Метод параллельного переноса

Теоретический материал

В этом разделе будут рассмотрены задачи, решаемые с помощью параллельного переноса. В таких задачах часть фигуры переносят параллельно самой себе так, чтобы новую фигуру было легче построить, чем искомую.

После построения новой фигуры надо сделать обратный параллельный пере- нос, чтобы вернуться к исходной задаче.

Многие задачи на построение четырёхугольников можно решить с помощью построения вспомогательного параллелограмма, стороны которого параллельны и равны диагоналям искомого четырёхугольника. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Перенесем диагональ AC параллельно самой себе в отрезки BX и DY. Полученный параллелограмм BXY D будет обладать следующими свойствами.

 

 

1) Стороны и угол параллелограмма BXY D равны диагоналям и углу между ними в исходном четырёхугольнике.

2) Расстояния от точки C до вершин параллелограмма BXY D равны сторонам исходного четырёхугольника.

3) Углы между отрезками, соединяющими точку C с вершинами параллелограмма

BXY D, равны углам исходного четырёхугольника.

4) Площадь параллелограмма вдвое больше площади четырёхугольника.

5) Диагонали параллелограмма вдвое больше отрезков, соединяющих середины сторон AB и CD, BC и AD; угол между диагоналями равен углу между этими отрезками.

6) Углы ∠ XCD и ∠ BCY дополняют углы между противоположными сторонами

AB и CD, BC и AD до 180^◦.

Докажем эти свойства.

1) Стороны параллелограмма параллельны и равны диагоналям четырёхугольни- ка, следовательно, угол параллелограмма равен углу между этими диагоналями.

2) Отрезки BC и CD являются сторонами четырёхугольника. Отрезки CX и CY параллельны и равны сторонам AB и AD, поскольку ABXC и ACY D – параллелограммы.

3) Углы ∠ BCX = ∠ ABC и ∠ DCY = ∠ CDA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Углы ∠ XCY = ∠ BAD как углы с параллельными сторонами.

4) Обозначим диагонали ABCD через d ₁, d ₂ и угол между ними через α. Тогда

 

1

S _ABCD = 2 d ₁ d ₂ sin α,        S _{BXY D} = d ₁ d ₂ sin α,

откуда S _{BXY D} = 2 S _ABCD.

5) Пусть отрезок MN соединяет середины сторон AB и CD.

 

 

 

 

 

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то N есть точка пересечения диагоналей параллелограмма ACY D, а отрезок MN есть средняя линия Δ ABY.

Следовательно, MN = BY/ 2, что и требовалось доказать.

6) Пусть C есть точка пересечения продолжений сторон AB и CD, а B взята на продолжении BC за точку C. Равенство углов ∠ XCD = ∠ CC B следует из параллельности прямых AB и CX.

 

З а м е ч а н и е. В случае, когда стороны BC и AD параллельны (то есть ABCD

трапеция), ломаная BCY выпрямляется.

 

Примеры решения задач

П р и м е р 1. Построить четырёхугольник, зная его углы и две противоположные стороны.

Р е ш е н и е. Пусть в четырёхугольнике ABCD даны углы α, β, γ, δ и стороны BC и AD. Перенесём BC параллельно самой себе в AE.

−            − −

В Δ AED стороны AE и AD известны, а угол ∠ EAD = α ∠ BAE = α (π β). Сле- довательно, этот треугольник мы построить

можем.

Точку C можно получить как точку пе- ресечения луча, отложенного от прямой AD под углом δ, и луча, отложенного от прямой

AE под углом β. Затем, переместив отрезок                                                         

AE вдоль EC, получим точку B.

 

П р и м е р 2. Построить отрезок, равный

и параллельный данному так, чтобы один конец лежал на данной прямой, другой – на данной окружности.

Р е ш е н и е. Пусть даны прямая m, отрезок AB и окружность.

 

 

Сдвинем прямую m на вектор AB, получим прямую m m.

