Числовые характеристики законов распределения

 

В практике эксплуатации машин часто встречаются явления и процессы, представляющие собой случайные события, случайные величины и случайные функции (случайные процессы). Для получения обоснованных и оптимальных управленческих решений необходимо знать их законы распределения и их числовые характеристики.

Между частными значениями случайной величины и вероятностями их появления существует определенная зависимость, которая называется законом распределения данной случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для характеристики закона распределения случайной величины используются интегральные и дифференциальные функции.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины и может задаваться в виде таблицы, графика или формулы, например, в виде плотности распределения.

Например:

1) Нормальное распределение. Плотность распределения (частота отказов) при нормальном законе определяется по формуле:

 

,                          (1.6)

 

где х – значение случайной величины Х;

     - среднее значение случайной величины Х;

    σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

2) Экспоненциальное распределение. Плотность распределения (частота отказов) при экспоненциальном законе определяется по формуле:

 

,                                               (1.7)

 

где λ – интенсивность случайной величины Х.

3) Распределение Вейбулла. Плотность распределения (частота отказов) при распределении Вейбулла определяется по формуле:

 

                             (1.8)

 

где λ – параметр масштаба;

α – параметр формы.

Законы распределения случайных величин описываются с помощью числовых характеристик.

К основным числовым характеристикам можно отнести:

1) среднеарифметическое значение;

2) математическое ожидание;

3) размах;

4) дисперcию;

5) среднеквадратическое отклонение (СКО);

6) коэффициент вариации.

Среднеарифметическое значение случайной величины Х – отношение суммы всех значений величины на общее число значений:

 

                                            (1.9)

 

Математическим ожиданием М(Х) случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

 

                   (1.10)

 

При достаточном количестве измерений (испытаний) выполняется условие:

 

                               (1.11)

 

Размах R случайной величины X – разность между наибольшим и наименьшим значениями величины:

 

R = x_max – x_min.                                    (1.12)

Дисперсией (рассеянием) D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

 

.                                  (1.13)

 

Т.е. с учетом (1.10) получаем:

 

   (1.14)

или

 

                                       (1.15)

 

СКО случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии:

 

                                              (1.16)

 

Коэффициент вариации V случайной величины X – отношение СКО к среднему значению:

 

V = σ / .                                             (1.17)