Приближенное решение дифференциальных уравнений

В том случае, если решение дифференциального уравне- ния не выражается через элементарные функции или метод его решения слишком сложен, для его приближенного решения можно использовать ряд Тейлора.

Предположим, что надо решить дифференциальное урав- нение

,                                                                 (7.10)

которое удовлетворяет начальным условиям:

.                                                 (7.11)

Для нахождения частного решения используем метод пос- ледовательного дифференцирования.

Предположим, что решения дифференциального уравне- ния в окрестности точки x 0, в которой заданы начальные усло- вия, можно разложить в ряд Тейлора.

 

 

(7.12)

Первые два коэффициента в ряде (7.12) можно определить по начальным условиям (7.11). Затем подставляем в исходное дифференциальное уравнение (7.10) значение x = x 0,   y = y 0,

y = y 0 и определяем третий коэффициент: y (x 0) = f (x 0, y 0,

y). Значение последующих коэффициентов y (x), y ⁽⁴⁾ (x), …,

0                                                                                                                                                               0                    0

0

y ^{( n )} (x) находим путем последовательного дифференцирования уравнения (7.10) по х и нахождение производных соответству- ющего порядка при x = x 0. Затем найденные значения произ- водных подставляют в ряд (7.12).

Он и является частным решением исходного дифференци- ального уравнения (7.10) для тех значений x, для которых он сходится. Частичная сумма этого ряда есть приближенное ре- шение уравнения (7.10) при начальных условиях (7.11).

Данный метод можно применять решения дифференци- альных уравнений любого порядка.

Пример 7.15.

Используя метод последовательного дифференцирования найти частное решение дифференциального уравнения y = x  

  sin y, если начальные условия таковы ; .

Будем искать решение данного дифференциального урав- нения в виде ряда Тейлора:

 

Используя заданные начальные условия, определяем:

; . Затем находим. Для этого подставляем в исходное дифференциальное уравнение x = 1 и                                                                                   и полу- чаем: . Для нахождения последующих коэффи- циентов дифференцируем по x заданное дифференциальное уравнение и получаем:

,

 и т. д.

Далее имеем:

.

 

 и т. д.

Подставляем значения найденных производных в ряд и получаем искомое приближенное частное решение заданного дифференциального уравнения.

 

 

Понятие о рядах Фурье

Сначала напомним, что функция f (х), которая определена при всех значениях х, называется периодической, если есть такое число Т 0, что при любом значении х выполняется ра- венство f (х + Т) = f (х).

В этом случае Т называется периодом функции. Приведем некоторые свойства периодических функций:

1. Сумма, разность, произведение, частное периодических функций с периодом Т есть периодические функции периода Т.

2. Если функция f (х) имеет период Т, то функция f (bх) имеет период Т / b.

3. Если f (х) есть периодическая функция с периодом Т, то равны два любые интеграла от этой функции, взятые по проме- жутку длины Т (предполагается, что эти интегралы существу- ют), т. е.

 

.

Дадим также понятия о гармонических колебаниях.

Простое гармоническое колебание описывается функцией

у = А ·sin (t + 0),

где у — отклонение колеблющейся точки от положения равно- весия;

А — амплитуда колебания;

  = 2π/ Т — круговая частота;

 0 — начальная фаза.

Функция А · sin(t + 0) и ее график называется простой гармоникой. Ее можно представить в виде А · (sin t ·cos 0 +

+ cos t · sin 0).

То есть простое гармоническое колебание описывается пе- риодическими функциями sin t и cos t.

Колебания, которые получаются в результате сложения не- скольких или бесконечно многих простых гармонических коле- баний, тоже будут описываться функциями вида sin t и cos t.

С помощью так называемого тригонометрического ряда практически любую периодическую функцию можно разло- жить на простые гармоники.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

а 0/2 + а 1cos х + b 1sin x + а 2cos2 x + b 2sin2 x + … +

+ а n cos nx + b n sin nx +… , (7.13)

где a 0, a 1, b 1, a 2, b 2, …, a n, b n — коэффициенты тригонометричес- кого ряда.

Если ряд (7.13) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом 2π, так как такой период имеют функции sin nx и cos nx.

Поэтому f (х) = f (х + 2π).