Через точки пересечения m с окружностью проведём прямые, параллельные AB. Четырёхугольник PQQ P     – параллелограмм, причём PP QQ AB и PP = QQ = AB. Следовательно, PP и QQ – искомые отрезки.

Задача может иметь одно решение, два решения или не иметь решений вообще.

 

П р и м е р 3. Построить трапецию по двум диагоналям и двум основаниям.

Р е ш е н и е. Рассмотрим трапецию ABCD с диагоналями AC и BD. Перенесём диагональ BD вдоль основания BC. Получим параллелограмм BCED.

 

В треугольнике ACE стороны AC и CE равны диагоналям, основание AE равно сумме оснований трапеции. Следовательно, Δ ACE можно построить по трём сторонам. После этого отложим отрезок ED (равный BC) и найдём верши- ну D. Потом, достроив Δ CDE до параллелограмма, получим вершину B.

 

П р и м е р 4. Построить треугольник по трём его медианам.

Р е ш е н и е. Пусть медианы BM = m _b, AN = m _a и CK = m _c треугольника ABC пересекаются в точке O. Перенесём отрезок BO параллельно самому себе в отрезок A C.

 

Так как медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении

2: 1, то в параллелограмме OBA C стороны

 

 

OB =

, BA = OC = 2 m.

                                                                                                               

3 c

Кроме того, поскольку в параллелограмме диагонали точкой пересечения де- лятся пополам,

OA = 2 ON = 2 m.

3 a

Таким образом, треугольник OBA мы можем построить по трём сторонам. Затем, достроив его до параллелограмма OBA C, получим вершину C. Далее, отложив отрезок AO = OA , получим вершину A.

 

П р и м е р 5. Построить четырёхугольник, зная две диагонали, угол между ними и две противолежащие стороны.

Р е ш е н и е. Зная две диагонали и угол между ними, мы можем построить вспо- могательный параллелограмм BXY D. Согласно свойству 2 (сформулированному в теоретической части) отрезки BC и CY равны противолежащим сторонам че- тырёхугольника и точку C мы можем найти как точку пересечения дуг соответ- ствующих радиусов. Достроив Δ CY D до параллелограмма, получим вершину A.

 

П р и м е р 6. Через две точки, данные на окружности, провести две параллель- ные хорды, разность которых равна данной величине.

Ре ше ни е. Пусть A и B – заданные на окружности точки, а AA BB – хорды, с заданной разностью. Трапеция ABB A является равнобокой, так как она вписана в окружность. Перенесём AA параллельно в отрезок BC. Получим параллелограмм ABCA. В итоге получаем AB = A C = A B .

Треугольник, равный треугольнику Δ A B C, можно построить по трём сто- ронам. После этого надо отложить от AB угол, равный углу ∠ A CB. Так мы найдем точку B. Точку A можно получить как точку пересечения прямой, па-

раллельной BB, с окружностью.

З а м е ч а н и е. Если в условии задачи дана сумма (разность) отрезков или углов, надо так преобразовать исходную фигуру, чтобы эта величина входила в преобра- зованную фигуру.

 

Задачи

1. Построить трапецию по четырём сторонам.

 

2. Между двумя окружностями¹ провести отрезок, делящийся пополам в дан- ной точке A.

3. Построить треугольник, зная m _a, m _c, ∠(m _b, a).

4. Через точку A внутри угла провести прямую так, чтобы отрезок, заключён- ный между сторонами, делился точкой A пополам.

 

5. Построить трапецию, зная диагонали, угол между ними и одну из боковых сторон.

 

6. Построить четырёхугольник, зная две диагонали, две противолежащие сто- роны и угол между ними.

 

7. Через данную точку M провести прямую так, чтобы разность расстояний до неё от двух данных точек A и B была равна данной длине.

1 Имеется в виду, что один конец отрезка лежит на одной окружности, второй – на другой.

