И . Р . Высоцкий И . В . Ященко

И. Р. Высоцкий И. В. Ященко

10

Базовый

4

Профильный

ЕГЭ

2019

ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

    

МАТЕМАТИКА

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ

 

 

И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко

 

ЕГЭ 2019. Математика Теория вероятностей

 

Задача 4 (профильный уровень) Задача 10 (базовый уровень)

 

Рабочая тетрадь

 

Под редакцией И. В. Ященко

 

 

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС)

 

 

Москва Издательство МЦНМО

2019

УДК 373:51 ББК 22.1я72 В92

 

 

 

В92

Высоцкий И. Р., Ященко И. В.

ЕГЭ 2019. Математика. Теория вероятностей. Зада- ча 4 (профильный уровень). Задача 10 (базовый уро- вень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2019. — 64 с.

ISBN 978-5-4439-1314-8

Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2019. Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике в 2019 году по базовому и профильному уровням. В рабочей тетради представле- ны задачи по одной позиции контрольных измерительных материа- лов ЕГЭ-2019.

На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Теория вероятностей». Рабочая тет- радь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпуск- ника.

Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

Издание соответствует Федеральному государственному образо- вательному стандарту (ФГОС).

ББК 22.1я72

 

 

Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Феде- рации Московский центр непрерывного математического образования включён в перечень организаций, осуществляющих издание учебных по- собий, допущенных к использованию в образовательном процессе.

ISBN 978-5-4439-1314-8

© Высоцкий И. Р., Ященко И. В., 2019.

© МЦНМО, 2019.

От редактора серии

Прежде чем вы начнете работать с тетрадями, дадим некоторые пояснения и советы. Планируется, что в 2019 году у вас будет возможность выбрать уровень экзамена по математике — базовый или профильный. Вариант базового уровня будет состоять из 20 задач, проверяющих освоение Федерального государственного образовательного

стандарта на базовом уровне.

Вариант ЕГЭ профильного уровня состоит из двух частей. Первая часть содержит

8 заданий базового уровня сложности по основным темам школьной программы, включая практико-ориентированные задания с кратким ответом. Вторая часть состо- ит из 11 более сложных заданий по курсу математики средней школы; из них четыре с кратким ответом (задания 9—12) и семь с развернутым ответом (задания 13—19).

Рабочие тетради организованы в соответствии со структурой экзамена и позволят вам подготовиться к выполнению всех заданий с кратким ответом, выявить и устра- нить пробелы в своих знаниях.

Профильный уровень предназначен в первую очередь для тех, кому математика требуется при поступлении в вуз. Если вы ориентируетесь на этот уровень, то понима- ете, что нужно уметь решать все задания с кратким ответом — ведь на решение такой задачи и вписывание ответа в лист на экзамене уйдет меньше времени, чем на задание с развёрнутым решением; обидно терять баллы из-за ошибок в относительно простых задачах.

Кроме того, тренировка на простых задачах позволит вам избежать технических ошибок и при решении задач с полным решением.

Работу с тетрадью следует начать с выполнения диагностической работы. Затем рекомендуется прочитать решения задач и сравнить свои решения с решениями, при- ведёнными в книге. Если какая-то задача или тема вызывает затруднения, следует после повторения материала выполнить тематические тренинги.

Для завершающего контроля готовности к выполнению заданий соответствующей позиции ЕГЭ служат диагностические работы, размещённые в конце тетради.

Работа с серией рабочих тетрадей для подготовки к ЕГЭ по математике позволит выявить и в кратчайшие сроки ликвидировать пробелы в знаниях, но не может заме- нить систематического изучения математики.

Желаем успеха!

Введение

Настоящее пособие предназначено для подготовки к выполнению задания по тео- рии вероятностей Единого государственного экзамена (задача 4 профильного уровня и задача 10 базового уровня в варианте 2019 года).

Пособие состоит из диагностической работы Д1 с разбором решений, десяти трени- ровочных работ и трех дополнительных диагностических работ Д2—Д4, предназначен- ных для промежуточного контроля. В конце сборника даны ответы ко всем задачам.

Благодаря тому что задания первой части ЕГЭ по математике формируются с ис- пользованием открытого банка, задачи по вероятности также не будут сюрпризом для участников экзамена.

Теория вероятностей — один из наиболее важных прикладных разделов математи- ки. Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей. Ее преподают в школах многих стран, а в России она была возвращена в школу стандартом 2004 года и пока остается новым разделом.

Учащиеся и учителя еще испытывают определенные трудности при изучении тео- рии вероятностей и статистики, связанные с отсутствием глубоких традиций препо- давания и малочисленностью учебных материалов. Поэтому в 2019 году в ЕГЭ войдут только простейшие задачи по теории вероятностей.

