Не требующие для решения специальных методов

 

Рассматривается задача о рациональной организации снабжения центра однородной продукцией из n-пунктов. Пусть  – количество продукции, поставляемое в центр из i-го пункта, а  – стоимость производства и перевозки единицы продукции из i-го пункта. Стоимость всей продукции, доставленной в центр, определяется по формуле

.                                               (3.1)

Требуется организовать рациональное снабжение центра, т.е. выбрать  таким образом, чтобы обеспечить минимальную стоимость продукции в центре. При этом на задачу накладываются следующие ограничения:

- потребность центра в продукции определяется величиной , т.е.

,                                                 (3.2)

а излишков продукции быть не должно;

- производство продукции в i-м пункте ограничено величиной , а пропускная способность транспорта из i-го пункта ограничено величиной .

Пусть , где . Тогда

.                                        (3.3)

Таким образом, получена задача линейного программирования. Нетрудно заметить, что наиболее рациональна доставка продукции из пункта, где ее стоимость наименьшая. Перенумеруем пункты в порядке возрастания стоимости

.

Из первого пункта, в котором стоимость единицы продукты наименьшая, центр может получить  единиц продукции. При этом могут возникнуть две ситуации:

1) ;

2) .

В первом случае центр полностью удовлетворяет свою потребность за счет первого пункта. Решение задачи будет иметь вид

.

Во втором случае первый пункт удовлетворяет лишь часть потребности, т.е.

.

Тогда получается задача, аналогичная предыдущей, с той лишь разницей, что потребность в продукции определяется величиной , а количество поставщиков составит .

Из второго пункта центр может получить  единиц продукции. При этом могут возникнуть две ситуации:

1) ;

2) .

В первом случае центр полностью удовлетворяет свою потребность за счет первого и второго пунктов. Решение задачи будет иметь вид

.

Во втором случае второй пункт совместно с первым удовлетворяют лишь часть потребности центра

,

т.е. получается задача, аналогичная предыдущей, с той лишь разницей, что потребность определяется теперь величиной , а количество поставщиков составит .

Продолжая решать задачу по приведенной схеме, можно столкнуться с одной из двух ситуаций:

1) ;

2) .

В первом случае невозможно полностью удовлетворить потребность центра в продукции. Во втором случае потребность будет удовлетворена полностью.

Определим индекс  следующим образом

;

.

Тогда решение задачи будет иметь вид

.

Задача о рациональном снабжении центра решается таким простым способом лишь потому, что ее условие содержит только одно ограничение, связывающее все переменные .

Пример 3.1. Три машиностроительных предприятия снабжают головное предприятие комплектующими изделиями. Первое предприятие способно поставить 50 тыс.шт. по 10 тыс.руб. за 1 шт., второе − 30 тыс.шт. по 8 тыс.руб. за 1 шт., третье – 45 тыс.шт. по 9 тыс.руб. за 1 шт. Организовать рациональное снабжение головного предприятия комплектующими изделиями при условии, что  пропускная  способность  транспорта с первого предприятия 60 тыс.шт., со второго – 25 тыс.шт., с третьего – 50 тыс.шт., а головному предприятию по плану необходимо иметь комплектующих изделий 100 тыс.шт.

Решение

Математическая постановка задачи будет иметь вид

;

;

, ;

, ;

.

Поставить продукцию со второго предприятия дешевле, тогда

.

Потребность центра в продукции не удовлетворена, поэтому продолжается поставка с третьего предприятия, тогда

.

Потребность центра в продукции не удовлетворена, поэтому продолжается поставка с первого предприятия, тогда

.

Потребность центра в продукции удовлетворена.

Таким образом, рациональное снабжение головного предприятия комплектующими изделиями следующее:

- с 1-го предприятия – 30 тыс. шт. ;

- со 2-го предприятия – 25 тыс. шт. ;

- с 3-го предприятия – 45 тыс. шт. .

При этом стоимость поставленных комплектующих изделий в центр  тыс. руб. будет минимальной.

Задача 3.1. Машиностроительному предприятию для выпуска продукции по плану в текущем месяце необходимо поставить литье в объеме 40 т. Четыре металлургических комбината способны осуществить поставку литья предприятия, причем первый комбинат может поставить 10 т литья по 100 тыс.руб. за 1 т, второй комбинат – 25 т по 120 тыс.руб. за 1 т, третий комбинат – 20 т по 110 тыс.руб. за 1 т и четвертый комбинат – 10 т по 90 тыс.руб. за 1 т. Пропускная способность транспорта, перевозящего литье с первого комбината составляет 12 т, со второго – 20 т, с третьего – 25 т, с четвертого – 8 т. Требуется организовать снабжение машиностроительного предприятия литьем таким образом, чтобы обеспечить его минимальную стоимость.

Задача 3.2. На деревообрабатывающий комбинат сырье может поступить с трех заготовительных баз. Первая база может поставить комбинату 200 м сырья, вторая – 160 м , третья - 340 м .Сырье поставляется железнодорожным транспортом и его стоимость на месте составляет: с первой базы – 30 тыс.руб. за 1 м , со 2-й базы − 35 тыс.руб. за 1 м , с 3-й базы − 40 тыс.руб. за 1 м . Пропускная способность железнодорожного транспорта первой базы составляет 180 м сырья, второй − 200 м , третьей − 400 м .Кроме железнодорожного транспорта, первая и третья базы могут доставлять сырье на комбинат и по реке, при этом стоимость сырья на месте потребления с первой базы сократиться на 10 %, а с третьей – на 20 %. Пропускная способность речного транспорта первой базы составляет 100 м сырья, третьей базы − 150 м .