 

8. В данный остроугольный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диагональю (одна сторона прямоугольника лежит на основании треуголь- ника).

 

9. Даны три параллельные прямые. Провести через данную точку секущую так, чтобы разность отрезков между параллелями была равна заданной величине.

 

10. Построить трапецию ABCD, зная боковую сторону CD, угол между диаго- налями, расстояние между параллельными сторонами и отрезок, соединяю- щий середины боковых сторон.

 

11. Построить треугольник по b, c и m _a.

 

12. Построить четырёхугольник, зная его стороны и отрезок, соединяющий се- редины двух противоположных сторон.

 

13. Построить четырёхугольник, зная четыре его стороны и угол между двумя противоположными сторонами.

 

14. Построить биссектрису угла, вершина которого недоступна.

 

15. Даны две точки A и B и между ними две параллели m и n. Провести между этими параллелями в данном направлении отрезок CD так, чтобы сумма AC + CD + BD была минимальной.

 

16. На окружности даны две точки A и B. В данном направлении провести хорду XY так, чтобы сумма хорд AX и BY была равна заданной величине.

 

17. Построить прямоугольник с данной стороной так, чтобы его стороны прохо- дили через четыре заданные точки.

 

18. Даны две окружности и прямая. Провести параллельно этой прямой секу- щую, отсекающую в окружностях хорды, сумма которых равна заданному отрезку длины s.

 

Метод подобия

Теоретический материал

Два многоугольника называются подобными, если равны их соответствующие уг- лы, а соответствующие стороны пропорциональны.

Если два подобных многоугольника расположены так, что их соответствующие стороны параллельны, то прямые, соединяющие вершины равных углов, пересека- ются в одной точке. Эта точка называется центром гомотетии или центром по- добия, а многоугольники называются гомотетическими. Отношение расстояний от центра подобия до соответствующих вершин гомотетических многоугольников равно коэффициенту их подобия.

Центр подобия может лежать внутри многоугольников, может – вне, может совпадать с одной из вершин или принадлежать одной из сторон.

 

 

Центром подобия двух окружностей называется точка пересечения их общих внешних касательных. Центр подобия лежит на линии центров окружностей. От- ношение расстояний от центра подобия до центров окружностей равно отношению радиусов.

Точка пересечения внутренних касательных к двум окружностям называется

обратным центром подобия, который обладает аналогичными свойствами.

 

Любые две секущие, проведённые через центр подобия окружностей, пересе- кают окружности таким образом, что треугольники ABO и A B O будут гомо- тетическими (соответствующие радиусы и хорды параллельны).

 

Метод подобия заключается в том, что сначала мы строим фигуру, ещё не удовлетворяющую всем условия задачи, но подобную искомой фигуре. Потом, ис- пользуя остальные условия, преобразуем построенную фигуру в искомую.

5.5. Метод подобия                                                                                 157

 

Примеры решения задач

П р и м е р 1. Построить треугольник по двум углам и биссектрисе третьего угла.

 

Ре ше н и е. Пусть даны углы α, β и отрезок l _c. Построим произвольный тре- угольник Δ A B C с двумя данными углами.

 

 

Проведём в нём биссектрису CL и отложим на ней отрезок CL = l _c. Через точку L проведём прямую, параллельную A B. Углы и биссектриса полученного треугольника Δ ABC равны заданным.

 

П р и м е р 2. Построить треугольник по α, β и a + h _a.

Р е ш е н и е. Построим Δ AB C по двум углам α, β и высоте h _a = a + h _a, про- ведённой к стороне B C = a. Искомый треугольник ABC подобен треугольнику AB C и

 

 

Следовательно, h _a =

h 2

^a. Построим точку H на прямой AH на рассто-

a + h _a

янии h _a от точки A и через точку H проведём прямую, параллельную пря-

мой B C . Построенный треугольник ABC удовлетворяет заданным условиям.