Задачи сборника отвечают требованиям образовательного стандарта по теории ве- роятностей и охватывают весь круг тем экзаменационных задач. Вместе с тем в сбор- нике встречается несколько чуть более сложных задач, требующих знания некоторых вероятностных формул и законов.

Поэтому настоящий сборник рассчитан на любой уровень знаний и может исполь- зоваться не только при подготовке к экзамену, но и как дидактический материал при изучении регулярного курса теории вероятностей в основной и полной средней школе. Для тех, кто почти ничего не знает про вероятность, в начале приводятся очень подробные решения, даже более подробные, чем в учебниках. Сборник поможет вам получить необходимые сведения по теории вероятностей или закрепить уже имеющи-

еся знания и навыки.

Внимание! Важно!

Диагностическая работа 1

Д1.1. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начи- нать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру дол- жен будет Петя.

 

Д1.2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова ве- роятность того, что выпало число очков, большее чем 4?

 

 

Д1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бро- сают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

 

Д1.4. В случайном эксперименте бросают два игральных ку- бика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

 

Д1.5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

 

 

Д1.6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортс- мена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступа- ют спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

 

Д1.7. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в про- дажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине аккумулятор окажется исправным.

 

Д1.8

Образец написания:

 

Д1.8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в ко- тором выступают гимнастки, определяется жребием. Найди- те вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Диагностическая работа 1                                                                Ответы:

 

Д1.9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью Д1.9

жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре ко- манды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с но- мерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероят- ность того, что команда России окажется во второй группе?

 

Д1.10. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет Д1.10

плохо (или не пишет), равна 0, 1. Покупатель в магазине вы- бирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

 

Д1.11. На экзамене по геометрии школьнику достается один Д1.11

вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0, 2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллело- грамм», равна 0, 15. Вопросов, которые одновременно отно- сятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

 

Д1.12. В торговом центре два одинаковых автомата продают Д1.12

кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закон- чится кофе, равна 0, 3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0, 12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

 

Д1.13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероят- Д1.13

ность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

 

Д1.14. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из Д1.14

них может быть неисправен с вероятностью 0, 05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Ответы:                                                          Диагностическая работа 1

Д1.15

Д1.16

Д1.17

Образец написания:

Д1.15. Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G.

 

 

Д1.16. Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие — в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

 

Д1.17. Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мо- бильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30 % всех те- лефонов этой марки, а вторая — остальные телефоны. Из- вестно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабри- кой, 1 % имеют скрытые дефекты, а из выпускаемых второй фабрикой — 1, 5 %. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Диагностическая работа 1                                                                Ответы:

 

Д1.18. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хо-      Д1.18

зяйствах. 40 % яиц из первого хозяйства — яйца высшей кате- гории, а из второго хозяйства — 20 % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35 % яиц. Найдите вероят- ность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Т2.7

Ответы:

 

Т7.1

Т7.2

Т7.3

Т7.4

Т7.5

Т7.6

Т7.7

Ответы:

 

Т8.1

Т8.2

Т8.3

Т8.4

Т8.5

Т8.6

Т8.7

Ответы:

 

Т9.9

Т9.10

Т9.11

Т9.12

Т9.13

Т9.14

Т9.8. Вероятность того, что учащийся Б. верно решит не ме- нее 10 заданий ЕГЭ по математике, равна 0, 73. Вероятность того, что он верно выполнит не менее 12 заданий по матема- тике, равна 0, 54. Найдите вероятность того, что учащийся Б. на ЕГЭ по математике верно выполнит 10 или 11 заданий.

Т9.9. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиен- том с вероятностью 0, 3. Найдите вероятность того, что в слу- чайный момент времени все три продавца заняты одновре- менно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Т9.10. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Ве- роятность перегорания каждой из ламп в течение года рав- на 0, 2. Найдите вероятность того, что в течение года перего- рят обе лампы.

Т9.11. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надеж- ность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нуж- ный товар доставят из магазина А, равна 0, 8. Вероятность то- го, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0, 9. Иван Ива- нович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, най- дите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Т9.12. В интернет-магазине три телефонных оператора. В слу- чайный момент оператор занят разговором с клиентом с ве- роятностью 0, 7 независимо от других. Клиент звонит в мага- зин. Найдите вероятность того, что в этот момент все опера- торы заняты.

Т9.13. Стрелок делает последовательно четыре выстрела по мишеням. Вероятность попадания при первом выстреле рав- на 0, 7, при втором и последующих выстрелах вероятность попадания равна 0, 9. Обозначим попадание буквой П, про- мах — буквой Н. Найдите вероятность элементарного исхода ННПП.

