Предельные характеристики приема двоичных радиосигналов

При различении детерминированных сигналов (в детерминированном сигнале  значение параметра l априорно точно известно и равно l₀, т.е. ) достигаются предельные (потенциальные) возможности (верхние границы) для характеристик различения.

В задаче различения используется критерий идеального наблюдателя, минимизирующий вероятность полной ошибки. Минимум вероятности полной ошибки достигается при принятии решения по максимуму апостериорной вероятности.

Вычислим полную вероятность ошибочного приема для случая, когда сигналы равновероятны и имеют одинаковую энергию.

Рис. 2.10. Оптимальные схемы для различения двух детерминированных сигналов с использованием: (а) согласованных фильтров; (б) корреляторов

 

Пусть присутствует первый сигнал, т. е. . Тогда сл. в.

описывается нормальной п. в.  со следующими характеристиками:

,

где

условно называют коэффициентом взаимной корреляции между сигналами.

Если присутствует сигнал , то сл. в. q = q₂ имеет нормальную п.в.  с характеристиками

.

П.в. изображены на рис. 2.11.

 

 

Вероятность полной ошибки определяется формулой

Значение порога h можно найти из условия минимума вероятности полной ошибки, т.е. из уравнения . Для априорно равновероятных сигналов это уравнение сводится к , что выполняется при h=0. Выполнив вычисления, получим

,

где Ф(х) — интеграл вероятности.

Следовательно, при известном отношении сигнал-шум 2E/N₀ вычисление вероятности полной ошибки для детерминированных равновероятных сигналов с одинаковыми энергиями сводится к определению коэффициента взаимной корреляции между сигналами. Так как интеграл вероятности Ф(х) является монотонно возрастающей функцией аргумента, то при одинаковом отношении сигнал-шум наибольшей помехоустойчивостью (меньшей вероятностью ошибки р_е) обладают сигналы, для которых коэффициент взаимной корреляции минимален.

Коэффициент взаимной корреляции r_s может изменяться от –1 (при s₁= –s₂) до +1 (при s₁=s₂). Ясно, что одинаковые сигналы (r_s=1) невозможно различить и поэтому p_e=1-Ф(0)=0,5. Наоборот, если сигналы одинаковы по форме и противоположны по знаку (r_s = –1), то их различить легче, чем любые другие два сигнала (например, ортогональные с r_s=0). Сказанное иллюстрирует рис. 2.12.

Рис. 2.12. Зависимость вероятности полной ошибки p_e от коэффициента взаимной корреляции r_s между детерминированными сигналами.

 

Кривые, характеризующие зависимость вероятности полной ошибки p_e от отношения сигнал-шум при оптимальных методах приема детерминированных сигналов, в теории цифровых РСПИ принято называть кривыми потенциальной помехоустойчивости или предельными характеристиками приёма. Получим их для простейших двоичных радиосигналов с основными видами манипуляции.

Фазовая манипуляция (ФМ). При фазовой манипуляции используются сигналы

.

Для таких сигналов r_s = –1, поэтому получаем

.

Частотная манипуляция (ЧМ). При ЧМ используются сигналы

.

В данном случае при  имеем

.

Этот коэффициент минимален и равен  при . Однако на практике обычно выполняется неравенство . Поэтому  (применяются ортогональные ЧМ сигналы) и тогда получим

.

Амплитудная манипуляция (АМ). При АМ

.

В данном случае условие равенства энергий сигналов не выполняется, поэтому его следует рассмотреть отдельно.

Система с АМ представляет собой систему с пассивной паузой. Приём сигналов в системах передачи информации с пассивной паузой обычно рассматривают в рамках задачи обнаружения с использованием критерия идеального наблюдателя. Выше был получен оптимальный алгоритм обнаружения

.

В отсутствие сигнала  и сл.в.

есть результат линейного преобразования БГШ. Поэтому она при детерминированном сигнале  будет иметь нормальную п.в. с м.о. и дисперсией

.

При наличии детерминированного сигнала  и сл.в.

будет иметь также нормальную п.в. с параметрами

.

Плотности вероятности p₀(q) и p₁(q) изображены на рис. 2.13.

Значение порога h также, как для ФМ и ЧМ, находим из условия минимума вероятности полной ошибки, т.е. из уравнения . Для априорно равновероятных сигналов это уравнение сводится к , что выполняется при h= . Отсюда получаем

.

 

Рис. 2.13. Нормальные плотности вероятности p₀(q) и p₁(q) в отсутствие и при наличии сигнала (p_F – вероятность ложной тревоги, p_D – вероятность правильного обнаружения)

 

Графики полученных трёх зависимостей приведены на рис. 2.14.

 

Рис. 2.14. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал-шум для детерминированных радиосигналов при ФМ, ЧМ и АМ.

 

Сравнивая представленные графики для ФМ, ЧМ и АМ, видим, что при одной и той же энергии элементарных сигналов (а не средней энергии) из трех рассмотренных видов манипуляции наибольшей помехоустойчивостью обладает фазовая манипуляция и наименьшей — амплитудная.

 

Выводы по оптимальному приёму двоичных сигналов в системах передачи дискретных сообщений:

1. В общем случае оптимальный приёмник двоичных радиосигналов представляет собой двухканальную систему. В каждом из каналов размещается коррелятор или фильтр, согласованный с одним из двух возможных сигналов.

2. Предположение о детерминированности сигналов (все параметры сигналов априорно известны, неизвестно только то, какой из двух возможных сигналов был передан) позволяет получить предельные (потенциальные) характеристики приёма. Наивысшей потенциальной помехоустойчивостью среди двоичных радиосигналов обладают сигналы с манипуляцией фазы на 180 градусов (противоположные ФМ сигналы).