Определение понятия вероятность.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №2

у студентов 1 курса

Тема: «Основы теории вероятностей»

 

Красноярск

2011

 

 

1. Тема занятия: «Основы теории вероятностей»

2. Форма организации учебного процесса: практическое занятие.

3. Значение темы: Любое из событий в медицинской практике носит вероятностный характер соответственно выбор наиболее успешной тактики постановки диагноза и лечения зависит от умения определять наиболее вероятные события исходя из накопленных знаний.

 

4. Аннотация (краткое содержание) темы.

Относительные величины.

Определение понятия вероятность.

Теория вероятностей — математическая наука, устанавливающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей — раздел математики; изучает математические модели случайных явлений; вычисляет вероятности одних событий по вероятностям других событий; теория нормированной меры, которая отличается от общей теории меры ключевым понятием независимости событий относительно вероятности, выделяющим её в самостоятельную математическую дисциплину; основные понятия: случайный эксперимент, событие, алгебра событий, вероятность, независимость событий, распределение вероятностей, случайная величина, случайный процесс, закон больших чисел, центральная предельная теорема; находит многочисленные применения в естественных и социально-экономических науках.

Закономерности, устанавливаемые теорией вероятностей, позволяют по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Говоря простыми словами, вероятность — это возможность реализации какого-либо события, например, выздоровления или смерти. Но прежде чем мы отправимся дальше, нам необходимо ознакомиться с очередной порцией жаргона. Когда речь идет о вероятности, часто используются соответствующие термины.

Эксперимент. Процесс измерения или наблюдения за действием с целью сбора данных. Примером является кидание костей или оценка исходов лечения.

Исход, определенный результат эксперимента. Пример — выпадение троек при кидании костей, выздоровел – умер.

Выборочное пространство. Все возможные исходы.эксперимента. Выборочное пространство для нашего эксперимента — это числа {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12}. Статистики любят окружать значения выборочного пространства скобками, видимо потому, что считают, что это очень круто.

Событие. Один или несколько исходов, которые представляют интересдля эксперимента и которые являются подмножеством выборочногопространства. Примером является выпадение двоек, троек, четверокили пятерок обеих костей. Для медицины результаты при выписке излечение или хронизация заболевания.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который при реализации определенного комплекса условий может произойти или не произойти.

Чтобы правильно определить вероятность, необходимо решить, о какомтипе вероятности идет речь.

Под вероятностью события понимается численная мера объективной возможности появления данного события при реализации определенного комплекса условий.

При введении понятия вероятности мы опираемся на практический смысл, а именно: на основании опыта считаем более вероятными те события, которые происходят чаще, и менее вероятными те, которые происходят реже.

При введении понятия вероятности мы опираемся на практический смысл, а именно: на основании опыта считаем более вероятными те события, которые происходят чаще, и менее вероятными те, которые происходят реже.

Случайной величиной называется величина, которая при реализации определенного комплекса условий может принимать различные значения.

В качестве единицы измерения естественно принимается вероятность события, которое называется достоверным.

Классическая вероятность

Классическая вероятность применима к ситуациям, когда нам известно число возможных исходов определенного события и можем вычислить вероятность этого события с помощью следующего уравнения:

Р[А] =Количество возможных исходов реализации события А / общее количество возможных исходов в выборочном пространстве;

Где

Р[А] = вероятность того, что произойдет событие А.

Чтобы воспользоваться классической вероятностью, вам необходимоиметь представление о происходящемсобытии, чтобы оценить количествоего исходов. Вы 'также должны суметьсосчитать общее число событий в данном выборочном пространстве.

Рассчитаем вероятность извлечения из кармана халата, в котором лежат две синих и одна красная ручка, красной ручки.

Р[Акр]=1/3≈0,33, противоположное событие извлечение синей ручки составит Р[Акр]=2/3≈0,66

Эмпирическая вероятность

Когда мы не обладаем достаточной ин-формацией о происходящем и не можем определить число возможных исходов интересующего нас события,мы можем воспользоваться эмпирической вероятностью. Этот тип вероятности определяет количество реализаций события эмпирическим путем ивычисляет вероятность с помощьюраспределения относительных частот.Получаем следующее уравнение:

Р[А]= частота события А / общее количество наблюдений.

Примером эмпирической вероятности можно с уверенностью назвать вопрос: какова вероятность того, что Петр сдаст зачет с первого раза? Поскольку результат зависит от множества причин придется опереться на эмпирическую вероятность. Втаблице ниже представлено количество попыток потребовавшихсяПетрупо 20 дисциплинам, чтобы получить зачет.

