Гипотезы теории предельных напряженных состояний (гипотезы прочности)

Ос­новная за­дача те­ории проч­ности — срав­не­ние раз­личных нап­ря­жен­ных сос­то­яний меж­ду со­бой с точ­ки зре­ния их опас­ности для раз­ру­шения ма­тери­ала.

Под пре­дельным нап­ря­жен­ным сос­то­яни­ем по­нима­ет­ся та­кое, при ко­тором про­ис­хо­дит ка­чес­твен­ное из­ме­нение свойств ма­тери­ала — пе­реход от од­но­го ме­хани­чес­ко­го сос­то­яния к дру­гому. Для плас­тично­го ма­тери­ала пре­дельным обыч­но счи­та­ет­ся нап­ря­жен­ное сос­то­яние, со­от­ветс­тву­ющее воз­никно­вению за­мет­ных ос­та­точ­ных де­фор­ма­ций, а для хруп­ко­го — та­кое, при ко­тором на­чина­ет­ся раз­ру­шение ма­тери­ала.

Пре­дельное нап­ря­жен­ное сос­то­яние мо­жет рас­смат­ри­ваться как ха­рак­те­рис­ти­ка свойств ма­тери­ала. Ког­да ве­дет­ся рас­чет конс­трук­ции на проч­ность по мак­си­мальным нап­ря­жени­ям, нап­ря­жен­ное сос­то­яние в на­ибо­лее опас­ной точ­ке со­пос­тавля­ет­ся с пре­дельным для дан­но­го ма­тери­ала. На ос­но­вании это­го со­пос­тавле­ния де­ла­ет­ся вы­вод о на­деж­ности конс­трук­ции.

В слу­чае од­но­ос­но­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния за­дача ре­ша­ет­ся весьма прос­то. Ма­тери­ал ис­пы­тыва­ют на рас­тя­жение. На ди­аг­рамме рас­тя­жения вы­бира­ют ха­рак­терную точ­ку, со­от­ветс­тву­ющую пре­дельно­му нап­ря­жению дан­но­го ма­тери­ала. Обыч­но в ка­чес­тве пре­дельно­го нап­ря­жения вы­бира­ют ли­бо пре­дел те­кучес­ти s_т.р, ли­бо пре­дел проч­ности s_в. р. Ана­логич­ным об­ра­зом мож­но пос­ту­пить и в слу­чае чис­то­го сдви­га.

Ес­ли сле­довать этой ме­тоди­ке, то в каж­дом нап­ря­жен­ном сос­то­янии (s₁, s₂, s₃) нуж­но бы­ло бы для каж­до­го ма­тери­ала иметь со­от­ветс­тву­ющие ди­аг­раммы ис­пы­тания с чис­ло­выми ха­рак­те­рис­ти­ками пре­дельных то­чек. Та­кой под­ход к ре­шению воп­ро­са яв­ля­ет­ся со­вер­шенно неп­ри­ем­ле­мым: во-пер­вых, в си­лу не­ог­ра­ничен­но­го чис­ла воз­можных ти­пов нап­ря­жен­ных сос­то­яний; во-вто­рых, в свя­зи с чис­то тех­ни­чес­ки­ми зат­рудне­ни­ями, воз­ни­ка­ющи­ми при пос­та­нов­ке ис­пы­таний ма­тери­алов.

Из ска­зан­но­го вы­тека­ет вы­вод, что не­об­хо­димо соз­дать об­щий ме­тод оцен­ки ме­ры опас­ности слож­но­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния при ог­ра­ничен­ном чис­ле ме­хани­чес­ких ис­пы­таний ма­тери­ала.

Вве­дем не­кото­рые по­нятия, ко­торые по­надо­бят­ся при дальнейшем рас­смот­ре­нии ги­потез проч­ности.

Обоб­щим по­нятие «ко­эф­фи­ци­ент за­паса». По­ложим, за­дано не­кото­рое нап­ря­жен­ное сос­то­яние. Ес­ли уве­личи­вать про­пор­ци­онально все ком­по­нен­ты это­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния, т. е. из­ме­нять его по­доб­ным об­ра­зом, то ра­но или поз­дно нап­ря­жен­ное сос­то­яние ста­нет пре­дельным. Ус­ло­вим­ся под ко­эф­фи­ци­ен­том за­паса в дан­ном нап­ря­жен­ном сос­то­янии по­нимать чис­ло, по­казы­ва­ющее, во сколько раз сле­ду­ет од­новре­мен­но уве­личить все ком­по­нен­ты нап­ря­жен­но­го сос­то­яния, что­бы оно ста­ло пре­дельным. Из дан­но­го оп­ре­деле­ния как час­тный слу­чай вы­тека­ет уже из­вес­тное оп­ре­деле­ние ко­эф­фи­ци­ен­та за­паса при прос­том рас­тя­жении.

