Дифференциальные уравнения порядка n.

Общий вид: .

Если уравнение сведено к виду  то оно называется разрешённым относительно старшей (высшей) производной.

Методы понижения порядка.

Случай 1. Если в уравнении отсутствуют младшие порядки производных. Так, в уравнении   отсутствуют все производные до порядка , в том числе 0-го порядка, а именно сама функция , и начинаются с порядка . В этом случае можно сделать замену , то есть в качестве новой функции взять производную самого младшего порядка, которая есть в уравнении.

Докажем, что в этом случае понизится на  порядков и станет .

 и так далее. Таким образом, замена  понижает на k  порядок уравнения . 

 

Пример 335. Решить уравнение 2 порядка .

Замена: , тогда .

Уравнение сводится к виду . Для  уравнение 1 порядка и решается обычными методами, изученными ранее.

.

Вспомним о том, что , то есть теперь, чтобы сделать обратную замену и восстановить , надо 1 раз проинтегрировать.

 = . В общем решении здесь не одна, а две константы, вторая появляется из-за того, что интегрировали для обратной замены. А если уравнение 3 порядка, то будет 3 константы в общем решении.

Задача 336. Решить дифференциальное уравнение  .

Решение. Это уравнение сводится к  заменой , .

  

Особые решения: .

Далее, .

Провести обратную замену здесь означает вычислить первообразную, ведь у нас было . 

 = . 

Ответ. . 

 

Задача 337. Найти общее решение уравнения  и частное решение при условиях Коши: .   

Решение. Сделаем замену , тогда . 

Тогда уравнение сведено к виду .

.

Теперь вспомним, что было  и сделаем обратную замену.

 =  - это общее решение.

Особые решения: , но здесь их не надо указывать отдельно, так как они входят в состав общего решения: при  остаётся только .

А теперь конкретизируем константы с помщью условий Коши, то есть найдём частное решение. У нас есть информация:

,

а также .

Тогда , , то есть

. Тогда частное решение: .

Ответ. , . 

Задача 338. Найти общее решение уравнения   и частное решение при условиях Коши: .

Решение. Сделаем замену , тогда уравнение сводится к ,

решаем его: .

Теперь вспомним, что  это , и сделаем обратную замену, для этого надо 2 раза перейти к первообразной.

.

Особые решения: , впрочем, они входят в состав общего решения, ведь при  будет .

Уравнение 3 порядка, и здесь получилось 3 константы. Теперь найдём частное решение. В первом столбце та или иная производная, во втором - что в неё подставить, какое из условий Коши. В третьем-что при этом получится. Везде подставляем .

 

 

.

, ,

Это система из 3 уравнений, но только метод Гаусса в полном объёме здесь не нужен, потому что сразу определено , тогда из второго уравнения получим , подставляем в первое . Итак, .

Ответ. Общее реш. , частное .

Случай 2. Если в уравнении содержится  и все порядки производных, но при этом нет переменной . Тип уравнения такой: .

Например,  - уравнение колебательного процесса в физике.

В этом случае замена , то есть  будет выступать в роли переменной, а  - в роли функции от .

Естественно возникает вопрос: а существуют ли в принципе такие преобразования, не содержат ли они противоречия? Всегда ли можно выразить  как функцию от ? Изучим этот вопрос подробнее. Оказывается, надо лишь найти обратную функцию и подставить её в производную . Примеры:

Пример 1. , . Выразим , и подставим в производную, тогда верно, что .

Пример 2. , . Тогда , и в итоге .

Как видите,  может быть записано не только как функция от , но и как функция от .

 

Итак, замена . В данном случае,   не , потому что фактически здесь была композиция: , и следующую производную от неё надо вычислять именно как для композиции.

Получается . 

 =   

вычисляем производную произведения двух сомножителей, причём в каждом из них ещё и композиция:

 

учитывая, что , получится .

1-я производная от выражается через 0-ю производную от ,

2-я производная от выражается максимум через 1-ю производную от , 3-я производная от выражается через 2-ю, 1-ю и 0-ю производную от :

.

Таким образом, доказали, что порядок при таком преобразовании обязательно понизится на 1 единицу.

Доказали, что замена  понижает на единицу порядок уравнения .

 

Пример 339:  

Это уравнение колебательного процесса: чем больше координата, тем больше действует сила (ускорение) в противоположную сторону.

После замены, уравнение преобразуется к виду: .

Сначала 1-й шаг: ищем неизвестную функцию .

 .При этом , иначе справа всё выражение было бы отрицательно и не могло бы быть равно . Если , то эту константу можно представить в виде . Итак,

, то есть . Итак, мы нашли неизвестную функцию , то есть выполнили действия после замены. Теперь нужно сделать обратную замену, фактически для этого выполнить такой же по объёму 2-й шаг, решить новое дифференциальное уравнение. Ведь , то есть теперь надо решить уравнение: 

.

2 шаг. Обратная замена.

. Здесь  называется амплитудой колебаний,  - фазой. Впрочем, при  получается не синус, косинус, а именно, по формуле приведения . Поэтому в решении есть и косинусы. Более того, мы могли при решении знак плюс-минус также перенести, , тогда бы слева сразу получалось 2 варианта: или арксинус, или арккосинус.

На этом примере увидели, что уравнение  действительно является уравнением колебаний, то есть в его решении периодические функции.