Лабораторная работа 6. Проверка гипотез согласия

Критерий Колмогорова

Этот критерий применяется для проверки простой гипотезы Н ₀ о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины Х ₁, Х ₂, …, Х_п имеют заданную непрерывную функцию распределения F (x):

Найдем функцию эмпирического распределения F_n (x) и будем искать границы двусторонней критической области, определяемой условием

                            .                                         

А.Н. Колмогоров доказал, что в случае справедливости гипотезы Н ₀ распределение статистики D_n не зависит от функции F (x), и при  

                                 

где    

-

- показатель критерия Колмогорова, значения которого можно найти в соответствующих таблицах.

Критическое значение критерия λ _n (α) вычисляется по заданному уровню значимости α как корень уравнения .

Можно показать, что приближенное значение вычисляется по формуле

                            ,

где z – корень уравнения

На практике для вычисления значения статистики D_n используется то, что

, где

а  - вариационный ряд, построенный по выборке Х ₁, Х ₂, …, Х_п.

Можно дать следующее геометрическое истолкование критерия Колмогорова: если изобразить на плоскости О ху графики функций F_n (x), F_n (x) ±λ _n (α) (рис. 1), то гипотеза Н ₀ верна, если график функции F (x) не выходит за пределы области, лежащей между графиками функций F_n (x) -λ _n (α) и F_n (x) +λ _n (α).

 

Приближенный метод проверки нормальности распределения,

                связанный с оценками коэффициентов асимметрии и эксцесса

 

Определим по аналогии с соответствующими понятиями для теоретического распределения асимметрию и эксцессэмпирического распределения.

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

,

где т ₃ – центральный эмпирический момент третьего порядка.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

,

где т ₄ – центральный эмпирический момент четвертого порядка.

  Как известно, для нормально распределенной случайной величины асимметрия и эксцесс равны 0: . Поэтому, если соответствующие эмпирические величины достаточно малы, можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Задачи

1. Сформировать выборку из распределения N (a, s ²) с параметрами a =1; s =0.5; n =100 и проверить по ней гипотезу согласия H0: F_n ^*(x)=Ф(x, a, s ²) на уровне 1- alp, alp =0.05. Дать графическую иллюстрацию. Критическую зону (она даётся функцией Колмогорова) оценить по методу Монте-Карло.
2. Смоделировать выборку из нормального закона N (0,1) объёма n =100 и представить её основные вероятностные характеристики включая статистики критериев согласия.

Пример выполнения работы

Лабораторная работа 6_1

clear; clc; n =100; a =1; s =0.5; E = randn (n,1); X = a + s * E; %Гипотеза нормальности XX=sort(X); F=linspace(0,1,n); plot(XX,F', 'LineWidth',3); grid; Y=normcdf(XX,a,s); hold on; plot(XX,Y, 'r', 'LineWidth',4); T=sqrt(n)*max(abs(F-Y')); T % Метод Монте - Карло N=1000; Z=rand(n,N); for k=1:N; z=sort(Z(:,k)); TT(k)=sqrt(n)*max(abs(z-F')); end; TT=sort(TT); FF=linspace(0,1,N); figure; plot(TT,FF, 'LineWidth',4); grid;

 

Рис. 6.1. Эмпирическая функция распределения и гипотетическая функция Ф(x, a, s ²)

T =0.6828 – гипотеза принимается

Рис. 6.2. Функция распределения Колмогорова (метод Монте-Карло)

Лабораторная работа 6_2

%function [X,a,sigma]=Kolm_Smirn; %Параметры теоретического распределения a=0; sigma=1; %Моделирование N=100; X=a+sigma*randn(N,1); %---------------Обработка выборки----------------- X1=sort(X); a1=mean(X); s1=std(X); As=mean((X-a1).^3)/(s1^3); Ex=mean((X-a1).^4)/(s1^4); %Эмпирическая функция распределения Lb=a-3*sigma; Ub=a+3*sigma; x=linspace(Lb,Ub,N); y=linspace(0,1,N); % Статистика Смирнова dS=max(abs(X1(2:N)-y(1:N-1)')); %Статистика Колмогорова dK=sqrt(N)*dS;     %----------------Графический вывод---------------- subplot(2,2,1); plot(X, 'LineWidth',4); grid; title('Выборка'); xlabel('Номер измерения');   subplot(2,2,2); stairs(X1,y); hold on; plot(x,normcdf(x), 'r', 'LineWidth',4); grid; axis([-3 3 0 1]); title('Функции распределения'); xlabel('Вариационный ряд'); ylabel('Вероятность');   subplot(2,2,3); y1=normpdf(x); x1=linspace(-2,2,10); H=hist(X,x1); H=H/max(H)*max(y1); bar(x1,H); hold on; plot(x,y1, 'r', 'LineWidth',4); grid; axis([-3 3 0 max(y1)*1.1]); title('Гистограмма и плотность');   subplot(2,2,4); axis off; text(0,0.9, ' Среднее = ');  text(0.9,0.9,sprintf('%1.3f',a1)); text(0,0.75, ' Дисперсия = '); text(0.9,0.75,sprintf('%1.3f',s1^2)); text(0,0.6, ' Асимметрия = '); text(0.9,0.6,sprintf('%1.3f',As)); text(0,0.45, ' Эксцесс = ');  text(0.9,0.45,sprintf('%1.3f',Ex)); text(0,0.3, ' Статистика Смирнова = '); text(0.9,0.3,sprintf('%1.3f',dS)); text(0,0.15, ' Статистика Колмогорова = '); text(0.9,0.15,sprintf('%1.3f',dK));

 

Рис. 6.3. Характеристики выборки из нормального закона N (0,1)