Напряжения и деформации при сдвиге (срезе)

В под­разд. 2.1 уже упо­мина­лось, что в по­переч­ном се­чении мо­гут воз­ни­кать как нор­мальные s, так и ка­сательные нап­ря­жения t. Ес­ли к ко­рот­ко­му бру­су, жес­тко за­делан­но­му од­ним кон­цом в сте­ну (рис. 2.7, а), пер­пенди­куляр­но оси бру­са при­ложить си­лу F, то в по­переч­ных се­чени­ях воз­никнет внут­ренняя по­переч­ная си­ла Q в плос­кости се­чения, а сле­дова­тельно, и ка­сательное нап­ря­жение t = Q / S.

Рис. 2.7

Па­рал­лельные се­чения бру­са сдви­га­ют­ся от­но­сительно друг дру­га (рис. 2.7, б) так, что вер­хняя грань об­ра­зу­ет угол g с го­ризон­талью. Ус­та­нов­ле­но, что ка­сательное нап­ря­жение t пря­мо про­пор­ци­онально уг­ло­вой де­фор­ма­ции g:

t = G g,

где G — мо­дуль уп­ру­гос­ти при сдви­ге.

Эта за­виси­мость вы­ража­ет за­кон Гу­ка для сдви­га. Яв­ле­ние сре­за мож­но наб­лю­дать, ес­ли стальную по­лосу или бу­магу пе­рере­зать нож­ни­цами, или, нап­ри­мер, в слу­чае, ког­да к кле­пано­му со­еди­нению при­ложе­на си­ла, бо́льшая, чем та, на ко­торую дан­ное со­еди­нение бы­ло рас­счи­тано. На рис. 2.8 по­каза­но, что при­ложен­ные си­лы F вы­зыва­ют де­фор­ма­цию сдви­га, и под их действи­ем мо­жет про­изойти срез зак­лепки. Вот по­чему сдвиг час­то на­зыва­ют сре­зом.

Рис. 2.8

Мо­дуль уп­ру­гос­ти при сдви­ге за­висит от мо­дуля уп­ру­гос­ти I ро­да Е:

Ес­ли из­вес­тны Е и m, то мож­но оп­ре­делить мо­дуль уп­ру­гос­ти при сдви­ге. Нап­ри­мер, для ста­ли 30 Е = 2·10⁵ Н/мм², m = 0,3, сле­дова­тельно,

Под­чер­кнем, что сдвиг — это нап­ря­жен­ное сос­то­яние. Ес­ли воз­никшие при сдви­ге де­фор­ма­ции на­ходят­ся в пре­делах уп­ру­гос­ти, то пос­ле сня­тия наг­рузки раз­ме­ры и фор­ма де­тали вос­ста­нав­ли­ва­ют­ся. Ес­ли же пре­дел уп­ру­гос­ти пре­вышен, то наб­лю­да­ют­ся плас­ти­чес­кие де­фор­ма­ции и пос­ле сня­тия наг­рузки ос­та­ет­ся на­метив­ше­еся мес­то сре­за. По дос­ти­жении пре­дельных нап­ря­жений про­изойдет срез.

При­мер 2.3

Про­верить проч­ность зак­ле­пок (см. рис. 2.8), ес­ли [t]_ср = 100 Н/мм².

Ре­шение.

1. Оп­ре­деля­ем фак­ти­чес­кое ка­сательное нап­ря­жение, воз­ни­ка­ющее в по­переч­ных се­чени­ях зак­ле­пок под действи­ем за­дан­ных сил. Пос­кольку чис­ло зак­ле­пок i = 2 и они сре­за­ют­ся по од­ной плос­кости (чис­ло плос­костей сре­за k = 1), то

2. Про­веря­ем проч­ность зак­ле­пок: фак­ти­чес­кое ка­сательное нап­ря­жение в по­переч­ном се­чении зак­лепки дол­жно быть меньше или рав­но до­пус­ка­емо­му ка­сательно­му нап­ря­жению на срез. Действи­тельно, 79,6 < 100. Сле­дова­тельно, под действи­ем си­лы F = 50 кН не про­изойдет сре­за зак­ле­пок.