Предположим, что функция f (х) с периодом 2π такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда и записывается следующим образом:

.                               (7.14)

Если коэффициенты a 0, a n, b n вычисляются по формулам

;                                                              (7.15)

;                                                    (7.16)

 

,                                                    (7.17)

 

то они называются коэффициентами Фурье, а тригонометри- ческий ряд (7.13) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (х).

Теперь сформулируем теорему, которая дает достаточные условия представимости функции f (х) рядом Фурье.

Теорема 7.4 (теорема Дирихле).

Пусть функция f (х) с периодом 2π на отрезке [-π, π] удов- летворяет следующим условиям:

1) f (х) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, или этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов таким образом, что на каждом из них функция будет монотонна;

2) f (х) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет ко- нечное число точек разрыва первого рода.

В этом случае соответствующий функции f (х) ряд Фурье сходится на данном отрезке и при этом:

а) в точках непрерывности функции сумма ряда S (x) сов- падает с самой функцией, т. е. S (x) = f (x);

б) в каждой точке разрыва (х 0) функции f (х) сумма ряда равна

т. е. она равна среднему арифметическому от правого и левого пределов в этой точке;

в) на концах отрезка в точках х =-π и х = π сумма ряда равна

Теореме Дирихле удовлетворят большинство функций, встречающихся в математике. Есть функции, которые не удов- летворяют условиям Дирихле, но разлагающиеся в ряд Фурье,

так как теорема 7.4 дает только достаточное условие разложи- мости.

Приведем конкретный пример разложения функции в ряд Фурье.

Пример 7.16.

Пусть периодическая функция f (х) с периодом 2π опреде- лена следующим образом: f (х) = х, х ∈ (-π; π].

Данная функция является кусочно-монотонной и ограни- ченной, т. е. она может быть разложена в ряд Фурье. Применя- ем формулы (7.15)−(7.17) и находим:

 

Поэтому получаем ряд

Данное равенство имеет место во всех точках, за исключе- нием точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда есть среднее арифметическое от ее пределов слева и справа, т. е. равна нулю.

Задачи для самостоятельного решения

1. С помощью признаков сравнения исследовать сходи- мость рядов:

1.1.  1.2.

1.3.  1.4.

2. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Да- ламбера:

2.1.

2.2.

3. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши:

3.1.

3.2.

4. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрально- го признака Коши:

4.1.                   4.2.

 

 

дов:

5. Исследовать абсолютную или условную сходимость ря-

 

5.1.  5.2.

5.3.  5.4.

6. Найти области сходимости степенных рядов:

6.1.               6.2.

 

6.3.                6.4. x + 2 x ² + 4 x ³ + 8 x ⁴ + …

7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с пе- риодом 2π.

7.1. f (х) = | х |, где х ∈ (-π, π).

где x ∈ (-π; 0];

7.2.

где x ∈ (0; π).

8. Вычислить  определенный  интеграл               с точнос- тью до 0,01.

9. Используя метод последовательного дифференцирова- ния, найти приближенное частное решение дифференциально- го уравнения          , если начальные условия имеют вид: ,     .

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что такое сумма ряда? Дать определение сходящегося и расходящегося рядов.

3. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда?

4. В чем суть признаков Даламбера и Коши?

5. В чем суть интегрального признака Коши?

6. Какой ряд называется знакочередующимся?

7. В чем сущность признака Лейбница?

8. Что называется абсолютной и условной сходимостью ряда?

9. Какой ряд называется функциональным?

10. Что называется областью сходимости функционально- го ряда?

11. Какой ряд называется степенным?

12. Каковы основные свойства степенных рядов?

13. Какой ряд называется тригонометрическим?

14. Сформулируйте достаточный признак разложения функции в ряд Фурье.

15. В каких случаях используют ряды для вычисления оп- ределенных интегралов?

16. В чем состоит способ последовательного дифференци- рования?

 

Глава 8. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ

ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

8.1. Общие понятия и определения

Теория вероятностей — раздел математики, который занимается изучением закономерностей в случайных явле- ниях.

Случайное явление — это явление, которое при многократ- ном проведении одного и того же опыта (эксперимента) каждый раз протекает несколько по-иному. Теория вероятностей рас- сматривает не сами явления, а их математические модели. Ма- тематическая модель описывает изучаемое явление при помо- щи определенных символов и операций над ними.

