Подведение под знак дифференциала.

Практика 26.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Определение. Если , то  называется первообразной от функции .

Свойство. Если  первообразная, то  (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции  называется неопределённым интегралом этой функции.   Обозначение: .

Свойства линейности. 1. 2.

 

Таблица основных интегралов.

()

 

 

;  

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Пример.  =  = .

Пример.  =  = .

Задача 277. Вычислить .

Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

 =  =  = . 

Ответ. .

Задача 278. Вычислить .

Решение. Замечая, что , преобразуем так:

 =  =  = .

Ответ. .

Задача 279. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа  или .

=  =  = .

Ответ. .

Задача 279-Б. Вычислить .

Решение. Применим формулу понижения степени.

 =  =  =

 = .

 

Задача 280.  Вычислить .  

Решение. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь.  =  =  =

  теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 281. Вычислить .

Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

 =  =  что тоже приводит к .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, получаем ответ:   

Ответ. .

Задача 282.  Вычислить .

Решение. D < 0, можно выделить полный квадрат:

 =  = .

С помощью замены  сводится к интегралу: 

 = , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

 Ответ. .

Задача 283. Вычислить .

Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим  = .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции,  =  = .     Ответ. .

 

Задача 284. Вычислить .

Решение.  =  =  =  = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто  а :

 =  = .

Теперь интеграл имеет вид , и равен .

После обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

 

 

Задача 285. Вычислить .

Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.

 =  =  =

=  = .

Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.

 =   = .

Ответ. .

 

Замена переменной.

Задача 286. Вычислить .

Решение. Сделаем замену , тогда , , .

 =  =  = .

Обратная замена:  =  = .

Более того, область определения исходной функции  из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: .

 

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например  и , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .

Если , тогда: , .

Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени :

 = ,

 = .

 

Задача 287. Вычислить интеграл .

Решение. НОК (2,3,5) = 30. Поэтому замена .

Тогда . Дополняющий множитель до НОК для числа 5 как раз и есть 6, ведь НОК = 30.

Другие корни пересчитываются аналогично:

, 

.

Надо ещё пересчитать дифференциал для новой переменной : 

.

Теперь подставим всё это в интеграл.

 =  =  =

=  =  , и после обратной замены:

Ответ. .

 

Практика 27.

Задача 294. Вычислить интеграл .  

Решение.  =  =  =  =

.    

Ответ. .

Задача 295. Вычислить .

Решение.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 296. Вычислить .

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .

 =  =  =  

и теперь, после замены , получится .

Далее, сделаем преобразование, которое позволит оставить только однотипные корни:

 =  =  =

 =  

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

 = .

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

Ответ. .

Задача 297. Вычислить .

Решение.  =  =

=  =  =  =

 =  = .

Ответ. .

Задача 298. Вычислить . 

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда  =  =  =  = .

Здесь фактически мы применили замену  для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .

Ответ. .

 

Задача 299. Вычислить .   

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :

 =   

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :

 =  =

= .

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

 =

.

Ответ. .

 

Задача 300.  Вычислить интеграл .

Решение.  =  =

В отличие от прошлой задачи, здесь не надо прибавлять и вычитать, так как полный дифференциал знаменателя это , в знаменателе нет 1-й степени, а его производная поэтому не содержит константу.

Далее,  = , и в итоге:

Ответ. .

 

 Интегрирование по частям.

.

Задача 301. Вычислить  .  

Решение. Если обозначить , , то при переходе к  степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу: 

 = , тогда получаем ответ: .

 

 

Задача 302. Вычислить .

Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу: 

Тогда  = = .

Ответ. .

Задача 303. Вычислить интеграл .

Решение.

 =  = .

Ответ. .

 

 

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

Задача 304. .

Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от  к .

 =  =  = .

 

 

Задача 305. Вычислить интеграл  

Решение. Пусть , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, .

 

Построим таблицу:

Тогда  =  =

 = =

=  . 

Ответ. .

 

Задача 306.  Вычислить интеграл  

Решение. Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы  используем, обозначая её  при интегрировании по частям:

Тогда:  = .

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

 =  =

 =  =

. Знак модуля даже не нужен, т.к. . Ответ. .   

Интегралы  и   называются циклическими, потому что через 2 цикла вычисления  «по частям» получается исходный интеграл в правой части выражения, т.е. , откуда можно просто выразить .

Задача 307. Вычислим интеграл .

  На первом шаге, обозначаем , .

. = .

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .

Получается  =  = .