Смятие

При сжа­тии двух тел воз­ни­ка­ет опас­ность смя­тия кон­такти­ру­ющих по­вер­хнос­тей. Нап­ря­жения, воз­ни­ка­ющие на кон­такти­ру­ющих по­вер­хнос­тях, на­зыва­ют­ся нап­ря­жени­ями смя­тия. Смя­тие име­ет мес­то, нап­ри­мер, в кле­паных и бол­то­вых со­еди­нени­ях. Нап­ря­жение смя­тия оп­ре­деля­ют по фор­му­ле

где F — си­ла, с ко­торой сдав­ли­ва­ют­ся кон­такти­ру­ющие по­вер­хнос­ти; S _см — пло­щадь смя­тия.

Ес­ли по­вер­хность смя­тия яв­ля­ет­ся кри­воли­нейной, то пло­щадь смя­тия вы­чис­ля­ет­ся как пло­щадь про­ек­ции этой по­вер­хнос­ти на плос­кость, пер­пенди­куляр­ную к ли­нии действия сми­на­ющей си­лы.

При­мер 2.4

Про­верить проч­ность кле­пано­го со­еди­нения (см. рис. 2.8), ес­ли [t]_ср = = 100 Н/мм²; [s]_см = 240 Н/мм²; [s]_р = 140 Н/мм².

Ре­шение.

1. Про­веря­ем проч­ность зак­лепки на срез (ме­тоди­ка рас­че­та при­веде­на в при­мере 2.3).

2. Про­веря­ем на смя­тие стен­ки от­вер­стий в со­еди­ня­емых лис­тах:

По­лучен­ное зна­чение фак­ти­чес­ко­го нап­ря­жения смя­тия меньше до­пус­ка­емо­го, так как по ус­ло­вию [s]_см = 240 Н/мм². Сле­дова­тельно, смя­тия сте­нок от­вер­стий не про­изойдет.

3. Про­веря­ем проч­ность лис­тов на рас­тя­жение по фор­му­ле

Для оп­ре­деле­ния опас­но­го се­чения в слож­ных слу­ча­ях обыч­но стро­ят эпю­ры N, а за­тем s. В дан­ном слу­чае за­дача бо­лее прос­тая. Яс­но, что опас­ным се­чени­ем яв­ля­ет­ся се­чение А — А. Пло­щадь по­переч­но­го се­чения каж­до­го лис­та

S = 10·(120 - 2·20) = 800 мм²,

а фак­ти­чес­кое нап­ря­жение

что меньше до­пус­ка­емо­го: 62,5 < 140.

От­вет. Мож­но счи­тать, что проч­ность кле­пано­го со­еди­нения дос­та­точ­на.

 

 

Кручение

• Пос­тро­ение эпюр

Под кру­чени­ем по­нима­ет­ся та­кой вид наг­ру­жения, при ко­тором в по­переч­ных се­чени­ях воз­ни­ка­ет только кру­тящий мо­мент. Про­чие внут­ренние си­ловые фак­то­ры (нор­мальная и по­переч­ные си­лы, из­ги­ба­ющие мо­мен­ты) рав­ны ну­лю. Рас­смот­рим кру­чение круг­ло­го бру­са (рис. 2.9). К круг­ло­му бру­су, жес­тко за­делан­но­му в стен­ку, на сво­бод­ном тор­це при­ложен кру­тящий мо­мент М. В ре­зульта­те это­го брус де­фор­ми­ру­ет­ся: смеж­ные се­чения по­вора­чива­ют­ся от­но­сительно друг дру­га, об­ра­зу­ющая ОВ ис­крив­ля­ет­ся и за­нима­ет по­ложе­ние ОС.

При рас­смот­ре­нии кру­чения при­нима­ют­ся сле­ду­ющие до­пуще­ния и пра­вила:

• ось бру­са не де­фор­ми­ру­ет­ся;
• по­переч­ные се­чения, плос­кие до де­фор­ма­ции, пос­ле де­фор­ма­ции так­же ос­та­ют­ся плос­ки­ми;
• про­дольные во­лок­на не из­ме­ня­ют сво­ей дли­ны (угол g нас­только мал, что из­ме­нени­ем дли­ны мож­но пре­неб­речь);
• ра­ди­усы r по­переч­ных се­чений ос­та­ют­ся пря­мыми пос­ле де­фор­ма­ции, по­вора­чива­ясь на не­кото­рый угол j;
• для кру­тящих мо­мен­тов при­нято сле­ду­ющее пра­вило зна­ков: ес­ли смот­реть на по­переч­ное се­чение со сто­роны внеш­ней нор­ма­ли и ви­деть внут­ренний кру­тящий мо­мент М _кр нап­равлен­ным про­тив хо­да ча­совой стрел­ки, то мо­мент счи­та­ет­ся по­ложи­тельным.

