Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод симметрии и спрямления. Построить треугольник, зная P, α и h a .
Задача 1. Построить треугольник, зная P, α и h a. И д е я. Развернуть треугольник на прямую. У к а з а н и е. Пусть треугольник ABC уже построен. На прямой BC отложить отрезки BB = AB и CC = AC. Ук азани е. Δ AB C легко построить по стороне, противолежащему углу и вы- соте. Р е ш е н и е. Пусть треугольник ABC уже построен. На прямой BC отложим отрезки BB = AB и CC = AC.
Треугольники BB A и CC A равнобедренные с углами при основании соот- β ветственно 2 и γ. Следовательно, у треугольника AB C сторона B C = P и 2 ∠ B AC = π β γ = π + α. − 2 − 2 2 2 Таким образом, для того чтобы построить Δ ABC, сначала нам надо построить Δ AB C по стороне, противолежащему углу и высоте. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC пересекут B C в точках B и C.
Даны две окружности и между ними прямая. Начертить равносторонний тре- угольник так, чтобы две его вершины были на окружностях, а одна из высот лежала на данной прямой.
И д е я. Отразить одну из окружностей относительно прямой. У к а з а н и е. Точка пересечения окружностей – одна из вершин искомого тре- угольника. Р е ш е н и е. Пусть даны окружности с центрами O 1 и O 2 и прямая m. Отразим первую окружность относительно прямой. Пусть A – точка пересечения отражён- ной окружности со второй окружностью, а B – симметричная ей точка на первой окружности.
Теперь отметим на прямой m точку C так, чтобы AC = AB. Треугольник ABC будет равносторонним, и его высота будет лежать на m. В зависимости от числа точек пересечения окружностей задача может иметь одно, два или ни одного решения.
Дана прямая m и две точки A и B по одну сторону от неё. Найти на m такую точку X, чтобы AX составлял с m угол, вдвое больший, чем BX. И д е я. Построить окружность, касающуюся прямой m с центром в точке B.
У к а з а н и е. Отразить построенную ок- ружность относительно прямой m и про- вести к отражённой окружности касатель- ную через точку A.
Точка пересечения этой касательной с прямой m и есть искомая точка (см. рису- нок).
Задача 4. Внутри угла даны точки A и B. Построить равнобедренный треугольник, осно- вание которого лежит на одной стороне угла, вершина – на другой, а боковые стороны проходят через точки A и B.
И д е я. Отразить точку A симметрично относительно прямой OM в точку A , где O – вершина угла, а M – вершина искомого равнобедренного треугольника. Ук азани е. Выразить ∠ A MB через величину данного угла.
Ре ше ни е. Пусть O – вершина данного угла α, MH – высота искомого треуголь- ника. Отразим точку A относительно пря- мой OM, получим A. Имеем
Задача 5. Дана прямая AB и две окружности, лежащие по одну сторону от прямой. Найти на прямой AB точку, касательные из которой составляют с этой прямой равные углы.
И д е я. Отразить одну из окружностей относительно прямой AB. У к а з а н и е. Провести внутреннюю касательную ко второй окружности и отра- жённой окружности.
ми O 1 и O 2 пересечет прямую AB в точке X. Обозначим через M, N, N точки касания окружностей с центрами O 2, O 1, O 1 с касательными, проведённы- ми из точки X. Заметим, что ∠ NXB = ∠ N XB, как симметричные, и ∠ MXA = ∠ N XB, как вертикальные. Следовательно, точка X есть искомая точка.
Задача 6. Точки A и B расположены между параллельными прямыми m и n. Постройте точки M ∈ m, N ∈ n так, чтобы длина ломаной AM NB была наименьшей. И д е я. Отразить точки A и B относи- тельно прямых m и n соответственно. У к а з а н и е. Соединить получившиеся точки A и B. Р е ш е н и е. Рассмотрим A – отражение относительно m точки A и B – отражение относительно n точки B. Ломаные AM NB и A MNB имеют одинаковую длину. Эта длина принимает своё минимальное значение в случае, когда точки M и N лежат на отрезке A B. Сле- довательно, искомые M и N суть точки пе- ресечения прямых m и n с отрезком A B.