 

П р и м е р 3. Построить треугольник по трём высотам h _a, h _b, h _c.

Р е ш е н и е. Возьмём произвольный отрезок p и построим Δ A B C со сторонами

p 2         p 2

a   =  , b =

h _a       h _b

p 2

и c =  . h _c

 

2 S        2 S

Пусть S – площадь искомого треугольника, тогда его стороны a =

c = 2 S. Следовательно, искомый треугольник и Δ A B C подобны.

h _c

, b =  ,

h _a      h _b

Для того чтобы построить искомый треугольник A BC с высотами h _a, h _b, h _c, достаточно в треугольнике A B C на прямой A H отложить отрезок A H = h _a и через точку H провести прямую BC, параллельную B C .

Задача имеет решение, если существует треугольник, построенный из отрезков

1 1 1

,,.

h _a h _b h _c

П р и м е р 4. Дан отрезок длины √5. С помощью циркуля и линейки построить отрезок длины 2.

 

Р е ш е н и е.  Построим  прямоугольный  треугольник   A B C   с  катет√а м и   A B   =   a,

BC = 2 a, где a – произвольный отрезок. Тогда гипотенуза AC = a 5.

 

На гипотенузе AC отложим отрезок CD, равный √5, и из точки D опустим пер-

пендикуляр DH. Из подобия треугольников DHC и ABC получаем следовательно, CH = 2.

CH    DC

=    ,

BC    AC

П р и м е р 5. В круговой сектор вписать квадрат.

Р е ш е н и е. Пусть точка O – центр заданно- го сектора. Построим вспомогательный квадрат ABCD, две вершины которого (A и D) лежат на радиусах сектора на равном расстоянии от точки O.

Проведём прямые OB и OC, они пересекут дугу сектора в точках B и C.

⊥               ⊥

Далее проведём B A B C и C D B C. Четырёхугольники ABCD и A B C D подоб- ны (один получается из другого с помощью го- мотетии с центром в точке O), следовательно, A B C D также является квадратом, причём квадратом, вписанным в данный сектор.

 

Задачи

1. Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из третьего угла.

2. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую че- рез заданную внутри него точку.

 

3.

∈                   ∈                     ∈

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 5, BC = 6, AC = 7. Построить точку S BC, точку Q AC и точку P AB так, чтобы треугольник SQP был равносторонним.

4. В данный треугольник вписать квадрат.

5. Построить треугольник по α, β, r.

6. Через данную точку провести прямую, отсекающую от двух данных окруж- ностей хорды, пропорциональные их радиусам.

7. Дан угол ABC и точка M внутри него. Найти на стороне BC точку X, равноудалённую от AB и точки M.

8. Даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Провести пря- мую, пересекающую отрезок AC в точке X, а отрезок BC в точке Y таким образом, что AX = XY = Y B.

9. Даны две окружности и на них по точке. Провести две равные окружности, касающиеся друг друга и двух данных окружностей в заданных точках.

10. Через данную точку A провести к двум данным окружностям секущую, отсекающую в окружностях

а) равные хорды;

б) хорды, длины которых находятся в заданном соотношении.

11. Построить треугольник, зная β, l _b и AD: DC, где BD – высота.

 

12. Даны три концентрические окружности. Провести секущую ABC так, чтобы точки A, B и C лежали на разных окружностях и AB = BC.

13. Через две точки, лежащие вне данной окружности, провести окружность, касающуюся заданной окружности.

14. Даны две окружности с центрами в точках O и O. Через центр их подо- бия S проведены касательная и секущая. Касательная касается окружностей в точках C и C соответственно, секущая отсекает от окружностей хорды

AB и A B. Доказать, что CS · C S = AS · B S = BS · A S.

15. Через данную точку A провести окружность, касающуюся двух данных окружностей.