Т9.14. Найдите вероятность того, что произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера четно.

Ответы:

Т10.9

Т10.10

Т10.11

Т10.12

Т10.13

Т10.14

Т10.8. Вероятность того, что учащийся В. верно решит не ме- нее 8 заданий ЕГЭ по физике, равна 0, 61. Вероятность того, что он верно выполнит не менее 10 заданий по физике, равна 0, 38. Найдите вероятность того, что учащийся В. на ЕГЭ по физике верно выполнит 8 или 9 заданий.

Т10.9. Системный администратор обслуживает два сервера. Вероятность того, что в течение дня первый сервер потребу- ет вмешательства, равна 0, 3. Вероятность того, что второй сервер потребует вмешательства, равна 0, 2. Найдите вероят- ность того, что в течение дня ни один из серверов не потре- бует вмешательства.

Т10.10. В фирме такси есть два микроавтобуса. Каждый из них в случайный момент времени свободен с вероятностью 0, 43. Какова вероятность того, что в случайный момент ни один автобус не будет свободен?

Т10.11. В магазине одежды в случайный момент каждый про- давец независимо от других занят с покупателем с вероятно- стью 0, 2. Всего продавцов трое. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный момент хотя бы один из продавцов свободен.

Т10.12. В бутике модной обуви в случайный момент каждый продавец занят с покупателем с вероятностью 0, 1. Всего про- давцов трое. Найдите вероятность того, что в случайно вы- бранный момент хотя бы один из продавцов свободен.

 

Т10.13. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Ве- роятность перегорания каждой из ламп в течение года равна 0, 3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

 

Т10.14. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0, 2. Найдите вероятность того, что из трех таких слу- чайно выбранных деталей ровно две окажутся бракован- ными.

Ответы:

Т11.4

Т11.5

Т11.6

Т11.7

Т11.4. В ветеринарной лаборатории проводятся анализы на пироплазмоз ¹. Если анализ не выявляет заболевания, гово- рят, что результат анализа отрицательный, в противном слу- чае — что результат положительный. Если анализ отрица- тельный, врач назначает повторный анализ. Третий анализ не назначается. Вероятность ложного отрицательного анали- за у больной пироплазмозом собаки равна 0, 3. Найдите ве- роятность того, что с помощью такой процедуры у больной пироплазмозом собаки удастся выявить это заболевание.

 

Т11.5. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держит- ся неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0, 8 погода завтра будет такая же, как сегодня. Сегодня 3 июля, и погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

 

Т11.6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, фут- больной команде нужно набрать 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревно- ваний. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0, 4.

 

Т11.7. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают ана- лиз крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анали- за называется положительным. У больных гепатитом паци- ентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0, 9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0, 01. Из- вестно, что 5 % пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно болеют гепатитом. Найдите вероят- ность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

 

 

Образец написания:

1 Опасное инфекционное заболевание собак и других животных.

Ответы:

Т12.4

Т12.5

Т12.6

Т12.7

Т12.4. В ветеринарной лаборатории проводятся анализы на пироплазмоз. Если анализ не выявляет заболевания, гово- рят, что результат анализа отрицательный, в противном слу- чае — что результат положительный. Если анализ отрица- тельный, врач назначает повторный анализ. Третий анализ не назначается. Вероятность ложного положительного результа- та у здоровой собаки равна 0, 005. Найдите вероятность того, что с помощью такой процедуры у здоровой собаки будет ошибочно диагностирован пироплазмоз. Результат округлите до сотых.

Т12.5. При артиллерийской стрельбе автоматическая систе- ма делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си- стема делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уни- чтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0, 6, а при каждом следующем — 0, 8. Сколько выстрелов потребует- ся для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее чем 0, 99.

Т12.6. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают ана- лиз крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анали- за называется положительным. У больных гепатитом пациен- тов анализ дает положительный результат с вероятностью 0, 9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать лож- ный положительный результат с вероятностью 0, 01. Извест- но, что у 6 % пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что па- циент, поступивший с подозрением на гепатит, действитель- но болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Т12.7. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и замечательная, причем погода держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0, 8 погода завтра будет такая же, как сегодня. Сегодня 3 июля, и погода в Волшебной стране замечательная. Найдите вероятность того, что 5 июля погода в Волшебной стране также будет замечательная.

 

Образец написания:

Диагностическая работа 2

Д2.1. В прямоугольном треугольнике случайно выбирается     Д2.1

вершина. Найдите вероятность того, что выбрана вершина прямого угла.

 

Д2.2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероят-      Д2.2

ность того, что выпало число, меньшее чем 3?

