Величина вектора, единичный вектор. Декартовы компоненты вектора.Величина вектора, единичный вектор

Декартовы компоненты вектора

Для заданной прямоугольной системы координат можно ввести единичные векторы, идущие вдоль положительной полуоси X,Y,Z и, как правило, обозначающиеся i, j, k. Вне зависимости от комбинации перемещений результирующий вектор a не изменится: a= a1+a2+a3.

8.Преобразование на плоскости. Перенос. Поворот. Масштабирование.

Перенос

Точки на плоскости XOY можно перенести в новые позиции путем добавления к координатам этих точек констант переноса. Для каждой точки P(X,Y), которая перемещается параллельно оси X на Dx и параллельно Y на Dy, можно записать уравнения

X'= X + Dx; Y'= Y + Dy, Dx=4, Dy=5. Уравнение можно переписать в векторной форме: [X', Y']=[X, Y]+[Dx, Dy]

Поворот

Положительными считаются углы, измеренные против часовой стрелки. В случае отрицательных углов можно воспользоваться тождеством для модификации уравнений:

Масштабирование

Объекты можно промасштабировать, т.е. растянуть в к раз вдоль оси X и к вдоль оси Y, получив в результате новые точки, где Kx, Ky - коэффициенты масштабирования вдоль осей.

Различают однородные (Kx = Ky), и неоднородные: (Kx! =Ky) масштабирования. Преобразование

9.Однородные координаты и композиция матричных преобразований. Вращение вокруг произвольного центра.

Однородные координаты и композиция матричных преобразований

В однородных координатах точка P(X,Y) записывается как P(w*X,w*Y,w), для любого масштабного множителя w!= 0, при этом, если для точки задано представление в однородных координатах P(X,Y,w), то можно найти ее двумерные декартовы координаты как X=X/w; Y=Y/w

Точки теперь описываются тремя элементарными вектор-строками. Поэтому матрицы преобразований, на которые умножаются вектор точки, должны иметь размерность3х3.

Уравнение переноса будет иметь вид:

Уравнение масштабирования:

Уравнение поворота:

 

Вращение вокруг произвольного центра.

Осуществляется поворот вокруг точки с координатами X = m, Y = n на угол α против часовой стрелки.

 

Преобразования выполняется как последовательность трех преобразований:

1. Сдвиг центра вращения в начало координат.

2. Поворот на угол α вокруг начала координат.

3. Сдвиг центра вращения в исходное положение.

Симметрия относительно оси проходящей через начало координат. Симметрия относительно оси, не проходящей через начало координат.

Симметрия относительно оси проходящей через начало координат.

Если ось симметрии наклонена к оси ОX под углом альфа, θ(тетта)=2алфа

Согласно этому симметрия относительно осей ОX и ОY осуществляется матрицей

Симметрия относительно осей Y = X осуществляется матрицей