 

5.6. Метод поворота и смешанные задачи

Теоретический материал

В этом разделе рассматриваются задачи, решаемые с помощью поворота фигу- ры (или её части) относительно некоторой неподвижной точки плоскости (центра поворота).

Также приводятся задачи, не попадающие однозначно ни под один из предло- женных ранее типов задач, и задачи, решение которых требует комбинирования нескольких методов.

 

Примеры решения задач

П р и м е р 1. Даны две окружности и точка A. Построить равнобедренный тре- угольник ABC (AB = AC) с данным углом при вершине A так, чтобы вершины B и C лежали на окружностях.

Ре ше ни е. Пусть O, O – центры данных окружностей и α – данный угол. Повернём окружность в центром O относительно точки A на угол α. Обозначим через B и B точ- ки пересечения новой окружности с окруж- ностью с центром в O и совершим обратный поворот новой окружности в окружность с центром в O. Точки B и B перейдут при этом в некоторые точки C и C. Таким обра- зом, мы получили два треугольника Δ ABC и Δ AB C, удовлетворяющих условиям задачи.

З а меч а ни е. Если точки B и B совпадают, то задача имеет одно решение. Если постро- енная окружность не пересекает окружность с центром в точке O, то решений нет.

 

П р и м е р 2. Даны две окружности, треугольник и точка A. Построить тре- угольник ABC, подобный данному, так, чтобы вершины B и C лежали на окруж- ностях.

 

 

Ре ш е н и е. Пусть O, O – центры данных окружностей и пусть дан треугольник с углом α и прилежащими сторонами b и c. Сначала для окружности с центром в O построим гомотетичную окружность с центром гомотетии в точке A и коэф- фициентом гомотетии k = c/b. Эту окружность повернём относительно точки A на угол α и, как и в предыдущем примере, получим точки B и B. Совершив об- ратный поворот, получим точки D и D, а совершив обратную гомотетию, найдём искомые C и C.

 

П р и м е р 3. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Ре ш е н и е. Пусть a, b, c – три данные параллельные прямые.

 

∈

∈

∈

Рассмотрим произвольную точку B b и повернём относительно неё прямую c на 60^◦, получим прямую c    и точку A a. При обратном повороте A перейдёт в C c. Треугольник ABC равносторонний, так как по построению BA = BC и

∠ B = 60^◦.

 

П р и м е р 4. В треугольнике найти точку, сумма расстояний от которой до вер- шин минимальна.

Р е ш е н и е. Рассмотрим произвольную точку P внутри треугольника ABC. Повернем Δ ABP относительно точки A на 60^◦, получим Δ AB P  . При этом B P = BP и PP = AP (так как Δ AP P равносторонний), следовательно,

BP + AP + CP = B P + P P + PC,

то есть сумма расстояний от точки P до вершин треугольника равна длине ло- маной B P PC ≥ B C. Минимальное значение длины ломаной равно B C при P, P ∈ B C.

 

Следовательно, для построения искомой точки P надо сначала построить точ- ку B (повернуть отрезок AB относительно A на 60^◦). Точки P и P   должны быть расположены на отрезке B C таким образом, чтобы треугольник AP P был равносторонним, поэтому они должны лежать на лучах, отложенных от перпен- дикуляра AH под углом 30^◦.

З а м е ч а н и е. Если один из углов исходного треугольника больше 120^◦, то луч, отложенный от AH под углом 30^◦, пересекает отрезок B C в точке, не лежа- щей внутри треугольника. В этом случае искомая точка P совпадает с вершиной тупого угла.

 

П р и м е р 5. Построить треугольник по заданным отрезкам медианы, биссек- трисы и высоты, проведённым из одной вершины.

Р е ш е н и е. Рассмотрим треугольник ABC с данными высотой BH, биссектри- сой BL и медианой BM. Продолжим биссектрису BL до пересечения с описанной окружностью в точке B (так как ∠ ABB = ∠ CBB , то B – середина дуги AC). Теперь через точку M проведём перпендикуляр к хорде AC. Точка B (сере- дина дуги) и точка O (центр описанной окружности) принадлежат этому сере-

динному перпендикуляру.

