Согласованные и оптимальные линейные фильтры

Пусть на вход линейного фильтра с импульсной характеристикой h(t) или комплексной частотной характеристикой K(jw) воздействует сумма детерминированного сигнала s(t) конечной длительности t_и и стационарной помехи (шума) z(t) с известной спектральной плотностью S_z(ω):

,    

где Т – интервал наблюдения. Нужно найти такой линейный фильтр, для которого отношение наибольшего пика сигнала к среднеквадратическому значению шума на выходе фильтра достигает наибольшего значения. Назовем для краткости это отношение пиковым отношением сигнал-шум. Линейный фильтр, максимизирующий пиковое отношение сигнал-шум, принято называть согласованным. Такой фильтр ещё называют оптимальным по критерию максимума отношения сигнал-шум линейным фильтром.

Обозначим полезный сигнал на выходе фильтра через  и помеху - через . Известно, что если на вход линейной системы с комплексной частотной характеристикой K(jw) воздействует сигнал s(t), имеющий комплексный спектр

,

то комплексный спектр сигнала на выходе системы определяется произведением K(jw)S(jw), а сам выходной сигнал – выражением

.

Спектральная плотность помехи на выходе фильтра равна S_z(w)|K(jw)|², а дисперсия

.  

На основании последних двух соотношений получаем выражение для отношения сигнал-помеха по мощности на выходе фильтра в некоторый момент времени t₀:

.  

Задачу максимизации величины q² можно решать в двух, несколько отличных постановках:

1) отыскивается линейный фильтр (т.е. функция K(jw)), который обеспечивает получение наибольшего возможного в условиях задачи пикового отношения сигнал-шум. Фильтр, максимизирующий пиковое отношение сигнал-шум, принято называть согласованным;

2) вид линейного фильтра задан и максимизация пикового отношения сигнал-шум достигается лишь подбором отдельных параметров фильтра (параметрическая оптимизация). Назовем такой фильтр квазисогласованным.

Приведём решение первого варианта задачи.

Получим такую функцию K(jw), при которой отношение q² в некоторый момент времени t₀ достигает максимума. Эта задача может быть решена методом вариационного исчисления или же на базе известного неравенства Шварца-Буняковского. Воспользуемся этим неравенством, записав его в следующем виде

,

где f^*(x) –функция, комплексно - сопряжённая f(x). Здесь знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда g(w) = c f (w), с=const.       

Полагая

,

имеем

.    

Отсюда следует, что максимально возможное значение отношения сигнал-помеха определяется правой частью этого соотношения, т.е.

.  

Согласно g(w)=cf(w), с=const это значение достигается лишь при выполнении условия

или

,

где с – некоторая постоянная, t₀ – момент времени, соответствующий наибольшему отношению пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи. Поскольку дисперсия выходного шума не зависит от времени, то t₀ следует полагать равным моменту времени, соответствующему концу импульсного сигнала s(t) или же длительности интервала наблюдения Т. Зная комплексную частотную характеристику согласованного фильтра, по известной формуле можно найти импульсную характеристику.

Будем рассматривать частный вид согласованного фильтра для случая, когда помехой z(t) является БГШ n(t) со спектральной плотностью S_z(w) = S_n(w) = /2 = const. Часто только в данном частном случае говорят о согласованном фильтре, считая согласованным оптимальный по критерию максимума отношения сигнал-шум линейный фильтр, когда помехой является БГШ n(t). В этом частном, но очень важном, случае максимально возможное значение отношения сигнал-помеха по мощности на выходе фильтра

,

т.е. такое же, как на выходе коррелятора.     

Комплексная частотная характеристика фильтра

,

где c – некоторая постоянная, характеризующая усиление фильтра, Е – энергия сигнала

,

 - комплексный спектр сигнала,  - момент отсчёта с выхода согласованного фильтра.

Импульсная характеристика согласованного фильтра находится по формуле

.

Учитывая выражение для входного сигнала

,

получим

h₀(t) = c s(t₀–t).

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом).

Полный сигнал на выходе согласованного фильтра определяется интегралом свёртки

,

а его величина в момент времени t =t₀= t_и, соответствующий концу полезного импульса s(t), равна корреляционному интегралу

.

Видно, что слабые значения полезного импульсного сигнала s(t), содержащегося в x(t), дополнительно ослабляются весовым множителем s(u) и, наоборот, большие значения полезного сигнала усиливаются этим множителем.

Если входной шум белый, то полезный сигнал  и шум  на выходе согласованного фильтра определяются выражениями

,

.

Укажем два основных свойства таких согласованных фильтров.

1. Среди всех линейных фильтров согласованный фильтр позволяет получить на выходе максимально возможное отношение пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума, равное , причем это значение не зависит от формы сигнала.

2. Полезный сигнал  на выходе согласованного фильтра совпадает с «корреляционной функцией» входного полезного сигнала, и корреляционная функция выходного шума

имеет вид «корреляционной функции» входного полезного сигнала.