Расчет сжатых стержней на устойчивость

Ра­бочие нап­ря­жения в конс­трук­ции дол­жны быть всег­да меньше до­пус­ка­емых. При рас­че­те ко­рот­ких стер­жней на проч­ность

где [s]_сж — до­пус­ка­емое нап­ря­жение на сжа­тие; S _нет — пло­щадь по­переч­но­го се­чения стер­жня за вы­четом, нап­ри­мер, от­вер­стий под бол­ты, т. е. пло­щадь «нет­то».

При рас­че­те стер­жней на ус­тойчи­вость

s_кр = F / S _бр £ [s]_у.

Здесь пло­щадь по­переч­но­го се­чения — «брут­то», т. е. без уче­та ос­лабле­ний (от­вер­стий под бол­ты, зак­лепки и т. д.), так как на зна­чение кри­тичес­ко­го нап­ря­жения они не ока­зыва­ют вли­яния. До­пус­ка­емое нап­ря­жение на ус­тойчи­вость [s]_у вы­чис­ля­ют по фор­му­ле

[s]_у = j[s]_сж,

где j на­зыва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том сни­жения до­пус­ка­емых нап­ря­жений и за­висит от гиб­кости l (учи­тыва­ет воз­можность вне­цен­трен­но­го при­ложе­ния си­лы). Зна­чения ко­эф­фи­ци­ен­та при­веде­ны в табл. 2.5.

Таблица 2.5. Значение коэффициента j допускаемого напряжения сжатия [s]сж для различных материалов
l	j
	Ст3	Ст5	Чу­гун	Де­рево
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43	—	0,25
120	0,45	0,36	—	0,22
130	0,40	0,33	—	0,18
140	0,32	0,29	—	0,16
150	0,29	0,26	—	0,14
160	0,26	0,24	—	0,12
170	0,23	0,21	—	0,11
180	0,21	0,19	—	0,10
190	0,19	0,17	—	0,09
200	—	0,16	—	0,08
	[s]сж, МПа
	120	150	100	10

При­мер 2.20

Оп­ре­делить до­пус­ка­емую сжи­ма­ющую си­лу для шар­нирно за­креп­ленно­го стер­жня. Дли­на стер­жня l = 8 м. По­переч­ное се­чение — пря­мо­угольное с раз­ме­рами сто­рон 200×150 мм. Ма­тери­ал — Ст3.

Ре­шение.

1. По табл. 2.5 вы­бира­ем до­пус­ка­емое нап­ря­жение.

Для за­дан­но­го ма­тери­ала [s]_сж = 120 МПа.

2. Оце­нива­ем ко­эф­фи­ци­ент m.

Ко­эф­фи­ци­ент m при­нима­ем рав­ным еди­нице (см. рис. 2.42).

3. Под­счи­тыва­ем гиб­кость стер­жня:

4. По табл. 2.5 на­ходим j = 0,21.

5. Вы­чис­ля­ем до­пус­ка­емую сжи­ма­ющую си­лу:

F / S = j[s]_сж,

от­сю­да F _доп = (0,21·120)(200·150) = 756000 Н = 756 кН.

При­мер 2.21

Оп­ре­делить раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения стойки, за­щем­ленной од­ним кон­цом, а на дру­гом, сво­бод­ном кон­це, наг­ру­жен­ной сжи­ма­ющей си­лой F = 10000 Н. Дли­на стойки l = 1,2 м, по­переч­ное се­чение — тол­стос­тенная тру­ба, ди­аметр ко­торой D = 20d, где d — тол­щи­на тру­бы; ма­тери­ал — Ст5.

Ре­шение.

1. По табл. 2.5 вы­бира­ем до­пус­ка­емое нап­ря­жение.

Для за­дан­но­го ма­тери­ала [s]_сж = 150 МПа.

2. Оце­нива­ем ко­эф­фи­ци­ент m.

Ко­эф­фи­ци­ент m = 2 (см. рис. 2.42).

Да­лее за­дача ре­ша­ет­ся пу­тем пос­ле­дова­тельных приб­ли­жений, пос­кольку гиб­кость стер­жня не­из­вес­тна.

3. Пред­ва­рительный вы­бор раз­ме­ров по­переч­но­го се­чения.

Ес­ли бы стер­жень был ко­рот­ким, то раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения оп­ре­деля­лись бы из со­от­но­шения

F / S = [s]_сж, от­ку­да S = 10000/150 = 66,6 мм²; S = p D d = p·20d²;

d² = 66,6/(p·20) = 1,06 мм²; d = 1,03 мм.

От­сю­да при­нима­ем пред­ва­рительно D = 20·1,03 = 20,6 мм.

4. За­дадим ди­аметр тру­бы, бо́льший, чем 20,6 мм. Нап­ри­мер, D = 35 мм, тог­да d = 1,75 мм.

5. Оп­ре­деля­ем гиб­кость:

6. По табл. 2.5 на­ходим j = 0,17.

7. Вы­чис­ля­ем до­пус­ка­емую сжи­ма­ющую си­лу:

F / S = j[s]_сж, от­сю­да F _доп = (0,17·150)(p·35·1,75) = 4904 Н.

Так как до­пус­ка­емая сжи­ма­ющая си­ла меньше действу­ющей по ус­ло­вию за­дачи, то за­дадим­ся бо́льшим ди­амет­ром тру­бы.

8. За­да­ем D = 43 мм, тог­да d = 2,15 мм.

9.

10. В табл. 2.5 да­ют­ся зна­чения: для l = 150 j = 0,26, а для l = 160 j = 0,24. Ин­терпо­лируя, в на­шем слу­чае по­луча­ем j = 0,25 и вновь вы­чис­ля­ем до­пус­ка­емую сжи­ма­ющую си­лу

F _доп = (0,25·150)(p·43·2,15) = 10886 Н.

11. Пос­кольку действу­ющая на стойку сжи­ма­ющая си­ла меньше до­пус­ка­емой, то при­нима­ем раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения тру­бы: D = 43 мм, d = 2,15 мм.