Выражение безопасности и риска через показатели надежности

 

Применительно к опасным объектам целесообразно рассматривать безопасность как надежность по отношению к здоровью и жизни людей, состоянию окружающей среды. Во-первых, при определенных условиях эти понятия тесно связаны (например, когда нарушение работоспособного состояния может привести к аварийным или катастрофическим последствиям). Во-вторых, такой подход позволяет использовать количественные показатели безопасности, аналогичные в математическом отношении показателям в теории надежности, методы которой разработаны достаточно полно и широко используются на практике.

К параметрам, характеризующим способность выполнять требуе­мые функции, относят геометрические, кинематические и динамиче­ские параметры, показатели конструкционной прочности, показатели точности функционирования, скорости и т. п. С течением времени значения этих параметров могут изменяться, характеризуя то или иное состояние объекта.

К показателям надежности и безопасности относят количественные характеристики надежности, которые вводят и определяют согласно правилам статистической теории надежности, теории вероятностей и математической статистики.

Рассматривая отказ как случайное событие, удобной мерой надежности технических объектов следует признать вероятность безотказной работы системы (и соответственно мерой безопасности – вероятность безаварийной работы):

 

                                               (3.7)

 

где t – наработка объекта;

τ – наработка от начального времени до наступления первого отказа.

В технической литературе функцию P(t) называют функцией надежности.

Аналогично можно определить вероятность работы без возникновения ущерба:

 

                                               (3.8)

 

рассматривая возникновение ущерба как отказ из-за перехода объекта в предельное состояние, а наработку (или время) от начального момента до достижения предельного состояния как ресурс Т (или срок службы). Функцию S(t) в этом случае называют (по аналогии с функцией надежности) функцией безопасности.

В более общем случае, когда состояние объекта характеризуется на­бором параметров (например, вектором u(t) с допустимой по условиям безопасности областью значений этих параметров Ω (рисунок 3.5), функция безопасности S(t) определяется вероятностью случайного собы­тия, состоящего в том, что на отрезке времени [0; t] ни разу не возникнет ситуация возникновения ущерба (т.е. параметры u(t) не выйдут за пределы допускаемой области Ω, ограниченной поверхностью Ω_s):

 

                                   (3.9)

 

Рисунок 3.5 – Графическое представление функции безопасности

 

Функция безопасности S(t) связана с функцией распределения H(t) и плотностью распределения h(t) случайной величины Т соотношениями:

 

                             (3.10)

 

Дополнение функции безопасности S(t) до единицы (т.е. функция распределения случайной величины Т в теории вероятностей)

 

                                       (3.11)

 

в теории безопасности и риска называется функцией риска или техни­ческим риском.

Эту функцию особенно удобно использовать применительно к отказам или совокупностям отказов, последствия которых представляют опасность для людей, окружающей среды, а также связаны с материальным и/или моральным ущербом.

Статистическую оценку  для плотности распределения h(t) случайной величины Т принимают в виде

 

,                               (3.12)

 

где N – число объектов, работоспособных в начальный момент времени;

n(t + /2) – число объектов, переходящих в предельные состояния на отрезке от 0 до t + /2;

n(t – /2) – число объектов, переходящих в предельные состояния на отрезке от 0 до t – /2.

Время t при оценке риска обычно исчисляют в годах, поэтому вели­чина  имеет смысл годовой относительной частоты аварий ν(t).

Из формулы (3.12) следует соотношение для приближенной оценки технического риска.

Показатель гамма процентный ресурс (гамма процентный срок службы) определяют как корни уравнения

 

H(t) = 1 - /100,                                  (3.13)

 

где  – задаваемые значения вероятности безаварийной работы, %.

Как видно из формулы (3.13), гамма процентные показатели равны квантилям соответствующих распределений. Задаваемые значения  для критических отказов должны быть весьма близки к 100%, чтобы сделать критические отказы практически невозможными событиями. Статистические оценки для гамма-процентных показате­лей могут быть получены на основе статистических оценок либо непо­средственно, либо после аппроксимации эмпирических функций под­ходящими аналитическими распределениями. Необходимо иметь в виду, что экстраполирование эмпирических результатов за пределы продолжительности испытаний (наблюдений) может привести к зна­чительным ошибкам. Привлечение дополнительной информации о физической природе аварийных ситуаций для их моделирования поз­воляет разрешать указанные проблемы.

Показатели средний ресурс, средний срок службы равны математиче­ским ожиданиям соответствующих случайных величин (ресурса, сро­ка службы).

С учетом формул (3.10) средний ресурс Т_с вычисляют по формуле

 

                         (3.14)

 

Интенсивность технического риска (t) (аналог интенсивности от­казов в теории надежности) определяют по формуле:

 

                            (3.15)

 

Отсюда, после преобразований, вероятность безаварийной работы на отрезке времени от начала эксплуатации до некоторого момента t определится по формуле

                                      (3.16)

 

Интенсивность технического риска (t) является важной характе­ристикой в теории безопасности, так как она определяет вероятность того, что после безотказной работы до момента времени t авария про­изойдет в последующем отрезке времени Δt. Этот показатель и его приближенные статистические оценки широко используются при анализе безопасности и риска объектов в процессе эксплуатации.

Статистическую оценку для интенсивности технического риска принимают в виде

 

                                (3.17)

 

Так как время t при оценке риска обычно исчисляют в годах, то ве­личина (t) имеет смысл годового технического риска и фактически имеет значение условного индивидуального риска за год. При эквива­лентности событий аварии и летального исхода индивидуума в резуль­тате аварии интенсивность технического риска приобретает значение индивидуального риска за год. Таким образом, в случае редких собы­тий условный индивидуальный риск (годовой) приближенно равен го­довой относительной частоте аварий.

Если интенсивность риска (t) = const, т.е. постоянна во времени, то из формулы (3.16) для выражения функции безопасности при S(0) = 1 вытекает экспоненциаль­ный закон безопасности:

 

S(t) = exp(- t),                                             (3.18)

 

причем  = 1/Т_с, где Т_с – математическое ожидание ресурса (средний ресурс).

 

 

ТЕМА 4. ОЦЕНКА РИСКА