2	4	3	3	1	2	4	3	3	1
4	2	3	3	1	3	2	4	3	4

 

Мы можем суммировать эти данные и представить их в виде распределения относительных частот.

Распределение относительных частот попыток сдачи зачетов Петра

Количество попыток	Количество наблюдений	Процент
1	3	3/20=0,15
2	4	4/20=0,2
3	8	8/20=0,4
4	5	5/20=0,25

Всего: 20

На основании этих наблюдений следует: если Событие А = Петрсдаст зачет с 1 раза, тогда Р[А] = 0.15.

Используя предыдущую таблицу, мы можем также определить вероятность и других событий. Предположим, Событие В = Петру требуется более2 попыток, чтобы получить зачет. Тогда Р[В] = 0.40 + 0.25 = 0.65. Этому студенту следует увеличить старание в учебе!

Закон больших чисел. ТерминыЗакон больших чисел гласит,что когда эксперимент проводится большое число раз, эмпирическая вероятность этого процесса стремится к классической.

Чтобы продемонстрировать вам действие этого закона, предположим, чтоя трижды подбросил монетку, и каждый раз она выпадала «орлом» вверх. Дляданного эксперимента эмпирическая вероятность выпадения орла равняется100%. Но если бы я подбросил монету 100 раз, эмпирическая вероятностьоказалась бы гораздо ближе к классической вероятности в 50%.

Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли показал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что наблюдаемая частота случайного события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности появления события в отдельном опыте.

Практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота стремится к некоторой постоянной величине, которая представляет собой вероятность появления случайного события.

Субъективная вероятность. Субъективная вероятность используется тогда, когда классическую и эмпирическую вероятности применить невозможно. В этом случае при оценке вероятности мы вынуждены полагаться на опыт и интуицию.Примерами субъективной вероятности могут служить следующие вопросы: «Какова вероятность того, что пациент будет соблюдать предписанный режим питания (60%).

Основные свойства вероятности

Следующий наш шаг - это ознакомление с основными правилами теориивероятности.

Если Р[А] - 1, то Событие А точно произойдет. Пример События Ачеловек с наличием пульса, дыхания и мозговой активности жив.

Если Р[А] - 0, то Событие А не произойдет. Пример События А – студенты университета за год не пропустят ни одной лекции.

Вероятность События А должна быть между 0 и 1.

Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства должнаравняться 1. Например, если экспериментом является подбрасываниемонеты при Событии А = орел и Событии В = решка, то А и В представляют собой все выборочное пространство. Мы также знаем, что Р[А] +Р[В] = 0.5 + 0.5 = 1.

Дополнение События А определяется как все исходы в пределах выборочного пространства, которые не являются частью События А, и обозначается А'. Используя это определение, мы можем утверждать следующее: Р[А] + Р[А'] = 1 или Р[А] = 1 - Р[А'].

В ранее предложенном примере вероятности извлечения из кармана халата, в котором лежат две синих и одна красная ручка, красной ручки.

Р[А]=1/3≈0,33, противоположное событие извлечение синей ручки составит Р[А']=1-0,33≈0,67;

Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия — сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей— символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе.

Можно сказать так: суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них»

Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какого-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута (событие-А), или трамвая второго маршрута (событие В), или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов (событие С). На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:

D=A+B + C.

Теорема умножения

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них (А) на условную вероятность другого (В), вычисленную при условии, что первое имело место.

Символически это записывается следующим образом:

Р (АВ) = Р (А) х Р (В/А).

Рассмотрим следствия теоремы умножения.

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Вспомните, что под произведением событий понимается совместное их появление.

Для двух событий по теореме умножения имеем:

Р(АВ) = Р (А) х Р (В/А).

Но поскольку события независимы, справедливо равенство Р(В/А) = Р(В), и тогда получаем: Р(АВ) =Р(А) х Р(В).

Для трех событий по аналогии получаем: Р (ABC) = Р(А) х Р(В) х Р(С).

Рассмотрим пример. Из урны, в которой находятся 1 черный и 2 белых шара (П = 3), выбираем два шара подряд. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Обозначим интересующее нас событие через А, а события, заключающиеся в выборе белого шара первый и второй раз — Через A1 и А2 соответственно. Интересующее нас событие равно произведению событий A1 и А2:

А=А1 х А2.

Схема испытаний Бернулли.

Со схемой испытаний Бернулли связано установление важных закономерностей теории вероятностей как математической пауки, относящихся к сумме независимых случайных величин и представляющих закон больших чисел. Физическим содержанием закона больших чисел является устойчивость некоторых средних в массовых случайных явлениях. В узком смысле под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Важные теоремы, составляющие закон больших чисел, впервые были выведены для схемы испытаний Бернулли.

