Прямокутна декартова система координат на площині. Паралельне перенесення початку координат. Відстань між двома точками на площині.

Прямокутна декартова система координат на площині. Паралельне перенесення початку координат. Відстань між двома точками на площині.

Декартова система координат на площині задається двома взаємно перпендикулярними осями (вісь ОХ – вісь абсцис, вісь ОУ – вісь ординат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб осей. Кожній точці площини за певним правилом ставиться у відповідність пара чисел – абсциса та ордината (х;у), ці числа називаються декартовими координатами точки.

Паралельне перенесення початку координат на площині. При перенесенні початку координат в точку 0₁ (a;в) без зміни координатного базису координати довільної точки площини обчислюються за формулами:

Х^/ = х - а,

У^/ = у - в.

Приклад. А(2;-3) та В(-6;0) при перенесенні початку координат в точку 0₁ (-1;3).

А: х = х-а = 2-(-1) = 3, у = у-в = -3-3=-6. А(3;-6).

В: х = х-а = -6-(-1) = -5, у = у-в = 0-3=-3. В(-5;-3).

Відстань між двома точками. Нехай на площині х0у задано дві точки А(Х₁;у₁) та В(х₂;у₂). Застосовуючи до прямокутного трикутника АВС теорему Піфагора, визначаємо відстань між точками А та В через координати цих точок: АВ²= (х₂-х₁)² + (у₂-у₁)², звідки |АВ|= (х₂-х₁)² + (у₂-у₁)².

 

Відношення еквівалентності. Зв’язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи.

Відношення еквівалентності в математиці – бінарне відношення.яке є рефлексивне,симетричне та транзитивне.Для того щоб відношення,було відношенням еквівалентності,повинні виконуватися всі три властивості..Приклади відношення еквівалентності.

1)Відношення рівності на довільній множині

2)Відношення паралельності прямих на площині

3)Відношення подібності на множині М усіх трикутників на площині

За допомогою відношення еквівалентності виконується операція – розбиття множини на класи.Кожне розбиття S множини М визначаэ відношення еквівалентності.

 

 

Пряма пропорційність

Лінійну функцію, що задається формулою, де, називають прямою пропорційністю.Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат.

Обернена пропорційність

Функцію, задану формулою, де х — незалежна змінна, — дане число, називають оберненою пропорційністю. Область визначення функції — множина всіх чисел, крім 0.

Графік функції — гіпербола, симетрична відносно початку координат.

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою, де х — аргумент, а k і b — дані числа. Графік лінійної функції — пряма. k називається кутовим коефіцієнтом прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис,— графік деякої лінійної функції.

 

 

Поняття про алгебраїчну операцію і алгебраїчну структуру. Закони алгебраїчних операцій. Нейтральний, поглинаючий, симетричний елементи. Приклади.

Під алгебраїчною структурою розуміють деяку множину А із заданими на ній алгебраїчними операціями.

Алгебраїчною операцією в множині Х називають відображення Х×Х―>Х,яке у відповідність кожній упорядкованій парі елементів (х,y)цієї множини ставить третій елемент z цієї ж множини. Позначають °,*...                           

Приклади-Додавання в множині натуральних чисел N є алгебраїчною операцією, оскільки сума двох натуральних чисел є натуральне число.

Для будь-яких множин A, B, та C, виконуються такі співвідношення:

комутативність:

· A ∪ B = B ∪ A

· A ∩ B = B ∩ A

асоціативність:

· (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

· (A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C)

дистрибутивність операції перетину відносно об'єднання:

· A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C)

· A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

Елемент е називається нейтральним відносно операції °, якщо а°е=е°а=а(в додаванні -0,в множенні 1)

Елемент w називається поглинаючим відносно операції °.якщо w °а=а° w = w.(у множенні -0)

Нехай в множині Х,відносно алгебраїчної операції °,існує нейтральний елемент е. Елемент α називається симетричним елементу а відносно операції °.,а°α=α°а=е. В множині Z цілих чисел відносно операції додавання симетричним числу а є число -а оскільки а+(-а)=-а+а=0(0-нейтральний елемент відносно операції додавання).

 

 

Система аксіом Пеано

За основні поняття цієї системи прийнято: а)основні обєкти – «ціле невідємне число», «нуль» б) основне відношення – «безпосередньо слідує за»

Аксіома 1. Нуль є ціле невідємне число, що не слідує за жодним іншим цілим невідємним числом.