Рис. 2.9

При кру­чении в по­переч­ном се­чении бру­са воз­ни­ка­ют ка­сательные нап­ря­жения (чис­тый сдвиг).

Угол зак­ру­чива­ния j и от­но­сительный угол зак­ру­чива­ния θ свя­зыва­ет сле­ду­ющая за­виси­мость:

q = j/ l.

Ка­сательные нап­ря­жения t при кру­чении рас­пре­деля­ют­ся в се­чении по ли­нейной за­виси­мос­ти: в цен­тре они рав­ны ну­лю, а на мак­си­мальном ра­ди­усе по­переч­но­го се­чения — мак­си­мально­му зна­чению t_max, по ко­торо­му ве­дет­ся рас­чет. Зна­чение ка­сательно­го нап­ря­жения за­висит от внут­ренне­го кру­тяще­го мо­мен­та и ге­омет­ри­чес­кой ха­рак­те­рис­ти­ки по­переч­но­го се­чения:

t_max = M _кр/ W_р,

где W_p — по­ляр­ный мо­мент соп­ро­тив­ле­ния.

Для сплош­но­го по­переч­но­го се­чения ди­амет­ром D W_p = 0,2 D ³; для кольце­вого се­чения (по­лый вал) W_p = 0,2 D ³(1 -  d ⁴/ D ⁴), где d — внут­ренний ди­аметр (ди­аметр от­вер­стия); D — внеш­ний ди­аметр ва­ла. По­кажем, что ва­лы сплош­но­го по­переч­но­го се­чения ис­пользо­вать не­эко­номич­но.

При­мер 2.5

Вал пе­реда­ет мо­мент M = 10000 Н·м. Тре­бу­ет­ся по­доб­рать раз­ме­ры по­переч­но­го се­чения ва­ла для слу­ча­ев: а) сплош­но­го кру­гово­го се­чения и б) кру­гово­го се­чения с от­вер­сти­ем d = (7/8) D. Срав­нить оба се­чения по рас­хо­ду ме­тал­ла. До­пус­ка­емое нап­ря­жение [t] = 6000 Н/см².

Ре­шение.

1. Оп­ре­деля­ем тре­бу­емый мо­мент соп­ро­тив­ле­ния для обо­их по­переч­ных се­чений:

2. Оп­ре­деля­ем ди­аметр ва­ла сплош­но­го се­чения:

3. Оп­ре­деля­ем ди­аметр ва­ла по­лого по­переч­но­го се­чения:

4. Оп­ре­деля­ем рас­ход ме­тал­ла. Для это­го вы­чис­лим пло­щади по­переч­ных се­чений сплош­но­го и по­лого ва­лов:

для сплош­но­го ва­ла

для по­лого ва­ла

Пос­кольку рас­ход ме­тал­ла бу­дет про­пор­ци­она­лен пло­щади по­переч­но­го се­чения, то по­лое се­чение яв­ля­ет­ся бо­лее эко­номич­ным и в дан­ном слу­чае да­ет бо­лее чем двук­ратное сни­жение ве­са ва­ла.

Построение эпюр

При кру­чении, как и при рас­тя­жении, стро­ят эпю­ры внут­ренних си­ловых фак­то­ров (кру­тящих мо­мен­тов), нап­ря­жений (t_max) и пе­реме­щений (уг­лов зак­ру­чива­ния j).

Пос­тро­ение эпю­ры М _кр. Всю дли­ну бру­са (рис. 2.10) ра­зобьем на два учас­тка. На эпю­ре внут­ренних си­ловых фак­то­ров в се­чени­ях, где при­ложе­ны внеш­ние си­лы, бу­дут скач­ки, рав­ные при­ложен­ным наг­рузкам (в дан­ном слу­чае — внеш­ним скру­чива­ющим мо­мен­там). При­меняя ме­тод се­чений с уче­том пра­вила зна­ков для кру­тящих мо­мен­тов, стро­им эпю­ры М _кр. На рис. 2.10 для изоб­ра­жения внеш­них мо­мен­тов при­мене­но ус­ловное обоз­на­чение в ви­де круж­ков: кру­жок с точ­кой обоз­на­ча­ет си­лу, нап­равлен­ную «на се­бя», а кру­жок с крес­ти­ком — си­лу, нап­равлен­ную «от се­бя».