Теорема Чебышева. Среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины при достаточно большом числе испытаний приближается к ее математическому ожиданию. На эту теорему мы ссылались в предыдущей главе.

Теорема Бернулли. Частота случайного события при достаточно большом числе независимых испытаний в неизменных условиях приближается к вероятности его появления в отдельном испытании.

Теорема Пуассона. Частота случайного события при достаточно большом числе независимых испытаний приближается к среднему арифметическому вероятностей его проявления в отдельных испытаниях. Теорема Пуассона нам понадобится в дальнейшем.

Центральная предельная теорема. Закон распределения суммы достаточно большого числа слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, приближается к нормальному закону распределения.

 

Задача №1

Пусть имеются 4 внешне одинаковые коробки, содержащие красные и синие карандаши. В первой коробке находятся 2 красных и1синий карандаш, во второй — 3 красных и 1 синий, в третьей 2 красных и 2 синих карандаша, в четвертой – 4 красных и 6 синих карандашей. Оценим событие А, заключающееся в выборе красного карандаша из наугад выбранной коробки.

 

Эталон №1.

В этом примере гипотезы H1, Н2, Н3, Н4 заключаются в выборе первой, второй, третьей и четвертой коробки, соответственно. Поскольку все коробки одинаковы, гипотезы равновозможны, откуда вероятности выбора любой из коробок одинаковы и равны:

P(H1)=P(H2)= P(H3)= P(H4)=1/4

Условные вероятности события А при каждой из гипотез определяются отношением числа красныхкарандашей  к общему числу карандашей в каждой коробке.

Р(А/Н1) = 2/3; Р(А/Н2) = 3/4; Р(А/Н3) = 2/4;Р(А/Н4) = 4/10

Вероятность события А при наугад выбранной коробке определится по форме полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1) * Р(А/Н1) + Р(Н2) * Р(А/Н2) + Р(Н3) * Р(А/Н3) + Р(Н4) * Р(А/Н4) = 1/4 * 2/3 + 1/4 *3/4 + 1/4 * 2/4 +1/4 * 4/10= 139/240

       

 

7. Перечень практических умений.

Уметь рассчитать вероятность простых событий,

- применить теорему сложения вероятностей,

- применить теорему произведения вероятностей;

- рассчитатьизменение апостериорной вероятности.

- применить схему и теорему Бернулли.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №2

у студентов 1 курса

Тема: «Основы теории вероятностей»

 

Красноярск

2011

 

 

1. Тема занятия: «Основы теории вероятностей»

2. Форма организации учебного процесса: практическое занятие.

3. Значение темы: Любое из событий в медицинской практике носит вероятностный характер соответственно выбор наиболее успешной тактики постановки диагноза и лечения зависит от умения определять наиболее вероятные события исходя из накопленных знаний.

 

4. Аннотация (краткое содержание) темы.

Относительные величины.

Определение понятия вероятность.

Теория вероятностей — математическая наука, устанавливающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей — раздел математики; изучает математические модели случайных явлений; вычисляет вероятности одних событий по вероятностям других событий; теория нормированной меры, которая отличается от общей теории меры ключевым понятием независимости событий относительно вероятности, выделяющим её в самостоятельную математическую дисциплину; основные понятия: случайный эксперимент, событие, алгебра событий, вероятность, независимость событий, распределение вероятностей, случайная величина, случайный процесс, закон больших чисел, центральная предельная теорема; находит многочисленные применения в естественных и социально-экономических науках.

Закономерности, устанавливаемые теорией вероятностей, позволяют по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Говоря простыми словами, вероятность — это возможность реализации какого-либо события, например, выздоровления или смерти. Но прежде чем мы отправимся дальше, нам необходимо ознакомиться с очередной порцией жаргона. Когда речь идет о вероятности, часто используются соответствующие термины.

Эксперимент. Процесс измерения или наблюдения за действием с целью сбора данных. Примером является кидание костей или оценка исходов лечения.

Исход, определенный результат эксперимента. Пример — выпадение троек при кидании костей, выздоровел – умер.

Выборочное пространство. Все возможные исходы.эксперимента. Выборочное пространство для нашего эксперимента — это числа {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12}. Статистики любят окружать значения выборочного пространства скобками, видимо потому, что считают, что это очень круто.

Событие. Один или несколько исходов, которые представляют интересдля эксперимента и которые являются подмножеством выборочногопространства. Примером является выпадение двоек, троек, четверокили пятерок обеих костей. Для медицины результаты при выписке излечение или хронизация заболевания.