Из равенства  можно выразить :

, .

Ответ.  = .

 

Домашние задачи.

Практика 28 (530 гр).

Задача 312. Вычислить интеграл    

Решение. В данном случае знаменатель уже разложен в произведение множителей первой степени. Теперь представим дробь в виде суммы:

.

После приведения к общему знаменателю:

 = .

Тогда .

Перегруппируем слагаемые, так, чтобы вынести отдельно вторые степени, первые степени и константы.

.

Отсюда строим систему уравнений:

чтобы её решить, построим расширенную матрицу системы и применим метод Гаусса.

Сначала ко 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 5,

затем от 3-й отняли 1-ю, умноженную на 6.

Так мы обнулили всё ниже углового элемента .

А теперь к 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на 3:

.

Уже получилась треугольная основная матрица.

Ей соответствует такая система:

, т.е. , тогда , а тогда .

Теперь интеграл сводится к такому виду:

 ,

Ответ. .

Задача 313. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала разложим знаменатель на множители:

 = .

 =  = .

, тогда

, отсюда , .

 =  =  = .

Ответ. .

Задача (домашняя). Вычислить интеграл .

Кратко: ,

, , . 

Ответ. .

 

Случай 2.  Если все корни , но среди них есть кратные.

Задача 314. Вычислить интеграл .

Решение. Наличие множителя  означает, что корень 0 кратности 2. Фактически даже можем рассматривать в таком виде: .

Сначала извлечём дробь из интеграла, и ищем разложение в виде:

 =

Приводим к общему знаменателю.

 =

Так как знаменатели равны, то осталось приравнять числители.

 = ,

 =  

 =

Тогда надо приравнять коэффициенты при каждой степени, получится , , .

То есть система уравнений на поиск трёх неопределённых коэффициентов:

решая эту систему, находим .

Тогда исходный интеграл распадается на сумму:

 =  =

 = .

Задача 315. Вычислить интеграл . 

Решение. Как видим, здесь корень 1 имеет кратность 2. Разложение на простейшие дроби нельзя проводить так, как будто бы здесь три независимых множителя , , , т.е. , иначе получится противоречие, ведь общий знаменатель будет содержать всего лишь 1-ю степень  но никак не вторую. Надо степени знаменателя учитывать по возрастающей, до кратности корня, а именно, так: .

Приведём к общему знаменателю:

.

Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле:

.

, система:

. Построим расширенную матрицу и решим систему уравнений:

.

Система приведена к виду:

Тогда , , . И теперь интеграл распадается на сумму трёх интегралов: .

В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе.

Полезно вспомнить, что .

То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак.

Ответ. .

 

Задача 316. Вычислить интеграл .

Решение.  =  = .

Здесь корень 0 имеет кратность 2, остальные корни простые.

 = .

После приведения к общему знаменателю, числитель будет такой:

.

После приведения подобных:

, это надо приравнять к

. Получится систему с 4 неизвестными:

Поскольку A,B определяются сразу же, , ,

то матрицу 4 порядка для метода Гаусса строить не надо, а останется только маленькая система на C,D.

тогда , .

, то есть, как видим, некоторые слагаемые в некоторых примерах могут и пропадать, однако те, где степень самая высокая, равная кратности - не могут, так, здесь не могло бы быть , иначе возникло бы противоречие при приведении к общему знаменателю.

 = .

Ответ.

 

Случай 3. Если есть комплексные корни (не все корни ).

Множители 2 степени типа  или  с отрицательным дискриминантом +  +...

Задача 317. Вычислить интеграл .

Решение. Ищем разложение в виде:  = .     Приводим к общему знаменателю.

=    

 =   

 =   

 = .

Получаем систему:

. Из разности 1-го и 2-го уравнения, получаем .

В то же время, . Тогда . Тогда .

Итак, заменим в интеграле «большую» дробь на сумму маленьких, каждая из которых приводится к табличному интегралу.

 =  = .

Итак, мы рассмотрели все типы рациональных дробей. Других случаев нет, т.к. неделимых множителей 3-й степени уже быть не может, для многочлена 3 степени есть хотя бы один действительный корень.

Задача 318. Вычислить интеграл .  

Решение. Запишем разложение на простейшие дроби: .

Это равно . 

Тогда .

, итого , , .

Тогда .

Во втором слагаемом, можно подвести под знак дифференциала:

 =  = .

Ответ. .

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Практика 29.

Поле направлений. Если задано дифференциальное уравне