В данную окружность вписать прямоугольник, зная разность основания и высоты.
И д е я. Диагональ прямоугольника является диамет- ром окружности. У к а з а н и е. Отложить на большей стороне прямо- угольника известную разность сторон.
Р е ш е н и е. Рассмотрим прямоугольник ABCD, впи- санный в окружность. Отметим на AB точку C та- кую, что BC = BC.
Точку B можно получить как точку пересечения прямой AC с окружностью, а вершину D как точку, симметричную B относительно центра окружности.
Задача 8. Построить треугольник по стороне, прилежащему углу и разности остальных сто- рон.
И д е я. Предположить, что искомый треугольник построен, и проанализировать данные. У к а з а н и е. Отложить на большей из двух неизвестных сторон отрезок, равный меньшей стороне.
Р е ш е н и е. Пусть требуемый треугольник ABC построен по известной стороне AB = c, углу A, равному α, и разности двух других сторон, равной b − a. Отложим на стороне CA отрезок CC, равный CB. Тогда AC = b − a. Треугольник ABC легко построить по сторонам c, b − a и углу между ними α.
Так как треугольник BCC равнобедренный, точку C можно найти как точку пересечения серединного перпендикуляра к BC с прямой AC.
Задача 9. Построить четырёхугольник ABCD, зная его стороны, если диагональ AC делит угол A пополам.
И д е я. Отразить вершину D относительно прямой AC. У к а з а н и е. Треугольник BCD легко построить по трём сторонам.
Р е ш е н и е. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Так как ∠ CAD = ∠ CAB, то D (от- ражение точки D относительно AC) будет лежать на прямой AB. В треугольнике BCD стороны BC, CD = CD, BD = AB − AD
Вершину A можно получить, отложив от B на прямой BD отрезок, равный BA. Вер- шина D есть отражение D относительно прямой AC.
Задача 10. Найти сумму перпендикуляров, опущенных на стороны равнобедренного треугольника из точки, взятой на основании.
И д е я. Отразить основание одного из пер- пендикуляров относительно основания. У к а з а н и е. Показать, что искомая сумма равна высоте, проведённой к боковой стороне треугольника.
дует параллельность прямых AM BC. Так как M D и DN перпендикулярны па- раллельным прямым, точки M ,D и N ле- жат на одной прямой и их сумма равна рас- стоянию между этими прямыми. В результате сумма DM + DN = DM + DN равна расстоянию от точки A до стороны BC, то есть высоте, проведённой к боковой стороне треугольника.
Задача 11. Найти сумму перпендикуляров, опущенных из точки, взятой внутри равносторон- него треугольника, на его стороны.
И д е я. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
У к а з а н и е. Провести через точку, из которой опущены перпендикуляры, прямую, параллельную одной из сторон треугольника.
DM + DN = BH , где BH – одна из равных высот равностороннего треугольника Δ A BC. Так как DK = H H, то DM + DN + DK = BH + H H = BH, то есть сумма перпендикуляров из точки внутри равностороннего треугольника равна высоте исходного треугольника.
Задача 12.
И д е я. Пусть задача решена и точка X уже най- дена. Отложить на прямой BX отрезок XC = AX. У к а з а н и е. Треугольник ABC легко построить.
α нии равны. 2 Следовательно, треугольник ABC мы можем построить по основанию AB, противолежащему α углу 2 и боковой стороне, равной a. Его сторона BC пересечёт окружность в искомой точке X.
Задача 13. На окружности даны точки A и B. Отыскать на ней точку X такую, что AX − BX = a, где a – заданный отрезок.
И д е я. Пусть задача решена и точка X уже найдена. Отложить на отрезке AX отрезок XC = BX. У к а з а н и е. Треугольник ABC легко построить.
Р е ш е н и е. Пусть задача решена и точка X уже найдена. Отложим на отрезке AX отре- зок XC = BX. В равнобедренном треугольнике
2 угол α = ∠ AXB известен как угол, опирающий- ся на известную дугу. Рассмотрим треугольник ABC. У него из- вестны основание AB, сторона AC = a и угол
2 и продолжив его сторону AC до пересечения с окружностью, мы получим искомую точку X.