Аксіома 2. Яке б не було ціле невідємне число а, існує єдине ціле невідємне число а´, що безпосередньо слідує за а

Аксіома 3. Яке б не було ціле невідємне число а, існує єдине ціле невідємне число b, за яким а безпосередньо слідує

Аксіома 4. (аксіома індукції) Якщо будь яки підмножина М множина цілих невідємних чисел має властивості: 1) містить нуль, 2) якщо вона містить ціле невідємне число а´, то дана множина М збігається з множиною цілих невідємних чисел.

На принципі математичної індукції грунтується метод матиматичної індукції. Доведення методом матиматичної індукції складається з трьох частин:

· Перевіряємо істинність твердження для n=1;

· Припускаємо, що твердження істинне для деякого n=k та доводимо, що воно буде істинним і для безпосередньо наступного n=k´

 

 

Означення різниці двох цілих невід’ємних чисел. Умови існування різниці, її єдиність. Операція віднімання на множині цілих невід’ємних чисел. Зв’язок віднімання з додаванням. Поняття різниці і віднімання в початковому курсі математики.

1.Різницею цілих невід’ємних чисел a і b називається число с, яке є потужністю доповнення підмножини В до множини А:

а – b = c N(A) – N(B) = N(B᷃_A)

Число а називають зменшуваним, b – від’ємником, с – різницею, а операцію знаходження різниці – дією віднімання.

2. Теорема 10. Для довільних цілих невід'ємних чисел a та b їх різниця існує тоді і тільки тоді, коли a ≥ b. Якщо різниця цілих невід'ємних чисел існує, то вона єдина.

► І. Доведемо існування різниці.

1) Нехай a ≥ b. Можливі два випадки або a = b, або a > b. Якщо a = b, то за властивістю нуля при додаванні будемо мати b + 0 = a. Звідси за означенням різниці одержуємо

a – b = 0.

Якщо ж a > b, то за означенням відношення "більше" дістанемо b x = a, де x N. Звідси за означенням різниці a – b = x.

2) Нехай різниця цілих невід'ємних чисел a та b існує. Покажемо, що a ≥ b. Дійсно, оскільки різниця цілих невід'ємних чисел a і b існує, то за означенням різниці знайдеться ціле невід'ємне число x таке, що b + x = a. Для x можливі два випадки: або x = 0, або x ≠ 0 (тобто, x N).

Якщо x = 0, то з того, що b + 0 = a, випливає (за властивістю нуля при додаванні) b = a.

Якщо ж x N, то з того, що b + x = a, одержуємо (за означенням відношення "більше") a > b.

А тому маємо, що при існуванні різниці чисел a і b, a ≥ b.

Отже, існування різниці доведено.

ІІ. Доведемо єдиність різниці. Нехай різниця цілих невід'ємних чисел a і b існує. Припустимо, що a − b = x ₁, і a – b = x ₂. Звідси за означенням різниці маємо a = b + x ₁ і a = b + x ₂. Отже, b + x ₁ = b + x ₂ і за правилом скорочення для додавання одержимо x ₁ = x ₂.

Значить, різниця цілих невід'ємних чисел, якщо вона існує, визначається однозначно. ◄

З доведеної теореми одержуємо наслідок.

Наслідок 5.

a ₀: a – 0 = a;

a ₀: a – a = 0.

3. Операція у множині цілих невід'ємних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх різниця a – b, називається відніманням цілих невід'ємних чисел. Компоненти віднімання називаються: перша – зменшуваним, друга – від'ємником, а результат – різницею.

4. На підставі означення різниці через суму одержуємо, що віднімання цілих невід'ємних чисел є оберненою операцією до додавання. А теорема 10 показує, що віднімання є частковою операцією для цілих невід'ємних чисел.

Оскільки А = В ∪ B᷃_A і В ⋂ B᷃_{A =} ∅, за означенням суми цілих невід’ємних чисел N(A) = N(B) + N(B᷃_A), тобто a = b + c. Отже віднімання – дія обернена до дії додавання.

5. У шкільній математиці віднімання вводиться на основі практичних вправ, пов'язаних з виділенням підмножини даної множини і утворення нової множини – доповнення виділеної підмножини. При цьому, звичайно, теоретико-множинна символіка і термінологія не використовуються, а число елементів підмножини і її доповнення знаходяться способом переліку. Головним засобом розкриття теоретико-множинного смислу віднімання є розв'язування простих задач.