Под опытом (экспериментом) будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблю- дается изучаемое явление. Если результат опыта может ва- рьироваться при его повторении, то говорят об опыте со слу- чайным исходом. Основные условия, при которых протекает опыт, должны сохраняться. Опыт не обязательно должен быть поставлен людьми, человек может выступать и в качестве на- блюдателя. Примерами случайных явлений являются: курс национальной валюты, выпадение грани с цифрой шесть при бросании игральной кости, выигрыш на рулетке в казино, ре- зультат измерения горизонтального угла с помощью теодоли- та, длительность работы стиральной машины и т. д.

Классификация событий

Если событие всегда происходит в результате опыта со случайным исходом, то оно называется достоверным. Такие события мы будем обозначать буквой U. Если в урне лежат только красные шары, то появление красного шара из урны есть достоверное событие. Надо иметь в виду, что в реальной действительности мы имеем дело с почти достоверными собы- тиями.

Если событие никогда не происходит в результате опыта со случайным исходом, то оно называется невозможным и обозна- чается ∅. Если в урне лежат только белые шары, то появление красного шара из урны есть невозможное событие. В реальной жизни мы имеем дело с почти невозможными событиями.

Случайным событием называется событие, которое в ре- зультате опыта со случайным исходом может произойти, а мо- жет и не произойти. Случайные события мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,… Например, выпадение решки при бросании монеты — случайное событие. Событием, противоположным событию А, является собы-

тие , которое происходит тогда, когда не происходит собы- тие А.

Например, производится стрельба по мишени. Собы- тие А — попадание в мишень, а событие  — промах.

Непосредственный исход опыта называется элементар- ным событием и обозначается ω.

Множество всех элементарных событий данного конкрет- ного опыта называется пространством элементарных событий этого опыта и обозначается Ω.

Например, в опыте бросания игральной кости шесть эле- ментарных исходов ω1, ω2,…, ω6, т. е. Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.

Событие удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйле-

ра. Достоверное событие U мы будем изображать прямоуголь- ником, случайное событие А — кругом внутри прямоугольника, а противоположное к нему событие  — область внутри прямо- угольника, но вне круга (рис. 8.1).

 

Рис. 8.1

Алгебра событий

Введем понятия суммы и произведения событий.

Определение. Суммой (объединением событий) А1, А2,... Аn называется событие, происходящее только в том случае, когда происходит хотя бы одно из данных событий (или А1 или А2, …, или Аn, или все вместе). Обозначают сумму событий так:

.

 

На рис. 8.2. показано изображение суммы двух событий А+В с помощью кругов Эйлера.

Определение. Произведением (пе- ресечением) событий А1, А2,... Аn назы- вается событие, которое происходит только в том случае, когда все указан- ные события появляются одновремен- но, т. е. происходит и событие А1, и А2... и Аn. Обозначается произведение со-

бытий следующим образом:

Рис. 8.2

.

 

 

Рис. 8.3

На рис. 8.3. показано изображение произведения двух событий А × В с по- мощью кругов Эйлера.

Определение. События А1, А2,... Аn называются несовместными, если их произведение есть невозможное собы- тие, т. е. А1 · А2 ·... · Аn = ∅. Заметим, что если события попарно несовместны, то они несовместны в совокупности. Не-

совместными являются все элементарные события некоторого опыта со случайным исходом, например А ×  = ∅.

На рис. 8.4. показаны два несо- вместных события А и В.

Определение. Полной группой со- бытий называется множество попар- но несовместных событий, одно из ко- торых обязательно произойдет в ре- зультате опыта со случайным исхо- дом, т. е. сумма которых есть достовер-

Рис. 8.4

ное событие.

,               А i А j = ∅,      i ≠ j

Все элементарные события ωi пространства элементарных событий Ω составляют полную группу событий. Например, пол- ную группу событий составляют события А и , т. е. А +  = U. Поэтому часто достоверные события U обозначают символом Ω, так же как пространство элементарных событий.

Определение. Событие А называ- ется частным случаем события В, если при появлении события А появляется и событие В, т. е. А влечет В. Обозна- чается этот факт следующим образом: А ⊂ В. На кругах Эйлера А есть соб- ственное подмножество множества В (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Приведем некоторые правила алгебры событий:

1) А + В = В + А;	(А + В) + С = А + (В + С);
2) A + U = U;	A + ∅ = A;	A + A = A;
3) A × B = B × A;	A × U = A;	A × ∅ = ∅;
4) A × A = A;	A × (B + C) = A × B + A × C;	.

