Основные термодинамические процессы

 

Методика исследования термодинамических процессов

Следует прежде всего отметить, что любой газовый процесс, у которого с = const, называется политропным с общим уравнением pvn = const, где n - показатель политропы.

Методика исследования термодинамических процессов заключается в следующем:

1. Устанавливаем вид уравнения данного процесса и производим его графическое изображение в p v и Ts координатной системах.

2. Устанавливаем соотношение между p, v и Т.

3. По общей для всех процессов расчетной формуле определяем изменение внутренней энергии

(du = c v dT).

4. По общему уравнению работы

 определяется работа 

данного термодинамического процесса.

5. Определяется тепло данного процесса по формуле

q =

.

 

 

Изохорный процесс

                                                               

1. Уравнение политропы рv n =const можно записать в виде р

v=const, откуда видно, что для изохорного процесса n принимает значение

.

а)                                                                           б)

Рис. 9

2. Из уравнений состояния p 1v = RT 1 и p 2v = RT 2 получаем

. 

    На практике этот процесс встречается как составная часть процессов ДВС (сжигание топлива) и при охлаждении или нагревании газа в баллоне (рис.9,а).

3.

.

4.

т.к.

 

5. q =

6. u, т.е. все подведенное тепло идет на увеличение внутренней

энергии.

- доля тепла, пошедшего на изменение внутренней энергии, 1 – z показывает, какая часть подведенного тепла пошла на совершение работы.

 

 

Изобарный процесс

1. Из уравнения политропы р v n   = const видно, что оно превращается в уравнение изобарного процесса (р = const) при n = 0.

2. Из уравнений состояния p v1 = RT 1 и p v2 = RT 2 имеем

.                                                  (46)

3.

u = сv(T 2  – T 1).                                          (47)

 

          а)                                   б)

Рис. 10

4.

т.е.

.      (48)

5. dq = du + d

.                                      (49)

Определим, как распределяется подведенное тепло

dq = с p dT    z =

=

, т.е. из всего подведенного тепла

. Этот процесс является составной частью циклов ДВС и ГТУ (рис.10).

 

Изотермный процесс

1. T = const, pvn = const. Изуравнение состоянияpv = RT следует, что для этого процесса n должен быть равен 1, т.е.pv = const.

а)                                                                     б)

Рис. 11

 

2.                                  p 1 v1 = p 2v2;

.                                        (50)

     3. du =0, т .к. dT = 0.

 

4.

.     (51)

5. q =

, в этом процессе все тепло переходит в работу.

  Это наивыгоднейший процесс сжатия компрессоров (рис.11).

z =

1 – z = 1.

 

Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Весьма близко подходят к адиабатным все быстротекущие процессы (выстрел, взрыв, течение пара через проточную часть турбины при скорости 2000 м/сек и т.д.).

В силу этого, в дальнейшем изложении реальные тепловые процессы, протекающие достаточно быстро, с допустимой инженерной погрешностью будут рассматриваться как процессы адиабатные.

1. dq = сv dT + pd v; dq = 0, тогда

                                        сv dT + pd v = 0.                                            (52)

Продифференцируем p v= RT. Получим pd v + v dp = RdT,  откуда

. Подставим полученное dT в (52):

. Разделим на

и получим

pdv = 0. Однако

= k-1, тогда pdv + vdp + (k-1)pdv = 0.

pdv + vdp + kpdv - pdv = 0. Разделим на pv:

. Проинтегрируем и получим ln p + ln vk = const или ln(pvk) = const. В конечном виде получено уравнение адиабаты:

                                              pvk  = const.                                            (53)

2. Из уравнения адиабаты   p1v1k = p2v2k.. Отсюда

.                                       (54)

Запишем характеристическое уравнение для точек 1 и 2: p1 v 1= RT1  и p2 v 2= RT2  (рис. 12) и поделим первое на второе. Получим

 

.                                               (55)

Рис. 12

Теперь воспользуемся выражением (54), подставив его в выражение (55):

(56)

Для получения соотношения между температурами и давлениями подставим в (55)

, выраженное через соотношение давлений из (54):

(57)

3,4. В адиабатном процессе изменение внутренней энергии идет на совершение работы: O = d + du, отсюда d  = - du или d

 = - cvdT.

После интегрирования получим

 = - cv(T2 – T1) или   

 = cv(T1 – T2).                                           (58)

Из уравнения Майера cp – cv = R. cp = kcv. Отсюда kcv - cv = R и

.

Подставим полученное значение cv в формулу (58):

и

. Из уравнения  Клапейрона (p v = RT)

можно записать

 и вынеся p1v1за скобки, получим

].                       (59)

 

Политропный процесс

Все рассмотренные выше процессы имели особенность: в каждом из них на какую-либо из величин накладывалось ограничение (р = const, t = const,

dq =0). Поэтому процессы могут считаться частными случаями изменения состояния газа.

Кроме этого, следствием данных ограничений является то, что подводимое или отводимое тепло q распределяется между

и

таким образом, что

 принимает определенное значение.

Однако очевидно, что могут иметь место процессы, в которых нет этих ограничений и z может принимать другие значения. Единственным ограничением для таких процессов будет постоянство z, т.е. и постоянство теплоемкости (т.к.

=сv , q = с

).

       Для нахождения вида уравнения политропы необходимо решить дифференциальное уравнение первого закона термодинамики dq = du + pdv.

Из определения понятия теплоемкости dq = сdT, где с – теплоемкость данного политропного процесса.

Известно, что du = сvdT. Тогда

                     сdT = сvdT + pdv или (сv – с)dT + pdv = 0.                   (60)

Выразим из уравнения Клапейрона

 и подставим значение Т в (60)

                                      (61)

После дифференцирования получим

, или

. (62)

Разделив на

и с учетом равенства сv + R =с p  получим:

.                                               (63)

Введем обозначение

 и последнее уравнение примет вид

.                                            (64)

Интегрируя его при n = const, получим уравнение политропы

                                             pvn = const.                                              (65)

Как было отмечено выше, показатель n принимает для каждого процесса определенное значение.

Поскольку уравнение политропы не отличается по виду от уравнения адиабаты, то все соотношения между основными параметрами представляются формулами, аналогичными адиабатному процессу

(66)

То же можно сказать о выражениях для определения работы политропного процесса

 и т.д.                           (67)