Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Запишем теорему сложения символически:

Р(А + В) = Р(А)+Р(В),

где Р — вероятность соответствующего события, которое указывается в скобках.

Рассмотрим пример. У больного наблюдается желудочное кровотечение. Этот симптом регистрируется при язвенной эрозии сосуда (событие А), разрыве варикозно-расширенных вен пищевода (событие В), раке желудка (событие С), полипе желудка (событие D), геморрагическом диатезе (событие F), механической желтухе (событие Е) и конечном гастрите (событие).

Врач, основываясь на опыте, приписывает каждому событию значение вероятности:

 

Всего врач имел 80 больных с желудочным кровотечением (n = 80), из них у 12 была язвенная эрозия сосуда (mа = 12), у 6 — разрыв варикозно-расширенных вен пищевода (mв =6), у 36 — рак желудка (mс =36) и т. д.

Для назначения обследования врач хочет определить вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка (событие I).

 

Вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка, достаточно высока, и врач может определить тактику обследования исходя из предположения о заболевании желудка, обоснованном на количественном уровне с помощью теории вероятностей.

Если рассматриваются совместные события, вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности совместного их наступления. Символически это записывается следующей формулой.

 

Если представить себе, что событие А заключается в попадании при стрельбе в мишень, заштрихованную горизонтальны-ми полосами, а событие В— в попадании в мишень, заштрихованную вертикальными полосами, то в случае несовместных событий по теореме сложения вероятность суммы равна сумме вероятностей отдельны событий. Если же эти события совместны, то есть некоторая вероятность, соответствующая совместному наступлению событий А и В. Если не ввести поправку на вычитаемое Р(АВ), т. е. на вероятность совместного наступления событий, то эта вероятность будет учтена дважды, так как площадь, заштрихованная и горизонтальными, и вертикальными линиями, является составной частью обеих мишеней и будет учитываться как в первом, так и во втором слагаемом.

На рис. 1 дана геометрическая интерпретация, наглядно иллюстрирующая данное обстоятельство. В верхней части рисунка помещены непересекающиеся мишени, являющиеся аналогом несовместных событий, в нижней части — пересекающиеся мишени, являющиеся аналогом совместных событий (одним выстрелом можно попасть сразу и в мишень А, и в мишень В).

Прежде чем перейти к теореме умножения, необходимо рассмотреть понятия независимых и зависимых событий и условной и безусловной вероятностей.

Независимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого не зависит от появления или не-появления события В.

Зависимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого зависит от появления или не появления события В.

Рассмотрим пример. В урне находятся 3 шара, 2 белых и 1 черный. При выборе шара наугад вероятность выбрать белый шар (событие А) равна: Р(А) = 2/3, а черный (событие В)Р(В) = 1/3. Мы имеем дело со схемой случаев, и вероятностисобытий рассчитываются строго по формуле. При повторении опыта вероятности появления событий А и В остаются неизменными, если после каждого выбора шар возвращается в урну. В этом случае события А и В являются независимыми. Если же выбранный в первом опыте шар в урну не возвращается, то вероятность события (А) во втором опыте зависит от появления или непоявления события (В) в первом опыте. Так, если в первом опыте появилось событие В (выбран черный шар), то второй опыт проводится при наличии в урне 2 белых шаров и вероятность появления события А во.втором опыте равна:Р(А) = 2/2= 1.

Если же в первом опыте не появилось событие В(выбран белый шар), то второй опыт проводится при наличии в урне одного белого и одного черного шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Р(А)=1/2. Очевидно, в этом случае события А и В тесно связаны и вероятности их появления являются зависимыми.

Условной вероятностью события А называется вероятность его появления при условии, что появилось событие В.

Условная вероятность символически обозначается Р(А/В).

Если вероятность появления события А не зависит от появления события В, то условная вероятность события А равна безусловной вероятности:

Р(А/В) = Р(А).

Если вероятность появления события А зависит от появления события В, то условная вероятность никогда не может быть равна безусловной вероятности:

Р(А/В) знак не равно Р(А).

Выявление зависимости различных событий между собой имеет большое значение в решении практических задач. Так, например, ошибочное предположение о независимости появления некоторых симптомов при диагностике пороков сердца вероятностной методике, разработанной в Институте сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева, обусловило около 50% ошибочных диагнозов.  i

Рассмотрим теорему умножения.

Теорема умножения

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них (А) на условную вероятность другого (В), вычисленную при условии, что первое имело место.

Символически это записывается следующим образом:

Р (АВ) = Р (А) х Р (В/А).

Рассмотрим следствия теоремы умножения.

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Вспомните, что под произведением событий понимается совместное их появление.

Для двух событий по теореме умножения имеем:

Р(АВ) = Р (А) х Р (В/А).

Но поскольку события независимы, справедливо равенство Р(В/А) = Р(В), и тогда получаем: Р(АВ) =Р(А) х Р(В).

Для трех событий по аналогии получаем: Р (ABC) = Р(А) х Р(В) х Р(С).

Рассмотрим пример. Из урны, в которой находятся 1 черный и 2 белых шара (П = 3), выбираем два шара подряд. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Обозначим интересующее нас событие через А, а события, заключающиеся в выборе белого шара первый и второй раз — Через A1 и А2 соответственно. Интересующее нас событие равно произведению событий A1 и А2:

А=А1 х А2.