Означення ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею. Теорема про існування і єдність частки і остачі.

Поділити ціле невід’ємне число a на натуральне число b означає знайти таке ціле невід’ємне число c, що a = b*c. Число a називається діленим, b – дільником, c = a: b – часткою, а операція знаходження частки – дією ділення.

Ціле невід’ємне число a може націло поділитись на натуральне число b, а може і не поділитись. В останньому випадку кажуть, що a ділиться на b з остачею.

       Теорема(про ділення з остачею). Для довільного цілого невід’ємного числа a і натурального числа b існує, і причому єдина, пара цілих невід’ємних чисел q і r таких, що a=b*q+r, 0 r<b.

Приклад. Якщо a= 36, b=5, то q = 7, r = 1, оскільки 36 = 5*7+1.

 

Поняття про систему числення. Позиційні і непозиційні системи числення. Запис чисел у позиційних системах числення. Дії над числами в позиційних системах числення. Перехід від запису чисел в одній системі числення до запису в другій.

Системою числення (нумерації) називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна образити письмово або назвати будь-яке натуральне число.

Непозиційні системи числення (єгипетська, римська, давньогрецька,слов’янська) не пристосовані для виконання арифметичних дій на письмі, в них не можна записувати великі числа

Позиційні системи числення відрізняються тим, що в них один і той самий знак(цифра) означає рівні числа в залежності від розташування його в записі числа.Завдяки цьому, як завгодно велике число може бути записане за допомогою скінченної кількості знаків.

Для того, щоб натуральне число, записане в десятковій системі числення подати у позиційній системі числення з основою g,треба поділити це число на основу g,частку знову поділити на g і т.д. поки не дістанемо частку меншу g.Утворені при цьому послідовні остачі будуть цифрами даного числа, записанго при основі g: перша остача-цифрою одиницт,друга-цифрою одииниць другого розряду і тд.Остання частка буде цифрою одиницт найвищого розряду шуканого числа.

Із позиційного принципу запису чисел у системах числення з основою g де g ≠10, випливають письмові алгоритми арифметичних дій, цілком аналогічні відповідним алгоритмам у десятковій системі числення

При додаванні(відніманні) багатоцифрових чисел потрібно підписувати їх так, щоб відповідні розряди були написані один під другим і починати додавати(віднімати) з нижчих розрядів.

Алгоритм множення чисел у будь-якій системі числення з основою g такий же, як у десятковій системі числення: можна множити одноцифрові числа в десятковій системі числення, а для запису кожний добуток переводити в систему чилсення з основою g.
Ділення у будь-якій системі числення з основою g виконується аналогічно десятковіій системі числення.

Для того,щоб будь-яке число аg, де g≠10,записати в десятковій системі числення, потрібно подати його у вигляді суми розрядних одиниць, усно виразити всі цифри і основу g у десятковій системі числення і виконати обчислення

27. Відношення подільності на множині натуральних чисел, його властивості.

Означення. Говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = bq.

Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають а b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а b = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q = 4, що 24 = 6∙4.

Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою х = 2∙ q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3,....

Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7,... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9,... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.

Означення. Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.

Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.

Означення. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Властивості подільності чисел
1. Будь-яке число ділиться націло на 1.
2. Будь-яке число ділиться націло само на себе.
3. Якщо число a кратне числу b, а число b кратне числу a, то чис-
ла a та b рівні.
4. Якщо число a кратне числу b, а число b кратне числу c, то чис-
ло a кратне числу c.
5. Якщо число a кратне числу bc, то воно кратне кожному з чисел
b та c.

Подільність суми.

  (достатня умова) Якщо числа a і b діляться на c,то їх сума ділиться на с
(Необхідна і достатня умова) Сума двох або кількох доданків ділиться на число с тоді і тільки тоді, коли на нього ділиться сума остач від ділення кожнго доданка на число с:      

Подільність різниці

(достатня умова) Якщо один з множників ділиться на натуральне число с, то й добуток ділиться на це число

(нобхідна і достатня умова) Добуток ділиться на число с тоді і тільки тоді, коли на с ділиться добуток остач від ділення кожного із співмножників на число с

Подільність добутку

(достатня умова) Якщо один із множників ділиться на натуральне число с то й добуток ділиться на це число

(Необхідна і достатня умова) Добуток ділиться на число с тоді і тільки тоді,коли на с ділиться добуток остач від ділення кожного із співмножників на число с