Ес­ли в двух нап­ря­жен­ных сос­то­яни­ях ко­эф­фи­ци­ен­ты за­паса рав­ны, то та­кие нап­ря­жен­ные сос­то­яния на­зыва­ют­ся рав­но­опас­ны­ми. Это да­ет воз­можность со­пос­тавлять раз­личные нап­ря­жен­ные сос­то­яния по сте­пени их опас­ности — по зна­чению ко­эф­фи­ци­ен­та за­паса.

Для за­дан­но­го ма­тери­ала срав­ни­вать нап­ря­жен­ные сос­то­яния мож­но не по ко­эф­фи­ци­ен­ту за­паса, а по чис­ло­вой ха­рак­те­рис­ти­ке ка­кого-ли­бо од­но­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния, вы­бира­емо­го в ка­чес­тве эта­лона. За та­кой эта­лон (эк­ви­валент) удоб­нее все­го при­нять прос­тое рас­тя­жение с глав­ным нап­ря­жени­ем s_экв (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Эк­ви­вален­тное нап­ря­жение s_экв — это нап­ря­жение, ко­торое сле­ду­ет соз­дать в рас­тя­нутом об­разце, что­бы его нап­ря­жен­ное сос­то­яние бы­ло рав­но­опас­но с за­дан­ным.

Ес­ли ве­личи­на s_экв найде­на, т. е. вы­раже­на че­рез s₁, s₂ и s₃, то за­дачу о ме­ре опас­ности слож­но­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния мож­но счи­тать ре­шен­ной. Нап­ри­мер, ко­эф­фи­ци­ент за­паса при рас­тя­жении (сос­то­яние В на рис. 2.31, б) оп­ре­деля­ет­ся сле­ду­ющим об­ра­зом:

n _т = s_т.р/s_экв.

Та­кую же ве­личи­ну ко­эф­фи­ци­ен­та за­паса оп­ре­деля­ют и для слу­чая слож­но­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния А (см. рис. 2.31, а). Та­ким об­ра­зом, за­дача о рас­че­те по мак­си­мальным нап­ря­жени­ям в слож­ном нап­ря­жен­ном сос­то­янии све­дет­ся к рас­че­ту при прос­том рас­тя­жении, но при этом не­об­хо­димо знать, как s_экв за­висит от s₁, s₂ и s₃. Для это­го рас­смот­рим не­кото­рые ги­поте­зы пре­дельных сос­то­яний.

Кри­терии пре­дельно­го нап­ря­жен­но­го сос­то­яния. Ког­да воз­никла не­об­хо­димость вес­ти рас­че­ты на проч­ность при слож­ных нап­ря­жен­ных сос­то­яни­ях, в ка­чес­тве кри­терия бы­ло пред­ло­жено брать ве­личи­ну на­ибольше­го нор­мально­го нап­ря­жения s₁ и не учи­тывать два дру­гих глав­ных нап­ря­жения. Это бы­ла пер­вая те­ория проч­ности. Прак­ти­чес­кая про­вер­ка не под­твер­ди­ла этой ги­поте­зы.

Да­лее бы­ло пред­ло­жено ис­пользо­вать в ка­чес­тве кри­терия пре­дельно­го сос­то­яния на­ибольшую ли­нейную де­фор­ма­цию. Од­на­ко во вто­рой те­ории проч­ности де­тальная про­вер­ка об­на­ружи­ла ряд су­щес­твен­ных не­дос­татков.

Третья ги­поте­за проч­ности в ка­чес­тве кри­терия пре­дельно­го сос­то­яния при­нима­ет на­ибольшее ка­сательное нап­ря­жение в точ­ке. Этот кри­терий иног­да на­зыва­ют кри­тери­ем плас­тичнос­ти, так как плас­ти­чес­кие де­фор­ма­ции на­чина­ют­ся, ког­да мак­си­мальные ка­сательные нап­ря­жения дос­ти­га­ют пре­дельной ве­личи­ны.

Мак­си­мальное ка­сательное нап­ря­жение воз­ни­ка­ет на пло­щад­ках, рав­но­нак­ло­нен­ных к пло­щад­кам на­ибольше­го и на­именьше­го глав­ных нап­ря­жений, и рав­но

Тог­да для нап­ря­жен­но­го сос­то­яния В (см. рис. 2.31, б), при ко­тором s₃ = 0, мак­си­мальное ка­сательное нап­ря­жение бу­дет рав­но

t_max = s_экв /2.