Зв'язок віднімання з додаванням встановлюється при розгляді теми "як знайти невідомий доданок". Означення віднімання, як операції оберненої до додавання, в явному виді не дається, але постійно використовується. Правила віднімання числа від суми і суми від числа вводяться ще у першому класі, по суті, на теоретико-множинній основі. Приклади, які розглядаються при цьому, ілюструються наочністю.

 

Означення добутку двох цілих невід’ємних чисел. Існування добутку, його єдиність. Операція множення на множині цілих невід’ємних чисел. Закони множення: комутативний, асоціативний, дистрибутивний відносно додавання. Поняття добутку і множення в початковому курсі математики.

1.Добуток цілих невід’ємних чисел позначається через декартовий добуток множин та через суму однакових доданків.

Означення 1. Добутком цілих невід’ємних чисел m і k називається число елементів декартового добутку множини що має m елементів на множину що має k елементів.

Означення 2. Добутком цілого невід’ємного числа m на натуральнее число k називається сума k доданків кожен з яких дорівнює m m*k = m+m+….+m } k

Числа m і k називають множниками, а операцію знаходження добутку – дію множення.

Добуток цілого невід’ємного числа числа а на 1 є число а:

(∀а є N₀) а *1=а

Добуток цілого невід’ємного числа а на 0 є нуль:

(∀а є N₀) а*0=0

2. Теорема 6. (про існування та єдиність добутку): якими б не були цілі невід’ємні числа a і b завжди існує єдине ціле невід’ємне число a×b, яке є їх добутком.

Доведення:

Для доведення теореми використаємо означення добутку через суму однакових доданків, розглянувши три випадки: 1) b=0; 2) b=1; 3) b>1. Якщо b=0, то добуток а×0 існує згідно з додатковим означенням: а×0=0. Якщо b=1, то добуток а×1 також існує згідно з додатковим означенням: а×1=а. В обох випадках добутки єдині. Якщо b>1, то добуток існує і єдиний, бо існує і єдина сума а+а+а+...+а=а×b. Теорему доведено.

3. Поняття добутку двох цілих невід'ємних чисел можна узагальнити на довільну скінченну сукупність чисел.

Добутком довільних цілих невід'ємних чисел a ₁, a ₂, …, a_n (позначається a ₁ a ₂… a_n або ) називається потужність декартового добутку множин A ₁, A ₂, …, A_n, потужностями яких є відповідно числа a ₁, a ₂, …, a_n.

У шкільному курсі математики розглядається інше означення добутку цілих невід'ємних чисел, в основі якого лежить поняття суми. Нехай a i b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = | A |, b = | B | і b > 1. За властивостями скінченних множин множина B є об'єднанням b одиничних множин, які попарно не перетинаються, тобто

B = { y ₁} { y ₂} … { y_b }.

Тоді декартів добуток A B можна записати

A B = A ({ y ₁} { y ₂} … { y_b }).

На основі дистрибутивного закону декартового множення відносно об'єднання множин

A B = (A { y ₁}) (A { y ₂}) … (Α { y_b }),

де | A { y_і }| = a ·1, і = 1, 2, 3…, b; (A { y_i }) ∩ (A { y_j }) = при i ≠ j, бо y_i ≠ y_j, i, j = 1, 2, …, b. Тому | A { y_i }| = | A | = a i a · b = | A { y ₁}| + | A { y ₂}| + … + | A { y_b }| = | A | + | A | + … + | A | = .

Звідси, враховуючи перші частини наслідків 6 і 7, одержуємо таке означення добутку двох цілих невід'ємних чисел.

Добутком довільних цілих невід'ємних чисел a i b (позначається a · b) називається:

1) число нуль, якщо b = 0;

2) число a, якщо b = 1;

3) число, яке є сумою b доданків, кожний з яких дорівнює a, якщо b > 1.

4.

1) комутативна: a, b N ₀: a · b = b · a;

2) асоціативна: a, b, c N ₀: (a · b)· c = a ·(b · c);

3) дистрибутивна відносно додавання: a, b, c N ₀: (a + b)· c = a · c + b · c.

4) Наступні дві теореми пов'язують операцію множення цілих невід'ємних чисел з відношеннями рівності та порядку.

