Практическая работа №11  проецирование точки на две плоскости проекций

Образование отрезка прямой линии АА1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости П1 (рис. 5.4, а)), а образование плоскости - как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 5.4, б)).

Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями — фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций П2 и горизонтальной плоскостью проекций П1, поместим точку А (рис. 5.4, а)).

Линия пересечения плоскостей проекций' П2 и П1 — прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость П2 здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость П1 — в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины. Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости П2 и П1. Тогда точка пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций П2и П1 являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Аааха' в пространстве — прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскости П1 с плоскостью П2, вращая П2 вокруг линии пересечения плоскостей х.

Рис. 5.4

В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 84, б)).

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций П2 и П1 не указывают (рис. 5.5, б)).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки A1 и A2 - называются проекциями точки А: A2 - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Линия а'а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве. Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 5.6, а)), то ее горизонтальная проекция А1 совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция А2 располагается на оси х. При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций П2 ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 5.6, б).

 

Рис. 5.5

Рис. 5.6

 

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций П3, перпендикулярная плоскостям П2 и П1. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 5.7, а).

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются х, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций П3 и, отметив основание перпендикуляра буквой A3, получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости П1 и П3 совмещают с плоскостью П2, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 5.7, б) и в).

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: хА, уА и zA.

Например, координата zA точки А, равная отрезку A2Aх (рис. 5.8, а) и б)), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций П1. Координата у точки А, равная отрезку аах, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций П2. Координата хА, равная отрезку аау, - расстояние от точки А до профильной плоскости проекций П3.

 

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки всегда можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, хА = 20 мм, уА = 22 мм и zA = 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату zA и вниз координату уА. Из концов отложенных отрезков — точек az и аy (рис. 5.8, а)) — проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате хА. Полученные точки A2 и A1 — фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям A2 и A1 точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оаy, равным координате уА (рис. 5.7, б) и в)), из полученной точки а х проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный zA;

2) из точки ау проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 5.8, а)), получают точку ay1 и т.д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 5.8, б)), получают точку ay1 и т.д.

ЗАДАНИЯ

 

1. ГІо заданным координатам точек А (* = 1 0, У = 15, Z = 2 5), В (* = 20,

У = 2 5, 2 = 1 0), С (* = 30, У = 1 0, Z = 0), D (* = 4 0, У = 0, Z = 30) построить

их горизонтальную и фронтальную проекции.

2. Определить координаты точек А, В и С в миллиметрах, записать в т а б лицу

(рис. 27).

3. Построить третьи проекции точек А, В и С (рис. 28).

4. Построить косоугольную диметрию (кабинетную проекцию) точек А,

В, С и D, координаты которых у к а з а ны в задаче 1.

5. Построить косоугольную диметрию точек Л, Б и С из задачи 2.

6. Построить косоугольную диметрию точек А, В и С из задачи 3.

Практическое занятие № 12 Построение проекций прямых.

Методические указания: ГОСТ – 2.303 – 68.

Успешное усвоение основных положений теории начертательной гео-метрии и развитие необходимого для будущего инженера пространственного представления немыслимы без приобретения умений и навыков в решении задач на чертеже. При этом необходимо отрабатывать те графические приемы, которые многократно используются при решении различных типов задач (например, построение третьей проекции точки по двум данным, построение недостающей проекции точки, принадлежащей прямой линии, плоскости и поверхности, построение прямой уровня в плоскости и др.). Особое внимание следует уделять качеству графических построений, точности и аккуратности в проведении всех линий, в выполнении всех необходимых обозначений. При возникновении трудностей в понимании материала полезно прибегать к моделированию изучаемых графических фигур. Только систематическое и последовательное изучение всех разделов курса в сочетании с многократным решением типовых задач может служить основой приобретения прочных знаний.

 Знание построения проекций точек дает возможность освоить построение проекций отрезка прямой линии. Форму любого геометрического объекта определяет совокупность точек, связанный между собой отрезками прямой линии. В теории начертательной геометрии отрезок рассматривается как элемент сложных конструкций. В зависимости от положения прямой относительно плоскостей проекций различают прямые общего положения и прямые частного положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекции, называется прямой общего положения. Она проецируется с искажением ее размера.

Прямого уровня – прямые, параллельные одной из плоскостей проекции, на которую они проецируются в натуральную величину.

Учимся строить проекцию прямой:

1.Отрезок прямой линии определяется двумя конечными точками, соединенными прямой. Поэтому для построения проекций отрезка прямой АВ необходимо спроецировать на плоскости проекций конечные точки А и В.

 

6.1. Далее необходимо опустить из двух точек (А и В), которые принадлежат заданной прямой, перпендикуляры на плоскости H, V, W.

6.2. Перпендикуляры пересекают плоскости в некоторых точках: H – a’ и b’; V – a и b; W – a” и b”; Отметим их и соединим отрезком. Это и будет прямоугольной проекцией данной линии на плоскость.

4. Плоскости проекций H и W поворачивают до совмещения с плоскостью V и получают комплексный чертеж отрезка прямой линии АВ.

 

Рассмотрим различные случаи расположения отрезков прямой линии относительно плоскостей проекций H, V, W.

1. Прямая перпендикулярна плоскости V, называется фронтально- проецирующей прямой.

Комплексный чертеж.

Как видно, горизонтальная проекция ab перпендикулярна оси x и по длине равна отрезку АВ, а фронтальная проекция a’d’ является точкой.

2. Прямая перпендикулярная плоскости Н называется горизонтально-проецирующей прямой.

Из комплексного чертежа отрезка ВС видно, что фронтальная проекция b’c’ перпендикулярна оси x и по длине равна отрезку ВС, а горизонтальная проекция bc является точкой.

3. Прямая, перпендикулярная плоскости W, называется профильно-проецирующей прямой.

На комплексном чертеже обе проекции отрезка АВ – фронтальная и горизонтальная – параллельны оси х и по длине равны отрезку АВ. Профильная проекция a”b” отрезка АВ – точка.

4. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой.

На комплексном чертеже горизонтали АВ видно, что фронтальная a’b’ и профильная a”b” параллельны соответственно осям проекций Ox и Oy’. Горизонтальная проекция ab горизонтали АВ расположена под углом к оси Ox и равна длине отрезка АВ.

 

 

5. Прямая, параллельная плоскости V, называется фронтальной прямой.

Горизонтальная проекция ab фронтали АВ параллельна оси Ox. Фронтальная проекция a’b’ фронтали наклонена к оси Ox и равна действительной длине отрезка АВ. Профильная проекция a”b” фронтали АВ параллельна оси Оz.

6. Прямая, не параллельная ни одной из трех плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Для того, чтобы найти фронтальный след прямой АВ необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию ab до пересечения с осью х в точке v, а затем из точки х и найти точку v’ пересечения этого перпендикуляра с продолжением фронтальной проекции отрезка.

Тогда v’ искомый фронтальный след прямой АВ.

Точка h’ – фронтальная проекция горизонтального следа.