Приведенные правила следуют из определения суммы, произведе- ния событий и противоположного со- бытия. С помощью них можно, напри- мер, доказать, что сумму двух любых событий можно представить в виде суммы двух несовместных событий, т. е. А + В =А +  × В (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Вероятность события

Вероятность события — это мера его объективной возмож- ности. Но данное определение вероятности не является мате- матическим, так как не дает возможности оценить вероятность количественно. Существует несколько математических опре- делений вероятности. Самыми старыми из этих определений являются статистическое и классическое определения.

Статистическое определение вероятности. Предположим, что мы можем проводить некоторый опыт со случайным исхо- дом (например, бросание монеты на некоторую поверхность) неоднократно, примерно в одних и тех же условиях. В резуль- тате этого опыта может появиться событие А = {выпал герб}.

Определение. Относительной частотой (или, как говорят в статистике, частостью) события А (f (А)) называется отноше- ние числа опытов µ (его называют в статистике частотой собы- тия А), в которых появилось событие А, к общему числу прове- денных опытов (n), т. е.

.                                            (8.1)

Практика показывает, что для широкого круга случайных явлений при неограниченном увеличении числа опытов, т. е. при n → ∞, относительная частота события А стабилизирует- ся и по вероятности приближается к некоторому неслучайному числу. Например, при бросании монеты относительная частота появления орла при неограниченном увеличении числа опытов стремится к числу 0,5. Приведем свойства относительной ча- стоты события А.

1) f (U) = 1, так как µ = 1. 2) f (∅) = 0, так как µ = 0.

3) 0 ≤ f (А) ≤ 1, т. е. относительная частота случайного собы-

тия заключена между нулем и единицей и в частном случае мо- жет быть нулем или единицей.

4) Если события А1, А2,... Аn несовместны, то выполняется равенство

f (А1 + А2 +…+ Аn) = f (А1) + f (А2) +…+ f (Аn).

Статистическое определение вероятности. Вероятностью события А (Р (А)) называется число, около которого колеблется относительная частота события А (f (А)) при неограниченном увеличении числа опытов (n → ∞). То есть можно записать

 

 

или

                                                 (8.2)

,                            (8.3)

где ε > 0 — малое положительное число.

Устойчивость относительных частот при большом коли- честве испытаний является следствием закона больших чисел. Характер приближения относительной частоты к вероят- ности при n → ∞ отличается “от стремления к пределу” в мате-

матическом анализе.

Нет ничего невозможного в том, что относительная частота события при n → ∞ сильно отклонится от ее вероятности, но та- кое отношение настолько маловероятно, что его можно не при- нимать в расчет.

Заметим, что все свойства относительных частот верны и для вероятностей.

Классическое определение вероятности. Оно было впер- вые четко сформулировано в работе швейцарского математи- ка Якоба Бернулли, опубликованной в 1713 г. Введем понятие равновозможного события. События называются равновозмож- ными, если по условиям обыта ни одно из них не является пред- почтительным по отношению к другим с точки зрения возмож- ности их появления.

В этом случае опыт будет обладать симметрией исходов по отношению к этим событиям.

Классическое определение вероятности можно использо- вать только в том случае, если опыт будет классическим. Опыт называется классическим, если он приводит к множеству со- бытий, которые удовлетворяют условиям:

1) они попарно  несовместны;

2) равновозможны;

3) образуют полную группу событий.

Такие события называются случаями и обозначаются ω.

Заметим, что они могут быть элементарными событиями.

Определение. Если опыт является классическим, то веро- ятность события А (Р (А)) находится как отношение числа слу- чаев, благоприятствующих событию А (m), к общему числу случаев (n 1).

.                                           (8.4)

 

Формула (8.4) дает возможность непосредственно вычис- лять вероятности, но недостатком ее является то, что в реаль- ной действительности классические опыты встречаются редко в искусственно созданных ситуациях. Примером классического опыта является игра в кости, которые перед каждым броском тщательно перемешиваются, чтобы соблюдалась равновозмож- ность наблюдаемых событий. Если мы бросаем одну игральную кость, то вероятность появления каждой ее грани равна 1/6.

