Тема: решение слу различными методами.

Краткое изложение темы.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Теорема Крамера. Пусть  – определитель матрицы системы , а  – определитель, полученный из определителя  заменой -го столбца столбцом свободных членов В.

Тогда, если , то система линейных уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, ().

Данные формулы называются формулами Крамера.

Метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля.

Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений в матрицу

 - матрица системы.

 - матрица неизвестных Х,  - матрица свободных членов.

Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен m*n, а размер Х – n*1, значит, произведение этих матриц имеет смысл: АХ=В.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти решение системы уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Найдем главный определитель:

D =  = 5∙2∙2 + 1∙3∙(-1) + (-1) ∙3∙4 - 4∙2∙(-1) - 1∙(-1) ∙2 – 3∙3∙5 = - 30;

2) Найдем первый вспомогательный определитель

D_х =  = 0∙2∙2 + 14∙3∙(-1) + (-1) ∙3∙16 - 16∙2∙(-1) - 3∙3∙0 - 14∙(-1) ∙2= - 30.

3) Найдем второй вспомогательный определитель

D_у =  = 5∙14∙2 + 1∙16∙(-1) + 0∙3∙4 - 4∙14∙(-1) - 16∙3∙5 - 1∙0∙2 = - 60.

4) Найдем третий вспомогательный определитель

D_z =  = 5∙2∙16 + 1∙3∙0 + (-1) ∙14∙4 - 4∙2∙0 - 3∙14∙5 - 1∙(-1) ∙16= -90.

5) Найдем х, у и z по формулам Крамера x = D_х/D = 1; у = D_у/D = 2; z = D_z/D = 3.

Ответ: x = 1, у = 2, z = 3.

Пример 2. Найти х, у, z при помощи обратной матрицы:

Решение: 1. Находим определитель системы: .

2. Находим транспонированную матрицу .

3. Находим присоединенную матрицу.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Следовательно: .

4. Вычисляем обратную матрицу :

.

5. Находим х, у, z.

Ответ: х=1, у=2, z=3.

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1	Найти решение системы уравнений методом Крамера
2	Найти х, у, z при помощи обратной матрицы
3	Найти решение СЛУ методом Крамера и при помощи обратной матрицы

Практическая работа № 3.

Тема: Решение СЛУ различными методами.

Краткое изложение темы.

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных. Он заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного или трапецеидального вида, из которых последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные.

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2. Перестановка уравнений местами.

3. Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех .

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение:

Переставим третье уравнение на место первого:

Запишем расширенную матрицу

В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк.

Разделим вторую строку на 8

Домножим вторую строку на 3 и из нее вычтем третью строку

Получили треугольную матрицу. Прямой ход выполнили.

Обратный ход: последнюю строку матрицы запишем в виде уравнения.

Получим:

,

Предпоследнюю строку матрицы запишем в виде

и подставим вместо z найденной значение 3

И далее, из первого уравнения получим

Итак, получили x = 1, y = 2, z = 3

Ответ: (1; 2;3)

 

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
1.		2.		3.

Практическая работа № 4.