 

Таким образом, для того чтобы постро- ить Δ ABC, сначала надо построить тре- угольник BHM (по заданным гипотенузе BM и катету BH), потом на отрезке MH отметить точку L (биссектриса всегда ле- жит между медианой и высотой) и найти точку B как точку пересечения перпен- дикуляра к прямой HM в точке M и пря- мой BL.

Центр окружности O есть точка пере- сечения прямой MB и серединного пер- пендикуляра к хорде BB. Вершины A и C есть точки пересечения этой окружно- сти с прямой HM.

Задачи

1. Даны три параллельные прямые. Построить квадрат, три вершины которого лежат на этих прямых.

2. Даны прямая и окружность. Построить окружность, касающуюся данной окружности и прямой в данной точке.

3. Даны две окружности. Провести к ним через заданную точку две секущие, пересекающиеся под заданным углом и отсекающие

а) равные хорды;

б) хорды, длины которых находятся в заданном отношении.

4. В данный параллелограмм ABCD вписать равнобедренный треугольник

AP Q (AP = AQ) с данным углом при вершине A.

5. Построить четырёхугольник, вписываемый в окружность, зная его стороны

a, b, c и d.

6. Провести через заданную точку прямую, отсекающую от данной окружности хорду заданной длины.

7. При помощи циркуля и линейки построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

8. Провести через точку B пересечения двух окружностей прямую, высекаю- щую из окружностей равные хорды.

9. Через точку A внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треуголь- ник минимального периметра.

10. Даны три точки. Построить окружности, попарно касающиеся в этих точках.

11. Построить треугольник, зная a, h _a и ∠(m _b, c).

12. Через вершину выпуклого четырёхугольника провести прямую, которая де- лит его площадь пополам.

164                                                                                          Теория и задачи

Стереометрия

Введение в стереометрию

Приведём основные стереометрические определения, связанные с взаимным рас- положением прямых и плоскостей в пространстве.

 

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Скрещивающиеся прямые

Прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются

скрещивающимися.

Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между па- раллельными им прямыми, проходящими через одну точку.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, перпендикулярный к ним (такой отрезок существует и притом только один).

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра (оно же является и расстоянием между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые).

 

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями (гранями) с общей ограничивающей их прямой (ребром двугранного угла).

Двугранный угол измеряется своим линейным углом, то есть углом между перпендикулярами к ребру, восстановленными в обеих плоскостях из одной точки.

 

 

 

Многогранный угол

Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac), не лежащих в одной плоскости. Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны – ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогичным образом определяется понятие n-гранного угла (a ₁ a ₂ ...a _n) – как фигуры, составленной из n плоских углов (a ₁ a ₂), (a ₃ a ₃), ..., (a _n a ₁).

 

 

 

Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону каждой из ограничивающих его плоскостей.

 

З а м е ч а н и е 1. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

З а м е ч а н и е 2. Сечением выпуклого n -гранного угла плоскостью, не проходя- щей через вершину, является выпуклый n -угольник.

З а м е ч а н и е 3. В выпуклом многогранном угле сумма плоских углов не пре- восходит 360^◦.

 

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Две плоскости перпендикулярны, если соответствующий двугранный угол яв- ляется прямым.

 

Наклонная

Наклонной, проведенной к данной плоскости, называется прямая, пересекаю- щая плоскость, но не перпендикулярная ей. Точка пересечения наклонной и плос- кости называется основанием наклонной.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опу- щенного из данной точки на данную плоскость.

 

Проекцией наклонной на плоскость называется прямая, состоящая из проекций всех точек наклонной на данную плоскость.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией.

 

Теоремы о параллельности прямых и плоскостей

•

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу (тран- зитивность параллельности прямых).