Теорема 4 (закони монотонності множення). Операція множення цілих невід'ємних чисел монотонна:

1) відносно відношення рівності:

a, b, c N ₀: (a = b) → (a · c = b · c);

1) відносно відношень порядку, зокрема:

a, b, c N ₀: (a < b) (c ≠ 0) → (a · c < b · c).

Теорема 5 (правила скорочення для множення). Для операції множення цілих невід'ємних чисел мають місце правила скорочення:

1) відносно відношення рівності:

a, b, c N ₀: (a · c = b · c) (c ≠ 0) → (a = b);

1) відносно відношень порядку, зокрема:

a, b, c N ₀: (a · c < b · c) (c ≠ 0) → (a < b).

 

5. У шкільному курсі розглядається означення добутку через суму, але вводиться воно у другому класі не все зразу, а частинами: спочатку дається означення: "Додавання однакових доданків називається множенням", потім: "При множенні довільного числа на одиницю одержується число, яке множили" і запис a ·1 = a. Нарешті, означення: "Добуток довільного цілого невід'ємного числа на нуль дорівнює нулю", запис a ·0 = a.

Комутативний закон множення, який у школі називається переставним, вивчається до розгляду випадків множення на одиницю і нуль. Комутативний закон істотно використовується при складанні таблиці множення.

Асоціативний закон множення розглядається також у початковій школі як правило множення добутку на число і числа на добуток.

Дистрибутивний закон множення відносно додавання розглядається спочатку на конкретних прикладах і його називають правилом множення числа на суму і суми на число.

Означення частки цілого невід’ємного і натуральних чисел. Умови існування частки, її єдність. Операція ділення на множині цілих невід’ємних чисел. Зв’язок ділення з множенням. Частка і ділення в початковому курсі математики.

Нехай a = N(A) і множина A розбита на рівнопотужні підмножини без спільних елементів.

Якщо b – число підмножин у розбитті множини A, то часткою чисел a і b називається число елементів кожної підмножини, тобто, число a потрібно зобразити у вигляді суми b однакових доданків, величину яких потрібно знайти:

a = x + x +…+x (b доданків).

Якщо b – число елементів кожної підмножини у розбитті множини A, то часткою чисел a і b називається число підмножин у цьому розбитті, тобто, знаходять кількість доданків, кожен з яких дорівнює b і сума яких a:

a = b + b+ …+ b (x доданків).

В обох випадкаах задача зводиться до знаходження невідомого множника за відомим добутком і другим множником, - дія ділення обернена до дії множення.

 

Поняття про систему числення. Позиційні і непозиційні системи числення. Запис чисел у позиційних системах числення. Дії над числами в позиційних системах числення. Перехід від запису чисел в одній системі числення до запису в другій.

Системою числення (нумерації) називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна образити письмово або назвати будь-яке натуральне число.

Непозиційні системи числення (єгипетська, римська, давньогрецька,слов’янська) не пристосовані для виконання арифметичних дій на письмі, в них не можна записувати великі числа

Позиційні системи числення відрізняються тим, що в них один і той самий знак(цифра) означає рівні числа в залежності від розташування його в записі числа.Завдяки цьому, як завгодно велике число може бути записане за допомогою скінченної кількості знаків.

Для того, щоб натуральне число, записане в десятковій системі числення подати у позиційній системі числення з основою g,треба поділити це число на основу g,частку знову поділити на g і т.д. поки не дістанемо частку меншу g.Утворені при цьому послідовні остачі будуть цифрами даного числа, записанго при основі g: перша остача-цифрою одиницт,друга-цифрою одииниць другого розряду і тд.Остання частка буде цифрою одиницт найвищого розряду шуканого числа.

Із позиційного принципу запису чисел у системах числення з основою g де g ≠10, випливають письмові алгоритми арифметичних дій, цілком аналогічні відповідним алгоритмам у десятковій системі числення

При додаванні(відніманні) багатоцифрових чисел потрібно підписувати їх так, щоб відповідні розряди були написані один під другим і починати додавати(віднімати) з нижчих розрядів.

Алгоритм множення чисел у будь-якій системі числення з основою g такий же, як у десятковій системі числення: можна множити одноцифрові числа в десятковій системі числення, а для запису кожний добуток переводити в систему чилсення з основою g.
Ділення у будь-якій системі числення з основою g виконується аналогічно десятковіій системі числення.

