Від’ємні дійсні числа. Множина дійсних чисел. Протилежні числа. Модуль дійсного числа. Операції над дійсними числами. Закони цих операцій.

Число, яке можна записати у вигляді відношення

, де m - ціле число, а n - натуральне число,

називають раціональним числом.

Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді скінченого дробу або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Наприклад,

 

Протилежне число — до числа a це число, додавання якого до a дає zero. Число протилежне до F записується як - F. Наприклад, протилежне до 7 це −7, бо 7 + (−7) = 0, а до -0.3 це 0.3, бо -0.3 + 0.3 = 0.Протилежне число визначається як обернений елемент для двомісної операції додавання. Його можна обчислити через множення на −1; тобто, − n = −1 × n

Цілі, раціональні, дійсні і комплексні числа мають протилежні, бо містять як від'ємні так і додатні числа. З іншого боку натуральні числа, кардинальні числа і порядкові числа не мають протилежних у своїх відповідних множинах. Отже, наприклад, ми можемо сказати, що натуральні числа мають протилежні, які не є натуральними числами, тобто множина натуральних чисел не замкнута відносно взяття протилежного числа.Нескінченна десятковий дріб, це десятковий дріб, у записі якого після коми міститься нескінченна кількість цифр.Числа, які не можна подати у вигляді

, називають ірраціональними числами.

Це, наприклад, числа

Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченого неперіодичного десяткового дробу.

Наприклад,

Раціональні числа та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел. Кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої. яку називають числовою прямою. Для числових множин використовуються позначення:
N - множина натуральних чисел;
Z - множина цілих чисел;
Q - множина раціональних чисел;
R - множина дійсних чисел.

Якщо множину раціональних чисел доповнити множиною ірраціональних чисел, то разом вони складуть множину дійсних чисел. Множину дійсних чисел зазвичай позначають буквою R; використовують також символічний запис (−∞;+∞).

Множину дійсних чисел можна описати так: це множина кінечних і нескінченних десяткових дробів; кінечні десяткові дроби і нескінченні десяткові періодичні дроби — раціональні числа, а нескінченні десяткові неперіодичні дроби — ірраціональні числа. Координатна пряма є геометричною моделлю множини дійсних чисел; з цієї причини для координатної прямої часто використовують термін числова пряма.
Для дійсних чисел a,b,c виконуються звичні закони:
a+b=b+aab=baa+(b+c)=(a+b)+ca(bc)=(ab)c(a+b)c=ac+bcі т.дВиконуються і звичні правила:
- добуток (частка) двох додатних чисел — додатне число;
- добуток (частка) двох від'ємних чисел — додатне число;
добуток (частка) додатного і від'ємного чисел - від'ємне число.

Дійсні числа можна порівнювати одне з одним, використовуючи наступне визначення. Модулем числа називається число, яке дорівнює самому числу, якщо воно невід’ємне, і протилежному числу, якщо воно від’ємне. Модуль числа ще називають його абсолютною величиною. Модуль числа має такі властивості:

- Корінь квадратний із квадрата будь-якого числа дорівнює модулю цього числа;

- Модуль суми чисел не більший за суму їх модулів;

- Модуль різниці двох чисел не менший від різниці модулів зменшуваного і від’ємника;

- Модуль добутку чисел дорівнює добутку модулів множників;

- Модуль частки двох чисел дорівнює частці їх модулів при умові, що дільник не дорівнює нулю;

Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити, підносити до степеня й ділити (ділити — на числа, що відмінні від 0). Усі відомі властивості дій залишаються такими ж.