Определение перемещений способом Верещагина

Что­бы оп­ре­делить пе­реме­щение лю­бой точ­ки бал­ки, не­об­хо­димо:

1. Пос­тро­ить эпю­ру M _изг от ре­ально при­ложен­ных си­ловых фак­то­ров.

2. При­ложить еди­нич­ный си­ловой фак­тор (си­лу или мо­мент) в точ­ке, где не­об­хо­димо оп­ре­делить пе­реме­щение по­переч­но­го се­чения бал­ки.

3. Пос­тро­ить эпю­ру из­ги­ба­ющих мо­мен­тов от еди­нич­но­го си­лово­го фак­то­ра.

4. Пе­рем­но­жить пло­щадь эпю­ры М _изг на ор­ди­нату, взя­тую с эпю­ры от еди­нич­но­го си­лово­го фак­то­ра под цен­тром тя­жес­ти пло­щади эпю­ры М _изг.

5. По­лучен­ное про­из­ве­дение раз­де­лить на жес­ткость по­переч­но­го се­чения бал­ки ЕJ.

При­мер 2.15

Оп­ре­делить про­гиб в точ­ке К бал­ки, наг­ру­жен­ной си­лой F (рис. 2.27).

Рис. 2.27

Ре­шение.

1. Стро­им эпю­ру М _изг.

2. Прик­ла­дыва­ем еди­нич­ную си­лу в точ­ке К и стро­им эпю­ру из­ги­ба­ющих мо­мен­тов от этой си­лы; в за­дел­ке из­ги­ба­ющий мо­мент ра­вен 1· l = l.

3. Оп­ре­деля­ем пло­щадь эпю­ры М _изг и по­ложе­ние ее цен­тра тя­жес­ти С:

S _эп = (1/2) Fll = Fl ²/2; x_C = l /3.

4. Вы­чис­ля­ем ор­ди­нату на эпю­ре из­ги­ба­ющих мо­мен­тов от еди­нич­ной си­лы, взя­тую под цен­тром тя­жес­ти С:

-1·(2/3) l = -(2/3) l.

5. Оп­ре­деля­ем про­гиб в точ­ке К:

y_K = (1/(EJ))(Fl ²/2)(-2/3) l = - Fl ³/(3 EJ).

Ес­ли эпю­ра за­дан­ных сил ли­нейная, то опе­рация пе­рем­но­жения об­ла­да­ет свойством ком­му­татив­ности. В этом слу­чае без­различ­но, ум­но­жа­ет­ся ли пло­щадь пер­вой эпю­ры на ор­ди­нату вто­рой или пло­щадь вто­рой эпю­ры на ор­ди­нату пер­вой.

При­мер 2.16

Оп­ре­делить про­гиб в точ­ке А бал­ки, рас­смот­ренной в при­мере 2.15.

Ре­шение.

1. При­ложим еди­нич­ную си­лу в точ­ке А и пос­тро­им эпю­ру из­ги­ба­ющих мо­мен­тов от этой си­лы.

2. Под­счи­та­ем пло­щадь эпю­ры из­ги­ба­ющих мо­мен­тов от еди­нич­ной си­лы и ко­ор­ди­нату ее цен­тра тя­жес­ти:

S _эп = 1/2· l /2· l /2 = l ²/8; z_{С 1} = 1/3· l /2 = l /6.

3. Вы­чис­лим ор­ди­нату на эпю­ре М _изг под цен­тром тя­жес­ти С ₁. Ор­ди­ната от­ри­цательна и рав­на

- F (l - l /6) = (-5/6) Fl.

4. Вос­пользо­вав­шись свойством ком­му­татив­ности, оп­ре­деля­ем про­гиб бал­ки в точ­ке А. На учас­тке АК пло­щадь эпю­ры мо­мен­тов от еди­нич­ной си­лы рав­на ну­лю, по­это­му ре­зультат пе­рем­но­жения эпюр так­же ра­вен ну­лю. Сле­дова­тельно, бу­дем «пе­рем­но­жать» эпю­ры только на учас­тке АВ:

Та­ким об­ра­зом, про­гиб в точ­ке А в три ра­за меньше, чем в точ­ке К.

Ис­пользо­вание свойства ком­му­татив­ности зна­чительно уп­ро­ща­ет оп­ре­деле­ние про­гибов. Ина­че в при­веден­ном ра­нее при­мере приш­лось бы оп­ре­делять пло­щадь тра­пеции на эпю­ре из­ги­ба­ющих мо­мен­тов М _изг (так как эпю­ры от еди­нич­ной си­лы на учас­тке от l /2 до l не су­щес­тву­ет), за­тем оп­ре­делять по­ложе­ние цен­тра тя­жес­ти этой тра­пеции, что бо­лее зат­рудни­тельно, чем оп­ре­делять по­ложе­ние цен­тра тя­жес­ти тре­угольни­ка.

Встре­ча­ющи­еся на прак­ти­ке эпю­ры из­ги­ба­ющих мо­мен­тов, как пра­вило, раз­би­ва­ют на прос­тейшие фи­гуры: пря­мо­угольник, тре­угольник, па­рабо­личес­кий тре­угольник (рис. 2.28), для ко­торых пло­щадь и по­ложе­ние цен­тра тя­жес­ти из­вес­тны. При раз­бивке сле­ду­ет пом­нить, что в пре­делах учас­тка не дол­жно быть из­ло­ма пря­мой ли­нии. Се­чение, где на лю­бой из двух эпюр име­ет­ся из­лом, дол­жно стать гра­ницей учас­тка.

При кру­чении, рас­тя­жении и сдви­ге эпю­ры ока­зыва­ют­ся бо­лее прос­ты­ми: они, как пра­вило, ли­нейные и сос­то­ят из пря­мо­угольни­ков и тре­угольни­ков в раз­личных ком­би­наци­ях. Раз­ни­ца зак­лю­ча­ет­ся в том, что в зна­мена­тель фор­мул для оп­ре­деле­ния пе­реме­щений вхо­дит не жес­ткость ЕJ, как при из­ги­бе, а жес­ткость GJp, ес­ли речь идет о кру­чении, ли­бо ES или GS — при рас­тя­жении и сдви­ге.

Ес­ли эпю­ра из­ги­ба­ющих мо­мен­тов ог­ра­ниче­на кри­вой, то пло­щадь под па­рабо­лой оп­ре­деля­ет­ся по фор­му­ле

S = (1/3) hb,

а центр тя­жес­ти на­ходит­ся на рас­сто­янии, рав­ном (1/4) b (см. рис. 2.28).

Рис. 2.28

Спо­соб Ве­реща­гина при­меним для оп­ре­деле­ния не только ли­нейных пе­реме­щений, но и уг­ло­вых. При оп­ре­деле­нии уг­ла по­воро­та по­переч­но­го се­чения при кру­чении бру­са сле­ду­ет при­ложить в дан­ном се­чении еди­нич­ный кру­тящий мо­мент; при оп­ре­деле­нии по­воро­та по­переч­но­го се­чения бал­ки при из­ги­бе не­об­хо­димо при­ложить еди­нич­ный из­ги­ба­ющий мо­мент в плос­кости изог­ну­той оси бал­ки и в той точ­ке се­чения, пе­реме­щение ко­торо­го не­об­хо­димо оп­ре­делить.

 

 

Теория предельных напряженных состояний