Для того,щоб будь-яке число аg, де g≠10,записати в десятковій системі числення, потрібно подати його у вигляді суми розрядних одиниць, усно виразити всі цифри і основу g у десятковій системі числення і виконати обчислення

27. Відношення подільності на множині натуральних чисел, його властивості.

Означення. Говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = bq.

Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають а b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а b = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q = 4, що 24 = 6∙4.

Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою х = 2∙ q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3,....

Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7,... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9,... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.

Означення. Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.

Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.

Означення. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Властивості подільності чисел
1. Будь-яке число ділиться націло на 1.
2. Будь-яке число ділиться націло само на себе.
3. Якщо число a кратне числу b, а число b кратне числу a, то чис-
ла a та b рівні.
4. Якщо число a кратне числу b, а число b кратне числу c, то чис-
ло a кратне числу c.
5. Якщо число a кратне числу bc, то воно кратне кожному з чисел
b та c.

Подільність суми.

  (достатня умова) Якщо числа a і b діляться на c,то їх сума ділиться на с
(Необхідна і достатня умова) Сума двох або кількох доданків ділиться на число с тоді і тільки тоді, коли на нього ділиться сума остач від ділення кожнго доданка на число с:      

Подільність різниці

(достатня умова) Якщо один з множників ділиться на натуральне число с, то й добуток ділиться на це число

(нобхідна і достатня умова) Добуток ділиться на число с тоді і тільки тоді, коли на с ділиться добуток остач від ділення кожного із співмножників на число с

Подільність добутку

(достатня умова) Якщо один із множників ділиться на натуральне число с то й добуток ділиться на це число

(Необхідна і достатня умова) Добуток ділиться на число с тоді і тільки тоді,коли на с ділиться добуток остач від ділення кожного із співмножників на число с

 

Вимірювання довжини відрізка, неспільномірного з одиничним відрізком. Нескінченні десяткові дроби. Ірраціональні числа. Запис додатного дійсного числа. Відношення порядку на множині додатних дійсних чисел.

Процес вимірювання довжини відрізка полягає у послідовному відкладанні одиничного відрізка і його частин на даному відрізку, довжину якого ми вимірюємо.   Звичайний нескоротний дріб, до канонічного розкладу якого входить принаймні один простий множник, відмінний від 2 і 5, зображують нескінченим десятковим дробом. Ірраціональним числом називають нескінченни неперіодичний десятковий дріб. Множину додатних ірраціональних чисел позначають I+. Множина додатних дійсних чисел R+ називають об'єднання множини Q+ і I+. Відношення порядку на множені додатніх дійсних чисел -напр. є два числа 1,0987 і 1,0997,відносно порядку чиисел ми дивимось, яке число більше.

 

Вимірювання довжин та площ.

Процес вимірювання довжини відрізка полягає у послідовному відкладанні одиничного відрізка і його частин на даному відрізку, довжину якого ми вимірюємо. Способи вимірювання площ: 1)за допомогою палетки; 2)за відомими формулами: S_{прямокутника}=a b;S_{паралелограма}=a h_a =a b sin ; S_{трикутника} = ah_a = a b sin = , де p= .

                                                                                                        

Прямокутна декартова система координат на площині. Паралельне перенесення початку координат. Відстань між двома точками на площині.

Декартова система координат на площині задається двома взаємно перпендикулярними осями (вісь ОХ – вісь абсцис, вісь ОУ – вісь ординат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб осей. Кожній точці площини за певним правилом ставиться у відповідність пара чисел – абсциса та ордината (х;у), ці числа називаються декартовими координатами точки.

Паралельне перенесення початку координат на площині. При перенесенні початку координат в точку 0₁ (a;в) без зміни координатного базису координати довільної точки площини обчислюються за формулами:

Х^/ = х - а,

У^/ = у - в.

Приклад. А(2;-3) та В(-6;0) при перенесенні початку координат в точку 0₁ (-1;3).

А: х = х-а = 2-(-1) = 3, у = у-в = -3-3=-6. А(3;-6).

В: х = х-а = -6-(-1) = -5, у = у-в = 0-3=-3. В(-5;-3).

Відстань між двома точками. Нехай на площині х0у задано дві точки А(Х₁;у₁) та В(х₂;у₂). Застосовуючи до прямокутного трикутника АВС теорему Піфагора, визначаємо відстань між точками А та В через координати цих точок: АВ²= (х₂-х₁)² + (у₂-у₁)², звідки |АВ|= (х₂-х₁)² + (у₂-у₁)².