Классический опыт может быть организован по так назы- ваемой урновой схеме. Под урной понимают некоторый ящик, в

котором находятся одинаковые по весу и размерам шары раз- личных цветов. После перемешивания шары вынимаются из урны случайным образом. Поэтому вероятность вытащить ка- кой-либо шар из n шаров будет равна 1/ n.

Для подсчета числа возможных исходов классического опыта часто используют формулы комбинаторики, в частности формулы числа сочетаний из n элементов по m:

− без повторений:

,                                (8.5)

 

где   n!  —  читается   n -факториал  и  вычисляется  по  формуле

n! = 1 × 2 × 3… × n;

− с повторениями:

.

Пример 8.1.

Предположим, что в урне находятся 9 шаров: четыре крас- ных шара и пять синих шаров. Из нее вынимаются два шара. Надо найти вероятность того, что оба они будут красными.

Введем событие А = {оба шара красные} и используем фор- мулу (8.4):

Здесь       — количество исходов, благоприятствующих событию А;            — общее количество исходов.

Аксиоматическое определение вероятности. Как и другие разделы математики, теорию вероятностей можно развивать аксиоматическим методом.

Аксиоматическое построение теории вероятностей было осуществлено в 30-х гг. XX в. А. Н. Колмогоровым. Приведем его упрощенное определение.

Вероятностью называется функция событий, которая по- рождена некоторым опытом и имеет следующие свойства:

1) вероятность достоверного события равна единице Р (U) =  1;

2) вероятность невозможного события равна нулю Р (∅) = 0;

3) вероятность случайного события лежит между нулем и единицей, в частности принимая значение ноль и единица 0 ≤ Р (А) ≤ 1;

4) если события А1, А2,... Аn попарно несовместны, то веро- ятность их суммы равна сумме их вероятностей

;

5) если счетное бесконечное число событий А1, А2,... Аn, … попарно несовместно, то вероятность их суммы равна суме их вероятностей, т. е.

.

Аксиома 5 вводится отдельно, так как она не выводится из четвертой.

Кроме приведенного существуют и другие аксиоматичес- кие определения вероятности.

Аксиоматическое определение, в отличие от статистичес- кого и классического, не позволяет непосредственно вычислять значение вероятности, но из него вытекает ряд следствий. На- пример, можно получить формулу (8.4), установить, что сумма вероятностей полной группы событий равна единице, т. е.

.

В частности получаем

Р (А) + Р () = 1,                              (8.6)

т. е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Субъективное определение вероятности. В тех случаях, когда проводимый опыт не является классическим и отсутству- ют данные статистических наблюдений или их недостаточное количество для оценки вероятности, прибегают к экспертному оцениванию вероятности на основе мнения экспертов.

Определение. Субъективным определением вероятности называются вероятности, удовлетворяющие аксиомам 1−5 ак- сиоматического определения, которые приписываются собы- тиям на основе мнения экспертов.

Как правило, в оценке вероятности события участвуют несколько экспертов, и их мнения усредняют, учитывая опыт каждого из них. Оценка экспертов важна в тех случаях, если планируемый исход связан с большими материальными за- тратами.

 

 

Алгебра вероятностей

Рассмотрим правила, которые позволяют по вероятностям одних событий находить вероятности других событий.

Сначала введем понятие условной вероятности. Предполо- жим, что А и В — события, являющиеся результатом некоторо- го опыта, причем наступление события А зависит от появления события В. Понятие условной вероятности вводится для харак- теристики зависимости одних событий от других.

Определение. Условной вероятностью события А при усло- вии, что произошло событие В, называется отношение вероят- ности произведения событий А и В к вероятности события В, если последняя отлична от нуля. Обозначается условная веро- ятность события А следующим образом: Р(А\В). И согласно оп- ределению, она равна

,                            (8.7)

Р (В) ≠ 0.

Аналогично условная вероятность события В при условии, что произошло событие А обозначается следующим образом: Р(В\А) и находится по формуле

,                            (8.8)

 

Р (А) ≠ 0.

Из формул (8.7.) и (8.8) следует правило умножения веро- ятностей для двух любых событий:

Р (А × В) = Р (А) × Р (В\А) = Р (В) × Р (А\В),               (8.9)

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведе- нию вероятности одного из них на условную вероятность дру- гого при условии, что первое событие произошло.