Два нап­ря­жен­ных сос­то­яния бу­дут рав­но­опас­ны, ес­ли у них оди­нако­вое t_max. При­рав­ни­вая пра­вые час­ти ра­венств, по­лучим

Та­ким об­ра­зом, мы наш­ли за­виси­мость меж­ду эк­ви­вален­тным и глав­ны­ми нап­ря­жени­ями:

Эк­спе­римен­тальная про­вер­ка по­каза­ла, что для плас­тичных ма­тери­алов ги­поте­за мак­си­мальных ка­сательных нап­ря­жений при­водит к удов­летво­рительным ре­зульта­там. Од­на­ко она об­на­ружи­ва­ет за­мет­ные пог­решнос­ти для ма­тери­алов, име­ющих раз­личные ме­хани­чес­кие ха­рак­те­рис­ти­ки при рас­тя­жении и сжа­тии. Кро­ме то­го, не­дос­татком этой те­ории проч­ности яв­ля­ет­ся то, что при вы­чис­ле­нии s_экв не учи­тыва­ет­ся про­межу­точ­ное s₂.

При­мер 2.17

Найти ко­эф­фи­ци­ент за­паса проч­ности ва­лика, к ко­торо­му при­ложе­на рас­тя­гива­ющая си­ла F = 31400 Н и кру­тящий мо­мент М = 79 Н·м (рис. 2.32, а), ес­ли ди­аметр ва­лика d = 20 мм, а s_т.р = 200 Н/мм².

Рис. 2.32

Ре­шение.

1. Оп­ре­деля­ем нап­ря­жен­ное сос­то­яние в точ­ке А, взя­той на на­руж­ной по­вер­хнос­ти ва­лика (рис. 2.32, б).

Ме­тодом се­чений вы­деля­ем эле­мен­тарный объем в ви­де ку­ба. На гра­ни, пер­пенди­куляр­ной ли­нии действия си­лы F, действу­ют нор­мальное нап­ря­жение s _х и ка­сательное нап­ря­жение t _xy. В си­лу за­кона пар­ности ка­сательных нап­ря­жений на гра­ни, пер­пенди­куляр­ной оси y, прос­тавля­ем ка­сательное нап­ря­жение t _yx. Грань с точ­ка­ми — на­руж­ная, по­это­му на ней ни­каких нап­ря­жений нет. Сле­дова­тельно, грань, на ко­торой ка­сательное нап­ря­жение рав­но ну­лю, бу­дет од­ной из глав­ных гра­ней, и те­перь из­вес­тно, что од­но из глав­ных нап­ря­жений так­же рав­но ну­лю. Име­ет мес­то дву­хос­ное (или плос­кое) нап­ря­жен­ное сос­то­яние.

На зад­них гра­нях в си­лу ус­ло­вий рав­но­весия сил, при­ложен­ных к эле­мен­тарно­му объему, нап­ря­жения бу­дут ана­логич­ны­ми.

2. Вы­чис­ля­ем нап­ря­жения на гра­нях, пер­пенди­куляр­ных осям х и y:

3. Оп­ре­деля­ем мак­си­мальное и ми­нимальное глав­ные нап­ря­жения:

Сле­дова­тельно, на пло­щад­ке, пер­пенди­куляр­ной оси z, ра­нее оп­ре­делен­ное нап­ря­жение бы­ло про­межу­точ­ным.

Итак, s₁ = 120,7 H/ мм², s₂ = 0, а s₃ = -20,7 H/мм².

4. Вы­чис­ля­ем эк­ви­вален­тное нап­ря­жение:

s_экв = s₁ - σ₃ = 120,7 - (-20,7) = 141,4 H/мм².

5. Оп­ре­деля­ем ко­эф­фи­ци­ент за­паса проч­ности:

n _т = s_т.р/s_экв = 200/ 141,4 = 1,41.

Кри­тери­ем пре­дельно­го сос­то­яния в чет­вертой те­ории проч­ности (ее иног­да на­зыва­ют энер­ге­тичес­кой) при­нята по­тен­ци­альная энер­гия W _ф фор­мо­из­ме­нения:

Для од­но­ос­но­го рас­тя­жения это вы­раже­ние име­ет вид

где m — ко­эф­фи­ци­ент Пу­ас­со­на.

Из ус­ло­вия рав­но­опас­ности оп­ре­деля­ет­ся s_экв. Для это­го при­рав­ни­ва­ем пра­вые час­ти двух пос­ледних урав­не­ний

от­сю­да

По­лучен­ная за­виси­мость при­мени­ма к оцен­ке пре­дельных сос­то­яний плас­тичных ма­тери­алов, оди­нако­во соп­ро­тив­ля­ющих­ся рас­тя­жению и сжа­тию.