 

 

Д2.3. На столе лежат 10 карточек, на которых написаны числа      Д2.3 от 1 до 10. Миша случайно вытягивает одну карточку. С какой вероятностью число на выбранной карточке является состав-

ным?

 

Д2.4. В случайном эксперименте бросают две игральные ко- Д2.4

сти. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.

 

 

Д2.5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Д2.5

Какова вероятность выпадения комбинации ООР?

 

 

Д2.6. В соревнованиях по метанию копья участвуют 6 спортс- Д2.6

менов из Польши, 5 спортсменов из Чехии, 8 спортсменов из Австрии и 6 — из Германии. Порядок, в котором выступа- ют спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступивший последним, окажется из Австрии.

Д2.7. В среднем из 1000 зарядных устройств, поступивших       Д2.7

в продажу, 12 неисправны. Найдите вероятность того, что одно случайно выбранное зарядное устройство окажется ис- правным.

 

Д2.8. В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсме-       Д2.8

нок: 7 из Эстонии, 4 из Латвии, остальные — из Литвы. Поря- док, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Литвы.

Ответы:

Ответы:                                                         Диагностическая работа 2

Д2.9

 

Д2.10

 

Д2.11

 

Д2.12

 

Д2.13

 

Д2.14

 

Образец написания:

Д2.9. В избирательный список внесены имена трех кандида- тов: А., Б. и В. Порядок их в списке определяется случайно с помощью компьютера. Найдите вероятность того, что их имена будут расположены в списке в алфавитном порядке. Результат округлите до сотых.

 

Д2.10. Системный администратор обслуживает два сервера. Вероятность того, что в течение дня первый сервер потребу- ет вмешательства, равна 0, 2. Вероятность того, что второй сервер потребует вмешательства, равна 0, 15. Найдите веро- ятность того, что в течение дня ни один из серверов не потре- бует вмешательства.

 

Д2.11. Вероятность того, что на тесте по обществознанию уча- щийся П. верно ответит больше чем на 10 вопросов, равна 0, 39. Вероятность того, что П. верно ответит больше чем на 9 вопросов, равна 0, 44. Найдите вероятность того, что П. вер- но ответит ровно на 10 вопросов.

 

Д2.12. При артиллерийской стрельбе автоматическая систе- ма делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си- стема делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уни- чтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0, 4, а при каждом следующем — 0, 6. Сколько выстрелов потребу- ется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее чем 0, 98?

 

Д2.13. Вероятность того, что новый принтер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0, 055. В некотором го- роде из 1000 проданных принтеров в течение года в гарантий- ную мастерскую поступило 53 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

 

Д2.14. Из районного центра в деревню ежедневно ходит ав- тобус. Вероятность того, что в пятницу в автобусе окажется меньше 35 пассажиров, равна 0, 84. Вероятность того, что ока- жется меньше 25 пассажиров, равна 0, 48. Найдите вероят- ность того, что число пассажиров будет от 25 до 34.

Диагностическая работа 2                                                                Ответы:

 

Д2.15. Бревно плывет по течению реки к устью. Река разделяет-    Д2.15

ся на рукава. При каждом разветвлении реки бревно с равны- ми шансами может попасть в любой из образующихся рукавов. Найдите вероятность того, что бревно попадет в точку S.

Д2.16. Бревно плывет по течению реки к устью. Река разделя-      Д2.16

ется на рукава. При каждом разветвлении реки бревно с рав- ными шансами может попасть в любой из образующихся ру- кавов. Некоторые рукава около выхода в море перегорожены сетями (см. рисунок). Найдите вероятность того, что бревно попадет в какую-нибудь сеть.

Ответы:                                                         Диагностическая работа 2

Д2.17

Д2.18

Д2.17. Лампы определенного типа выпускают только два заво- да. Первый завод выпускает 40 % ламп, второй — 60 %. Среди продукции первого завода 2 % бракованных ламп, среди про- дукции второго — 3 %. Найдите вероятность того, что случай- но купленная в магазине лампа этого типа окажется исправ- ной.

 

Д2.18. Лампы определенного типа выпускают только два заво- да. Среди продукции первого завода 2 % бракованных ламп, среди продукции второго — 3 %. Известно, что при случайном выборе вероятность купить неисправную лампу этого типа равна 0, 024. Найдите вероятность того, что случайно выбран- ная лампа произведена на первом заводе.

 

Диагностическая работа 3

Д3.1. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж»,       Д3.1

«Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квар- тиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась кон- фета «Грильяж».

Д3.2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероят- Д3.2

ность того, что выпало число, кратное 2?