Используя формулу (8.9), получим правило умножения ве- роятностей для трех событий А1, А2, А3:

Р (А 1 × А 2 × А 3) = Р ((А 1 × А 2) × А 3) =

= Р (А 1 × А 2) × Р (А 3 \А 1 × А 2) =           (8.10)

= Р (А 1) × Р (А 2 \А 1) × Р (А 3 \А 1 × А 2)

В формуле (8.10) Р (А 3 \А 1 × А 2) означает условную вероят- ность события А3, если произошли события А1и А2.

Используя принцип математической индукции, можно

обобщить формулу (8.10) на любое конечное количество со- бытий.

В результате получаем

Р (А 1 × А 2 × А 3… × А n) = Р (А 1) × Р (А 2 \А 1) ×

× Р (А 3 \А 1 × А 2) × … × Р (А n \А 1 × А 2 × А 3 ×… × А n -1).

(8.11)

Правило умножения вероятностей значительно упроща- ется, если события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется независимым от события А, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. Р(В\А) = Р (В).

Аналогично, событие А называется независимым от собы- тия В, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. Р (А\В) = Р (А).

Лемма. Если событие В не зависит от события А, то и со- бытие А не зависти от события В.

Если события А и В независимы, то правило умножения вероятностей (8.9) примет вид

Р (А × В) = Р (А) × Р (В),                   (8.12)

т. е. вероятность произведения двух независимых событий рав- на произведению их вероятностей.

Определение. События А1, А2, А3... Аn называются независи- мыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произве- дения любого числа остальных и от каждого в отдельности.

Правило умножения вероятностей (8.11) в этом случае примет вид:

Р (А 1 × А 2 × А3 × … × А n) = Р (А 1) × Р (А 2) × Р (А 3) × … × Р (А n),

или более кратко

(8.13)

 

т. е. вероятность произведения конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 8.2.

Предположим, что студентка основательно проштудиро- вала 70 из 90 вопросов к экзамену по теории вероятностей и ма- тематической статистике. В каждом билете содержатся 3 воп- роса. Найти вероятность того, что в билете, который вытащит студентка, она будет знать ответы на все три вопроса.

Введем 3 события:

А1 = {студентка знает ответ на первый вопрос билета}.

А 2 \А 1 = {студентка знает ответ на второй вопрос билета при выполнении события А1}.

А 3 \А 1 × А 2 = {студентка знает ответ на третий вопрос биле-

та при выполнении событий А1 и А2}.

Используя формулу (8.10) находим

Вероятности Р (А 1); Р (А 2 \А 1); Р (А 3 \А 1 × А 2) находятся по формуле (8.4).

Теперь получим правило сложения для совместных со- бытий.

Если рассматриваемые события попарно несовместны, то для нахождения вероятности их суммы используется четвер- тая аксиома аксиоматического определения вероятности.

Сначала рассмотрим правила сложения для двух совмест- ных событий.

Теорема 8.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произве- дения, т. е.

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (А × В)                            (8.14)

Доказательство этой теоремы не приводим, его можно най- ти в любом учебнике по теории вероятности, например [12, 46]. Используя формулу (8.14), получим правило сложения для трех совместных событий А1, А2, А3:

Р (А 1 + А 2 + А 3) = Р (А 1 + А 2) + Р (А 3) −

− Р ((А 1 + А 2) × А 3) = Р (А 1) + Р (А 2) −

− Р (А 1 × А 2) + Р (А 3) − (Р (А 1 × А 3) +

+ Р (А 2 × А 3)) = Р (А 1) + Р (А 2) + Р (А 3) − Р (А 1 × А 2) −

− Р (А 1 × А 3) − Р (А 2 × А 3) + Р (А 1 × А 2 × А 3).             (8.15)

Используя метод математической индукции, получим пра- вило сложения вероятностей для любого конечного количества совместных событий.

Р (А 1 + А 2 + А 3 + … + А n) = Р (А 1) +

+ Р (А 2) + Р (А 3) + … + Р (А n) — (Р (А 1 × А 2) +

+ Р (А 1 × А 3) + … + Р (А n -1 × А n)) +

+ Р(А 1 × А 2 × А 3) + Р (А 1 × А 2 × А 4) + … +

+ Р (А × А × А)) + … + (-1) ^{n -1} Р (А × А × … × А) (8.16)