Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения играет исключительно важную роль в теории вероятностей и среди других законов занимает особое место. Нормальный закон распределения иногда называют распределением Гаусса, или распределением Лапласа—Гаусса и т. д. Эти названия связаны с историей открытия закона немецким математиком (современники называли его королем математиков) К. Ф. Гауссом в 1809 г. и французским физиком и математиком П. С. Лапласом в 1812 г. У обоих первооткрывателей результаты были получены в связи с исследованиями по теории ошибок и методу наименьших квадратов.

Рассматривая случайные величины, мы уже говорили о различных формах закона больших чисел. Вспомним о стремлении при определенных условиях тех или иных случайных величин к некоторым постоянным (частота стремится к вероятности, среднее арифметическое — к математическому ожиданию). Именно это свойство случайных величин позволяет предсказывать результаты случайных массовых явлений почти с полной определенностью. Возможности такого предвидения существенно расширяются группой предельных теорем, касающихся предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием «центральная предельная теорема».

При соблюдении некоторых условий закон распределения суммы достаточно большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному. Эти «некоторые условия» сводятся по существу к требованию одинаково малого влияния на сумму каждого из слагаемых. Различные теоремы, составляющие центральную предельную теорему, различаются теми условиями, наличие которых обеспечивает предельное свойство суммы случайных величин.

Нормальный закон распределения является таким законом, к которому неограниченно приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Так, знакомый нам закон распределения Пуассона может хорошо описываться (апроксимироваться) нормальным законом при условии, что математическое ожидание случайной величины больше или равно 4, что символически запишется следующим образом: Р х n>4.

При практическом равенстве противоположных событий (р~1—р) биномиальное распределение хорошо апроксимируется нормальным законом. Этим и объясняется столь широкое распространение нормального закона распределения в самых - различных областях: технике, биологии, теории ошибок и т. д.

Схема испытаний Бернулли.

Со схемой испытаний Бернулли связано установление важных закономерностей теории вероятностей как математической пауки, относящихся к сумме независимых случайных величин и представляющих закон больших чисел. Физическим содержанием закона больших чисел является устойчивость некоторых средних в массовых случайных явлениях. В узком смысле под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Важные теоремы, составляющие закон больших чисел, впервые были выведены для схемы испытаний Бернулли.

Теорема Чебышева. Среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины при достаточно большом числе испытаний приближается к ее математическому ожиданию. На эту теорему мы ссылались в предыдущей главе.

Теорема Бернулли. Частота случайного события при достаточно большом числе независимых испытаний в неизменных условиях приближается к вероятности его появления в отдельном испытании.

Теорема Пуассона. Частота случайного события при достаточно большом числе независимых испытаний приближается к среднему арифметическому вероятностей его проявления в отдельных испытаниях. Теорема Пуассона нам понадобится в дальнейшем.

Центральная предельная теорема. Закон распределения суммы достаточно большого числа слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, приближается к нормальному закону распределения.