и , то

1) ,

2) ,

3)  (при ).

Используются также следующие пределы:

 (первый замечательный предел);

 (второй замечательный предел).

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть в некоторой окрестности точки  (кроме, быть может, самой точки ) функции  и  дифференцируемы и . Если  или , т. е. частное  в точке  представляет собой неопределенность вида  или , то , если предел в правой части этого равенства существует.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти предел .

Решение: Ответ:

Пример 2. Найти предел .

Решение: Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители.

. Ответ:

Пример 3. Найти предел .

Решение: Это – неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , т.е. на : .

Ответ: .

Пример 4. Найти предел .

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное число

.

Ответ: .

Пример 5. Найти предел .

Решение: Используя первый замечательный предел, имеем

. Ответ: .

Пример 6. Найти предел .

Решение. .

Ответ: .

Пример 7. Найти предел .

Решение: Делением числителя на знаменатель выделим целую часть:

.

Таким образом, при  данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

Так как  при , то .

Учитывая, что , находим .

Ответ:

Пример 8. Найти .

Решение: Это – неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя. Имеем

,

так как . Здесь правило Лопиталя применено дважды. Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант № 1.

Вычислите пределы:

1		6
2		7
3		8	. Воспользуйтесь правилом Лопиталя.
4		9	. Воспользуйтесь правилом Лопиталя.
5		10	. Воспользуйтесь правилом Лопиталя.

 

Практическая работа № 6.

Краткое изложение темы.

Примеры выполнения заданий.

Задания для практической работы.

Вариант № 1.

Найти производные функций: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .	Найти производную  от неявных функций: 8. . 9. . 10. .

Практическая работа № 7.

Краткое изложение темы.

Частной производной от функции  по независимой переменной х называется конечный предел

, вычисленный при постоянном у.

Частной производной по у называется конечный предел

, вычисленный при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти частные производные (  и ).от функции:

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим .

Рассматривая х как постоянную величину, получим .

Ответ: , .

Пример 2. Найти частные производные (  и ) от функции: .

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим .

Рассматривая х как постоянную величину, получим .

Ответ: , .

Пример 3. Найти частные производные (  и ) от функции: .

Решение: , .

Ответ: , .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Найти частные производные следующих функций:

1.		5.
2.		6.
3.		7.	. Найти  и .
4.		8.	. Найти  и .

Практическая работа № 8.

Краткое изложение темы.

Определение: Множество всех первообразных функций f(x) в промежутке х называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается так .

Свойства неопределенного интеграла:

1.  имеем

2.  (подынтегральному выражению).

3.  где k – постоянная.

4.

5.

Метод замены переменной.

Пусть имеем

и x = φ(t) – непрерывно дифференцированная.

Рассмотрим  - первообразная для f(x)∙φ′(t).

Итак, функция F(φ(t)) – есть первообразная для

Следовательно:

Из (1) и (2) получаем следующее равенство.

 - формула замены переменной в неопределенном интеграле.

На практике замену переменных производят, как правило, t = g(x).

Определенный интеграл

Определение. Приращение F(b) — F(a) любой из первообразных функций F(х) + С при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом и обозначается .

 - формула Ньютона-Лейбница.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Вычислить .

Решение:

Согласно правилу имеем: .

Ответ:

Пример 2. Вычислить .

Решение:

Ответ:

Пример 3. Найти:

Решение:

Ответ:

Пример 4. Найти:

Решение:

Ответ:

Пример 5. Найти .

Решение:

Вынесем множитель  за знак интеграла:

.

Положим

тогда .

Находим новые пределы:

Следовательно

.

Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Найдите следующие интегралы:

1		5		9
2		6		10
3		7
4		8

 

Практическая работа № 9.

Краткое изложение темы.

Уравнение вида

,

связывающее аргумент , неизвестную функцию  и ее производные, называется дифференциальным уравнением.