Задача оптимального раскроя материалов

 

Подход к формированию математической постановке задачи оптимального раскроя материалов рассмотрим на примере 6.1.

Пример 6.1. На деревообрабатывающую фабрику поступило 100 брусов длиной 4 м. Деревянные брусы распиливают на заготовки трех видов: 1-й вид – заготовки длиной 2 м, 2-й вид – 1,5 м и 3-й вид –1 м.

Необходимо распилить деревянные брусы на заготовки таким образом, чтобы получить максимальное количество комплектов заготовок. В каждый комплект входят заготовки трех видов в соотношении 1:2:3.

Решение

Прежде чем осуществить математическую постановку задачи, рассматриваются возможные способы распиловки. Из четырехметрового бруса можно напилить заготовки длиной 2, 1,5 и 1 м шестью способами (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Длина заготовки, м	Количество комплексов заготовок, полученных способом
	1	2	3	4	5	6
2	2	1	1	0	0	0
1,5	0	1	0	2	1	0
1	0	0	2	1	2	4
Остаток, м	0	0,5	0	0	0,5	0

Осуществляется математическая постановка задачи.

Пусть  - количество брусов, распиливаемых i-м способом.

Ограничение по ресурсу имеет вид

.

Количество 2-метровых заготовок

.

Количество 1,5-метровых заготовок

.

Количество 1-метровых заготовок

.

Согласно условию задачи . Тогда ограничения по комплектности будут представлены следующими соотношениями

;

.

Так как необходимо получить максимальное количество комплектов заготовок, то целевая функция будет иметь вид

.

В ограничение по ресурсу вводится дополнительная переменная , что позволяет перейти от ограничения-неравенства к ограничению-равенству

.

Ограничения по комплектности представляются в следующем виде

;

.

В качестве базисных переменных выбираются , которые выражаются через свободные переменные

;

;

.

Целевая функция, выраженная через свободные переменные, будет иметь вид

.

Приведем математическую постановку к виду, удобному для заполнения первой симплекс-таблицы:

Решение задачи представлено в табл. 6.2 и 6.3.

Таблица 6.2

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
					↑
	0		0		-1
	0		-1		-2
	100		2		4
	0		-1		-2

Таблица 6.3

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
	25
	50		0
	25
	50		0

Все коэффициенты при свободных переменных в целевой функции F неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение

.

Итак, 1-м способом будет распилено 25 брусов, 4-м способом – 50 брусов, 6-м способом – 25 брусов, при этом будет получено заготовок длиной 2 м – 50 шт., 1,5 м – 100 шт., 1 м – 150 шт. Минимальное количество комплектов заготовок составит 50 шт.

Задача 6.1. На швейную фабрику поступила ткань для пошива костюмов: 20 рулонов ткани по 11 м и 30 рулонов по 10 м. Для пошива костюмов разного размера требуется различная длина раскроечного материала: для костюмов 52-го размера – 4 м, 48-го размера – 3,5 м и 46 размера – 3 м.

Требуется таким образом раскроить ткань, чтобы отходы ткани были минимальными, а количество использованного материала для различных размеров костюма одинаковым.

Задача 6.2. В штамповочный цех поступило 80 стальных полос длиной по 0,6 м и 50 стальных полос длиной по 0,7 м. Стальные полосы разрезаются на заготовки двух видов: 1-й вид – заготовки длиной 0,3 м, 2-й вид - заготовки длиной 0,2 м.

Необходимо разрезать стальные полосы на заготовки таким образом, чтобы получить максимальное количество комплектов заготовок. В комплект входят заготовки двух видов в соотношении 3:2.

Задача 6.3. Снабженческо-сбытовая база получила от поставщика прутки стального проката длиной 500 см. Согласно заявкам потребителей требуются заготовки трех видов в следующих количествах:

1) заготовки длиной 230 см – 120 тыс.шт.;

2) заготовки длиной 170 см – 160 тыс.шт.;

3) заготовки длиной 90 см – 490 тыс.шт.

Требуется таким образом раскроить прутки, чтобы отходы были минимальными.

Задача 6.4. На заготовительный участок поступили стальные прутки длиной 90 см. Необходимо разрезать их на заготовки длиной 19, 23 и 30 см. Заготовок требуется соответственно 311, 215 и 190 шт.

Определить минимальное количество разрезаемых прутков для того, чтобы выполнить данную работу.

Задача 6.5. На заготовительный участок поступило 69 металлических прутков длиной 95 см. Их необходимо разрезать на заготовки длиной по 13, 15 и 31 см в комплектности, заданной соотношением 1:4:2.

Определить, каким образом необходимо разрезать прутки, чтобы получить максимальное число комплектов заготовок.

Задача 6.6. На заготовительный участок мебельной фабрики поступили листы фанеры размером 152´152 см. Необходимо разрезать их на заготовки по 105´31, 30´51 см. Потребность в них составляет соответственно 315, 215 и 416 шт.

Выбрать варианты раскроя, при которых количество разрезанных листов минимально.

Задача 6.7. На участок поступило 120 листов фанеры размеры 152´152 см, которые необходимо разрезать на заготовки по 105´31, 47´90, 30´51 см в комплектности, задаваемой соотношением 3:2:5.

Определить, каким образом необходимо разрезать листы, чтобы получить максимальное число комплектов заготовок.