Лабораторная работа 5. Проверка параметрических гипотез

  Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

  Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н ₀. Конкурирующей (альтернативной)  называют гипотезу Н ₁, которая противоречит нулевой.

Пример. Пусть Н ₀ заключается в том, что математическое ожидание генеральной совокупности а = 3. Тогда возможные варианты Н ₁: а) а ≠ 3; б) а > 3; в) а < 3.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Пример. Для показательного распределения гипотеза Н ₀: λ = 2 – простая, Н ₀: λ > 2 – сложная, состоящая из бесконечного числа простых (вида λ = с, где с – любое число, большее 2).

   В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы (такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математической статистики) возможны ошибки двух видов:

- ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза,

- ошибка второго рода, заключающаяся в том, что будет принята неверная гипотеза.

Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной.

 

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

    Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения.

 Статистическим критерием называется правило со случайным показателем К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы H₀.

  Критической областью называют область значений показателя критерия К, при которых нулевую гипотезу H₀ отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу H₀ принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов:

1. выбирается статистический критерий c показателем К с известным и табулированным законом распределения;

2. вычисляется наблюдаемое значение показателя К_набл по имеющейся выборке;

3.поскольку закон распределения показателя К известен, определяется (по известному уровню значимости α) критическое значение k_кр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если P(К > k_кр)=α, то справа от k_кр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы);

4. если вычисленное значение К_набл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза H₀ принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Различают разные виды критических областей:

- правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K> k_кр (k_кр > 0);

- левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K< k_кр (k_кр < 0);

- двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K< k ₁, K > k ₂   (k ₂ > k ₁).

  Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза.

  Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1–β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Задачи

1. Сформировать выборку из распределения N (a, s ²) с параметрами a =2.15; s =0.5; n =10 и проверить по ней гипотезу H0:a=2 на уровне 1- alp, alp =0.02. Дать графическую иллюстрацию.
2. Сформировать две независимых выборки из распределения N (a, s ²) с параметрами a 1=2; s 1=0.5; n 1=50 и a 2=2.2; s 2=0.7; n 2=60; проверить по ним гипотезу H0: a 1= a 2 на уровне 1- alp, alp =0.02. Дать графическую иллюстрацию.
3. Сформировать две независимых выборки из распределения N (a, s ²) с параметрами a 1=2; s 1=0.5; n 1=50 и a 2=2.2; s 2=0.7; n 2=60; проверить по ним гипотезу H0: s 1= s 2 на уровне 1- alp, alp =0.02. Дать графическую иллюстрацию.

Пример выполнения работы

Лабораторная работа 5_1

clear; clc; a=2; s=0.5; n=10; a 0= a +0.15; %нулевая гипотеза (неверна!) X=a+s*randn(1,n); %T=(mean(X)-a0)/s*sqrt(n); T=(mean(X)-a0)/std(X)*sqrt(n);   x=-3:0.01:3; y1=normcdf(x,0,1); y2=tcdf(x,n-1); plot(x,y1, 'LineWidth',2); grid; hold on; plot(x,y2, 'r', 'LineWidth',4); hold on;plot(T,0.01, 'gs', 'LineWidth',6);

 

Рис.5.1. Проверка гипотезы о среднем.

Односторонняя гипотеза отвергается с надежностью порядка 0.98

 

Лабораторная работа 5_2

clear; clc; a1=2; s1=0.5; n1=50; X=a1+s1*randn(1,n1); a2=2.2; s2=0.7; n2=60; Y=a2+s2*randn(1,n2); % Нулевая гипотеза H0:a1=a2 - неверна! %T=(mean(X)-mean(Y))/sqrt(s1^2/n1+s2^2/n2); T=(mean(X)-mean(Y))/sqrt(cov(X)/n1+cov(Y)/n2); x=-3:0.01:3; y1=normcdf(x,0,1); plot(x,y1, 'LineWidth',4); grid; hold on; plot(T,0.01, 'gs', 'LineWidth',6);

 

Рис.5.2. Проверка гипотезы о равенстве средних.

Двусторонняя гипотеза отвергается с надёжностью 0.98

 

Лабораторная работа 5.3

clear; clc; a1=2; s1=0.5; n1=50; X=a1+s1*randn(1,n1); a2=2.2; s2=0.7; n2=60; Y=a2+s2*randn(1,n2); T=(n1-1)*cov(X)/(n2-1)/cov(Y); x=0:0.01:3; y1=fcdf(x,n1-1,n2-1); plot(x,y1, 'LineWidth',4); grid; hold on; plot(T,0.01, 'rs', 'LineWidth',6);

 

Рис.5.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий.

Двусторонняя гипотеза отвергается с надёжностью 0.98