Задача 14. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых равна заданному отрезку.
И д е я. Использовать одну из предыдущих задач про сумму расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон. У к а з а н и е. Отложить от точки пересечения прямых во все четыре стороны отрезки, равные заданному отрезку. У к а з а н и е. Соединить последовательно получившиеся четыре точки на прямых и показать, что получившийся прямоугольник – искомое ГМТ.
Ре ш е н и е. Пусть прямые m и n пере- секаются в точке O. Отметим на прямой m точку A, находящуюся на заданном расстоянии d от прямой n. Отложим от- резки, равные OA, на других лучах, вы- ходящих из O. Получим четыре точки A, B, C и D, которые являются верши- нами четырёх равнобедренных треуголь- ников с общей вершиной O. Согласно одной из предыдущих за- дач, сумма расстояний от любой точки на основании равнобедренного треуголь- ника до боковых сторон равна высоте, проведённой к боковой стороне. Следова- тельно, искомое ГМТ есть четыре отрез- ка, являющиеся сторонами прямоугольника ABCD.
Задача 15.
И д е я. Провести прямую, параллельную одной из сторон угла и отстоящую от неё на расстоянии, равном длине данного в условии задачи отрезка. У к а з а н и е. Показать, что биссектриса нового угла пересечёт данную прямую в искомой точке.
Действительно, если через K, N и N обозначить основания перпендикуляров на соответствующих прямых, то MN − MK = MN + N N − MK = N N = d. Задача 16.
И д е я. Предположить, что искомая окружность уже построена, и проанализиро- вать, что известно. У к а з а н и е. В треугольнике, вершинами которого являются центры трёх окруж- ностей, известны сторона, угол против этой стороны и разность двух других сто- рон. У к а з а н и е. Использовать одну из предыдущих задач.
R 1 − R 2. А такую задачу мы умеем решать (см. одну из предыдущих задач).
Задача 17. Построить равнобедренный треугольник, зная его бо- ковую сторону a и сумму высоты с основанием s.
И д е я. Отложить от основания высоты BD на её продолжении отрезок DE, равный основанию AC треугольника.
1 двум сторонам и углу, равному arctg. 2 Ре ш е н и е. Пусть в Δ ABC с высотой BD стороны AB = BC = a, BD + AC = s. Отложим на продол- жении BD отрезок DE = AC. Так как DE = 2 DC, то tg ∠ DEC = 1 / 2. Для того чтобы построить треугольник ABC, сна- чала построим отрезок BE = s, отложим от него угол 1 α = arctg , потом на стороне этого угла сделаем за- 2 сечку из точки B радиусом a. Так мы получим точ- ку C. Вершину A можно получить как отражение точки C относительно прямой BE.
Задача 18. Построить треугольник по a, m b + b и ∠(m b, b). И д е я. Отложить от основания медианы BD на её продолжении отрезок DE, равный стороне AC треугольника. Указ ани е. Зная угол ∠(m b, b), легко построить угол DEC. У к а з а н и е. Треугольник BCE легко построить по двум сторонам и углу BEC.
Итак, для построения треугольника ABC сначала надо построить отрезок BE = s, потом отложить от него угол α и на стороне этого угла сделать засечку из точки B радиусом a. Из полученной точки C под углом β к EC проведём луч. Он пересечёт BE в точке D. Отложив AD = DC, найдём вершину A.
Задача 19. Построить треугольник по b, c и β − γ. И д е я. Рассмотреть треугольник, симметричный данному, с общей третьей сто- роной. Ук азани е. Пусть в Δ ABC стороны AC = b, AB = c. Рассмотреть Δ A BC, симметричный исходному, со сторонами A B = b, A C = c. У к а з а н и е. Треугольник AA B легко построить по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, треугольник AA B мы
шину C, проведём через B прямую параллельно AA и отложим на ней C так, что AC = b.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 197; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.152.98 (0.146 с.) |