Организовать снабжение комбината таким образом, чтобы обеспечить его минимальную стоимость при условии, что для производственной деятельности комбинату необходимо иметь сырье в объеме 400 м .

Задача 3.3.  Организовать рациональное снабжение машиностроительного предприятия прокатом с двух металлургических комбинатов, если известно, что первый комбинат может поставить заводу 300 т проката при пропускной способности транспорта 250 т, а второй – 400 т при пропускной способности 300 т. Стоимость проката на месте потребления с первого комбината составляет 200 тыс.руб. за 1 т, со второго – 220 тыс.руб. за 1 т. Машиностроительному предприятию для выполнения плана необходимо 600 т проката.

Усложним задачу о рациональной организации снабжения центра однородной продукцией из  пунктов, включив в нее дополнительное ограничение.

Пусть  − время, необходимое для загрузки одной транспортной единицы в i-м пункте, а  − количество транспортных единиц, необходимое для перевозки продукции из i-го пункта. Тогда  − простой транспорта в i-м пункте под загрузкой, а  − суммарный простой транспорта.

Пусть суммарный простой транспорта ограничен величиной . Тогда дополнительное условие можно записать в виде

.

Осуществим переход от переменных  к переменным . Так как переменные  прямо пропорциональны переменным , т.е.

,

то дополнительное условие примет вид

.

Коэффициент пропорциональности  − величина, обратная грузоподъемности транспортной единицы.

Таким образом, получена задача линейного программирования с двумя ограничениями, связывающими все переменные . Рассуждения, подобные предыдущим, уже не приводят к решению.

Пример 3.2. Три пункта снабжают машиностроительное предприятие сырьем. Исходные данные приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

Показатель	Пункт отправления
	1	2	3
Стоимость сырья в центре, тыс.руб.	3	5	1
Объем производства, тыс.руб.	6	3	10
Пропускная способность, тыс.руб.	10	6	8
Простой под загрузкой транспортной единицы, мин	7	4	8

Организовать рациональное снабжение центра, если его потребность в сырье 10 тыс.т, средняя грузоподъемность транспортной единицы 2 тыс.т, а суммарное время простоев под загрузкой не должно превышать 38 мин.

Решение

Математическая постановка задачи будет иметь вид

;                                   (3.4)

;                                      (3.5)

;                                        (3.6)

;                                             (3.7)

;                                             (3.8)

                                             (3.9)

Введем новые переменные

,    .

Подставив в (3.4) и (3.5)  вместо , получим систему уравнений

Заменив в неравенствах (3.6) - (3.9)  и  полученными для них выражениями, задача перепишется в новых переменных:

- целевая функция

;

- ограничения неравенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задачу в новых переменных можно решить графическим способом (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Графическое решение задачи о рациональном снабжении

машиностроительного предприятия сырьем

Самая нижняя точка области допустимых решений А  соответствует наименьшему значению  и, следовательно, представляет собой минимум линейной функции  при заданных ограничениях. Тогда

   .

Возвращаясь к исходным переменным, получаем решение задачи

Таким образом, рациональная организация снабжения имеет вид:

- из первого пункта −  тыс.т;

- из второго пункта −  тыс.т;

- из третьего пункта − 8 тыс.т.

При этом достигается минимальная стоимость сырья в центре, равная  тыс.руб.

Задача 3.4. Организовать рациональное снабжение машиностроительного предприятия комплектующими изделиями, если известно, что его потребность составляет 12 тыс.шт. Поставка комплектующих изделий осуществляется тремя пунктами: первый пункт может поставить 8 тыс. комплектующих изделий стоимостью 2 тыс.руб. за 1 шт. при пропускной способности 10 тыс.шт.; второй пункт может поставить 9 тыс.шт. стоимостью 4 тыс.руб. за 1 шт. при пропускной способности 6 тыс.шт.; третий пункт может поставить 6 тыс.шт. стоимостью 3 тыс.руб. за 1 шт. при пропускной способности 7 тыс.шт.

Время загрузки транспортной единицы в первой пункте − 10 мин., во втором − 4 мин, в третьем − 6 мин. Суммарное время загрузки не должно превышать 22 мин. Средняя грузоподъемность транспорта 3 тыс.шт.

Задача 3.5. Из трех пунктов организовать рациональное снабжение центра сырьем, если его потребность в сырье 15 тыс.т средняя грузоподъемность транспортной единицы 2 тыс.т, а суммарное время простоев под загрузкой не должно превышать 50 мин. Исходные данные приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

 

Показатель	Пункт отправления
	1	2	3
Стоимость сырья в центре, тыс.руб.	9	6	7
Объем производства, тыс.т	7	10	9
Пропускная способность, тыс.т	6	8	10
Простои под загрузкой транспортной единицы, мин	3	8	6