Рис. 2.10

Пос­тро­ение эпю­ры t_max. Всю дли­ну бру­са раз­би­ва­ем на три учас­тка; на каж­дом из них М _кр и Wр сох­ра­ня­ют пос­то­ян­ное зна­чение. За­тем под­став­ля­ем в фор­му­лу t_max = = М _кр/ W_р со­от­ветс­тву­ющие зна­чения М _кр и W_р:

на I учас­тке

на II учас­тке

на III учас­тке

Пос­кольку все внут­ренние кру­тящие мо­мен­ты по­ложи­тельны, то и все ка­сательные нап­ря­жения на эпю­ре t_max бу­дут так­же по­ложи­тельны.

Пос­тро­ение эпю­ры j. Преж­де все­го не­об­хо­димо ус­та­новить за­виси­мость, по ко­торой бу­дем оп­ре­делять уг­лы зак­ру­чива­ния j. На ос­но­вании за­кона Гу­ка для сдви­га за­пишем вы­раже­ние для мак­си­мально­го ка­сательно­го нап­ря­жения в по­переч­ном се­чении круг­ло­го бру­са:

t_max = G g.

Из рис. 2.9 вид­но, что при кру­чении об­ра­зу­ющая ци­лин­дра ОВ по­вора­чива­ет­ся на угол g и за­нима­ет по­ложе­ние ОС. При этом ду­га ВС рав­на g l; с дру­гой сто­роны, та же ду­га ВС рав­на j r. Сле­дова­тельно,

g l = j r,

от­ку­да g = j r / l.

Под­став­ляя найден­ное зна­чение g в за­кон Гу­ка, по­лучим

С дру­гой сто­роны, t = M _кр/ W_р. Сле­дова­тельно,

Вы­разим от­сю­да угол зак­ру­чива­ния

Ве­личи­ну W_pr (или W_pD /2) на­зыва­ют по­ляр­ным мо­мен­том инер­ции се­чения и обоз­на­ча­ют J_p.

Та­ким об­ра­зом, меж­ду мо­мен­том соп­ро­тив­ле­ния и по­ляр­ным мо­мен­том инер­ции бру­са круг­ло­го по­переч­но­го се­чения ди­амет­ром D су­щес­тву­ет сле­ду­ющая за­виси­мость:

По­ляр­ный мо­мент инер­ции:

для сплош­но­го круг­ло­го бру­са

J_p @ 0,1 D ⁴;

для по­лого круг­ло­го бру­са

За­пишем вы­раже­ние для уг­ла зак­ру­чива­ния j в ви­де

Про­из­ве­дение GJ_p на­зыва­ют жес­ткостью бру­са при кру­чении.

Итак, по­луче­на за­виси­мость, по ко­торой мож­но оп­ре­делять уг­лы зак­ру­чива­ния бру­са. Оп­ре­делять угол зак­ру­чива­ния по этой за­виси­мос­ти мож­но только при ус­ло­вии, что на дли­не l все вхо­дящие в эту фор­му­лу ве­личи­ны М _кр, J_p и G — пос­то­ян­ные.

Пе­рехо­дим к пос­тро­ению эпю­ры уг­ло­вых пе­реме­щений. Вал по дли­не раз­би­ва­ем на че­тыре учас­тка. Так же, как и при пос­тро­ении эпю­ры пе­реме­щений при рас­тя­жении, на­чина­ем стро­ить эпю­ру от не­под­вижно­го се­чения, т. е. от жес­ткой за­дел­ки. В кон­це I учас­тка угол зак­ру­чива­ния

В кон­це II учас­тка угол зак­ру­чива­ния

В кон­це III учас­тка

На IV учас­тке угол зак­ру­чива­ния бу­дет ра­вен уг­лу зак­ру­чива­ния j_III, так как на этом учас­тке от­сутс­тву­ют внут­ренние кру­тящие мо­мен­ты.

Вы­чис­ленные уг­ло­вые пе­реме­щения от­кла­дыва­ем на эпю­ре j.

 

 

Прямой поперечный изгиб