Д3.3. На столе лежат 10 карточек, на которых написаны числа

Ответы:

от 1 до 10. Дима случайно вытягивает одну карточку. С какой вероятностью число на выбранной карточке кратно 3?

Д3.4. В случайном эксперименте бросают две игральные ко- сти. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков нечетна.

Д3.5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Найдите вероятность того, что при втором броске монете вы- пал орел.

Д3.6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 10 спортс- менов из России, 4 спортсмена из Белоруссии, 8 спортсменов из Казахстана и 3 — из Украины. Порядок, в котором выступа- ют спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Казахстана.

Д3.3

Д3.4

Д3.5

Д3.6

Д3.7. В среднем из 1000 карт памяти, поступивших в продажу,      Д3.7 7 неисправны. Найдите вероятность того, что одна случайно выбранная при покупке карта памяти окажется исправной.

Д3.8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсме-       Д3.8

нок: 5 из России, 9 из Молдовы, остальные — из Украины. По-

рядок, в котором выступают гимнастки, определяется жреби- ем. Найдите вероятность того, что гимнастка, выступающая первой, окажется из Украины.

Д3.9. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом      Д3.9 в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув от-

метки 11 часов, но не дойдя до отметки 1 час.

Ответы:                                                         Диагностическая работа 3

Д3.10

Д3.11

Д3.12

Д3.13

Д3.14

Д3.15

Д3.10. В фирме такси есть два микроавтобуса. Каждый из них в случайный момент времени свободен с вероятностью 0, 55. Какова вероятность того, что в случайный момент ни один автобус не будет свободен?

Д3.11. Вероятность того, что новая электрическая мясорубка прослужит больше года, равна 0, 96. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0, 91. Найдите вероятность того, что мясорубка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Д3.12. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0, 06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Д3.13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероят- ность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре ра- за попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Д3.14. В магазине стоят три платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 1. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Д3.15. Гусеница ползет вверх по ветви куста (см. рисунок). На каждом разветвлении гусеница с равными шансами может попасть на любую из растущих веточек. Какова вероятность того, что гусеница попадет в точку A?

Диагностическая работа 3                                                                Ответы:

 

Д3.16. Гусеница ползет вверх по ветви куста. На каждой раз-      Д3.16

вилке гусеница с равными шансами может попасть на любую из растущих веточек. Найдите вероятность того, что гусеница доберется до одного из листьев.

 

Д3.17. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Веро-      Д3.17

ятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0, 02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контро- ля. Вероятность того, что система забракует неисправную ба- тарейку, равна 0, 99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0, 01. Найдите вероят- ность того, что случайно выбранная батарейка будет забрако- вана.

 

Д3.18. Чтобы пройти в следующий круг  соревнований, фут-      Д3.18

больной команде нужно набрать 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность то- го, что команде не удастся выйти в следующий круг соревно- ваний. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы, а вероятность ничьей равна 0, 1. Ре- зультат округлите до сотых.

 

Д4.1

Д4.2

Ответы:

 

Диагностическая работа 4

Д4.1. Саша и Миша решили поиграть в шахматы. Саша прячет в одной руке белую пешку, а в другой — черную. Миша выби- рает цвет своих фигур, указывая на левую или правую руку Саши. С какой вероятностью Миша укажет на руку с белой пешкой?

Д4.2. Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало простое число?

Д4.3. На столе лежат 10 карточек, на которых написаны числа

Д4.3                                 от 1 до 10. Даша случайно вытягивает одну карточку. С какой вероятностью число на выбранной карточке больше 7?

Д4.4. В случайном эксперименте бросают две игральные ко-

Д4.4                                 сти по очереди. Найдите вероятность того, что на первой ко- сти выпало больше очков, чем на второй.

Д4.5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Найдите вероятность того, что решка выпала не более двух

Д4.5

Д4.6

Д4.7

Д4.8

Д4.9

раз.

Д4.6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортс- мена из Эстонии, 3 спортсмена из Латвии, 5 спортсменов из Литвы и 8 — из Дании. Порядок, в котором выступают спортс- мены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступивший последним, окажется из Латвии.

Д4.7. В среднем из 1000 телевизоров, поступивших в прода- жу, 3 неисправны. Найдите вероятность того, что случайно выбранный телевизор при проверке окажется исправным.

Д4.8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсме- нок: 7 из Канады, 6 из США, остальные — из Великобрита- нии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что гимнастка, которая выступает первой, окажется из Великобритании.

Д4.9. Аня и Таня выбирают по одному натуральному числу от 1 до 9 независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что сумма этих чисел делится на 3.

Диагностическая работа 4                                                                Ответы: