Апостериорные вероятность и плотность вероятности параметра радиосигнала

В соответствии со сформулированным выше байесовским подходом к проектированию оптимальных РСПИ для решения задач оптимального приёма радиосигналов необходимо вычислять апостериорную вероятность или плотность вероятности параметра радиосигнала. Наиболее общей задачей оптимального радиоприёма является задача фильтрации.

В достаточно общем виде задачу фильтрации можно сформулировать так. Пусть непосредственному наблюдению на текущем интервале времени [0,T] доступны реализации сл.пр. , являющиеся детерминированной функцией от полезного сигнала  и помехи n(t):

.

Полезный сигнал  является функцией времени t и сообщения , представляющего собой непрерывный сл.пр.

Предположим пока, что известны следующие априорные сведения относительно наблюдаемого процесса :

1) известен конкретный вид детерминированной функции F(•), т.е. способ комбинирования сигнала и помехи;

2) сигнал  является известной детерминированной функцией аргументов t и λ;

3) известны все необходимые вероятностные характеристики сл.пр.  и помехи n(t). Априорные сведения о  и n(t) могут задаваться в разной форме: или в виде необходимых п.в. или в виде дифференциальных уравнений с заданными начальными (детерминированными или случайными) и граничными условиями.

Располагая этими априорными сведениями, а также доступной непосредственному наблюдению реализацией процесса  на текущем интервале времени [0,T], необходимо для каждого t сформировать апостериорную вероятность дискретного или апостериорную п.в.  непрерывного сообщения , позволяющую получить его текущую оценку  по любому критерию.

Вначале рассмотрим уравнения (алгоритм) фильтрации в дискретном времени: , где .

Исходной для получения уравнения фильтрации является формула Байеса. Запишем один из вариантов этой формулы применительно к уравнениям наблюдения

,       

и динамики сообщения

  

где - ДБГШ - дискретный белый (значения в различные моменты времени независимы) гауссовский (значения распределены по нормальному закону) шум наблюдения (помеха) с нулевым м.о. и дисперсией, равной , где  – спектральная плотность мощности соответствующего непрерывного БГШ n(t);  - формирующий (информационный) ДБГШ.

     Уравнение динамики сообщения в дискретном времени является аналогом уравнения

,

являющегося математической моделью передаваемого сообщения λ(t) в непрерывном времени (см. 1.2.1. Статистические модели и характеристики непрерывных сообщений).

Допустим, что апостериорная плотность вероятности (АПВ)  для момента времени  найдена. Необходимо найти плотность  для следующего момента времени .

Зная АПВ, можно найти оценку, оптимальную по любому критерию. Например, вычисленное по формуле

         (1)

апостериорное м.о. определит алгоритм формирования оценки , оптимальной по критерию минимума среднего квадрата ошибки, а апостериорная дисперсия , являющаяся минимальным значением апостериорного риска,

          (2)

- точность полученной оценки.

На основании правила умножения вероятностей для условной ПВ  можно записать выражение

       

Поскольку в уравнении наблюдения полезный сигнал  является детерминированной функцией аргументов, а - последовательность независимых случайных величин, то величина  при фиксированном  зависит только от  и не зависит от предыдущих значений ДБГШ. Поэтому

             

Учитывая, что совокупность случайных величин , можно записать

     

В результате получаем

      

Значения процесса λ в ПВ  не входят, и поэтому сомножитель 1/  можно учесть в АПВ с помощью нормировочной константы С:

(3)

Уравнение (3) является основным уравнением фильтрации в дискретном времени. Его можно рассматривать как вариант формулы Байеса.

Вспомним, что формула Байеса определяет АПВ через произведение трёх сомножителей: 1 – нормировочная константа, 2 – априорная ПВ, 3 – функция правдоподобия.

В полученном варианте формулы Байеса второй сомножитель представляет собой условную ПВ  экстраполированного (прогнозируемого) значения  в отсутствие отсчета , его вычисляют по формуле

  (4).

Эта формула получается на основании условия согласованности плотностей вероятности и правила умножения вероятностей

где  вследствие того, что при известном значении  значение  не добавляет сведений о .

В правой части выражения (4) АПВ  предполагается известной, а условная ПВ  может быть найдена из уравнения динамики сообщения.

Третий сомножитель в полученном варианте (3) формулы Байеса - условная ПВ  - представляет собой текущее значение функции правдоподобия и находится из уравнения наблюдения. Для этого в нормальной ПВ  нужно перейти к новой переменной .

Формулы (3), (4) при известном начальном распределении  позволяют рекуррентно вычислять АПВ фильтруемого параметра и совместно с формулой (1) для оценки  дают оптимальный алгоритм, полностью решающий задачу фильтрации в дискретном времени. Точность фильтрации характеризуется значением апостериорной дисперсии (2).

Получим алгоритм фильтрации для случая, когда уравнения наблюдения и динамики заданы в непрерывном времени:

         

          

Такое уравнение является обобщением уравнения

Случайные процессы , заданные подобными уравнениями, относятся к классу так называемых диффузионных марковских процессов. Априорная динамика плотности вероятности такого процесса определяется дифференциальным уравнением в частных производных Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), которое имеет вид

где  - оператор ФПК.

Оператор ФПК имеет следующий вид

.       

Коэффициенты  и , называются коэффициентами сноса и диффузии (по традиции, связанной с применением уравнения ФПК первоначально для изучения поведения броуновских частиц) и определяются из соотношений:

,             

.           

Коэффициент сноса  характеризует среднее значение локальной скорости изменения процесса, а коэффициент диффузии  - локальную скорость изменения дисперсии приращения случайного процесса.

    Рассмотрим гауссовско-марковский экспоненциально-коррелированный сл.пр. , заданный линейным стохастическим дифференциальным уравнением

,

где  - постоянный коэффициент,  - БГШ со спектральной плотностью . Такой процесс формируется на выходе интегрирующей RC-цепочки при подаче на вход БГШ.

Формальное решение уравнения имеет вид

.

Сл.пр. , получающийся линейным преобразованием БГШ, является гауссовским с п.в.

,

где м.о.  и дисперсия  даются формулами

.

Коэффициенты сноса и диффузии:

.

Уравнение ФПК:

.

Фундаментальное решение этого уравнения при детерминированном начальном условии  дается приведённой выше условной п.в. .

Характер изменения п.в. перехода  показан на рис. 2.6.

 

 

Рис. 2.6. Изменение плотности вероятности перехода во времени

 

Начальная дельтообразная п.в.  с течением времени систематически смещается влево из-за ненулевого коэффициента сноса и расплывается все шире и шире из-за коэффициента диффузии, приближаясь к стационарной п.в.

.

В случае непрерывного времени уравнение для апостериорной плотности вероятности удобно получить из полученного выше уравнения фильтрации в дискретном времени путем предельного перехода.

Перепишем уравнение (3) иначе, введя явную зависимость от времени

,

где .

Распишем два сомножителя, входящих в правую часть этого уравнения. При этом применительно к уравнениям наблюдения и динамики сообщения будем использовать процедуру дискретизации

.

Так как  есть гауссовская случайная величина с нулевым м.о. и дисперсией , то на основании уравнения наблюдения, записанного в дискретном варианте, ПВ  является нормальной N{}:

      

где , т.к.  не зависит от  и может быть включён в нормировочную константу .

С использованием оператора ФПК и функции  уравнение фильтрации в непрерывном времени после предельного перехода записывается в виде

,  

где АПВ  обозначена через ,

,

,

 - апостериорное м.о. функции .

Представленное стохастическое интегродифференциальное уравнение фильтрации в непрерывном времени называется уравнением Стратоновича. В качестве начального условия для его решения берется априорная ПВ

.            

В правую часть уравнения Стратоновича непосредственно входят априорные сведения об оцениваемом процессе  в качестве первого слагаемого, второе слагаемое учитывает результаты наблюдения. В отсутствие наблюдений или при очень большом уровне шума наблюдения  и уравнение Стратоновича переходит в уравнение ФПК.

Уравнение Стратоновича при фильтрации в непрерывном времени полностью описывает эволюцию АПВ фильтруемого параметра. Качественный характер изменения АПВ  показан на рис. 2.7. Здесь - оптимальная по критерию максимума АПВ оценка сообщения  в наблюдаемой реализации . Располагая АПВ  можно найти оптимальную текущую оценку  по любому критерию. Однако непосредственная практическая реализация получающихся алгоритмов, как в дискретном, так и в непрерывном времени обычно оказывается довольно сложной, и поэтому часто используют различные упрощения. Точные решения уравнения Стратоновича возможны в случае линейной фильтрации и в некоторых других случаях.

 

Рис. 2.7. Эволюция АПВ

 

Точное решение уравнения Стратоновича можно получить для задачи оценки сообщения, представляющего собой случайную величину. Задача оценки сл.в. является частным случаем задачи оптимальной фильтрации случайных процессов.

Пусть по наблюдению

,      

требуется получить оптимальную оценку параметра λ, представляющего собой случайную величину с известной априорной плотностью вероятности . Так как значение параметра λ за время наблюдения не изменяется:

,

следовательно , и уравнение Стратоновича для АПВ параметра λ имеет вид

.          

Проинтегрируем по времени обе части этого уравнения с учётом того, что F(t) не зависит от  и поэтому интеграл от этой функции может быть в окончательном результате включён в нормировочную константу:

,

.

Следовательно, АПВ получается в виде

.     

Запишем это уравнение в соответствии с формулой Байеса

,                   

откуда следует, что функционал правдоподобия реализации

.

Значит функция  - это производная по времени от логарифма функционала правдоподобия.

Прологарифмировав уравнение для АПВ, получим алгоритм нахождения оценки по максимуму АПВ:

.              

Во многих практических задачах априорная ПВ является очень «широкой» и не оказывает существенного влияния на положение максимума АПВ. При этом оценка по максимуму АПВ (ее логарифма) практически совпадает с оценкой по максимуму функционала правдоподобия (его логарифма):

,                     

где  - корреляционный интеграл,  - энергия сигнала.

Корреляционный интеграл ещё называют взаимокорреляционной функцией между принимаемым колебанием и полезным сигналом.

Если оцениваются неэнергетические параметры сигнала (параметры, от которых энергия сигнала не зависит), то их оценку можно находить по максимуму корреляционного интеграла

                        

Этот алгоритм нашел широкое применение на практике в РСПИ, он реализуется с помощью корреляторов и согласованных фильтров.

 

Корреляторы

 

Мы установили, что для получения оптимальной оценки сообщения необходимо вычислять корреляционный интеграл. Подтвердим этот вывод на примере задачи обнаружения сигнала. Эта задача встречается в двоичных системах передачи информации с пассивной паузой.

Пусть в принятом колебании , представляющим собой сумму полезного сигнала  и шума , неизвестен сам факт наличия сигнала . С целью формализации задачи запишем колебание  в виде

.      

Здесь  – дискретная сл.в., принимающая лишь два возможных значения: =0 (сигнал отсутствует) и =1 (сигнал присутствует). Требуется по принятой конкретной реализации  на интервале [0,T] решить оптимальным образом, присутствует или отсутствует сигнал . Иначе говоря, требуется оценить значение дискретного параметра .

Рассмотрим наиболее простой случай – обнаружение детерминированного сигнала. В детерминированном сигнале  значение параметра l априорно точно известно и равно l₀, т.е. . Этот случай важен потому, что определяет предельные (потенциальные) возможности (верхние границы) для характеристик обнаружения.

Для задачи обнаружения детерминированного сигнала по аналогии с задачей оценки непрерывного сообщения l запишем апостериорную вероятность того, что дискретный параметр =1

.

Решение о наличии или отсутствии сигнала на интервале наблюдения принимается в результате сравнения отношения апостериорных вероятностей в конце интервала наблюдения Т с некоторым порогом:

Если априорные вероятности значений дискретного параметра  неизвестны (что фактически соответствует ), то отношение апостериорных вероятностей переходит в отношение правдоподобия.

Алгоритм работы обнаружителя можно упростить. Будем считать энергию сигнала фиксированной (сигнал полностью расположен внутри интервала наблюдения)

.

Учитывая монотонное поведение показательной функции и прологарифмировав, получим окончательный алгоритм работы оптимального обнаружителя

.  

Выходной сигнал q(t) можно представить в виде суммы сигнальной q_s(t) и шумовой q_n(t) составляющих:

, где

.    

Функция q_s(t) представляет собой выходной полезный сигнал на выходе приемника-обнаружителя, а функция q_n(t) — выходной шум. Существенное различие между ними состоит в том, что первая является детерминированной, а вторая — случайной, разной для разных реализации наблюдения.

Отношение пикового значения сигнальной функции q_s(t) к среднеквадратическому значению шумовой функции q_n(t) равно . Соответствующее отношение по мощности .

Алгоритм обнаружения можно реализовать с использованием коррелятора или согласованного фильтра с импульсной характеристикой вида .

Специально укажем, что назначение оптимальных приемников обнаружения состоит не в наилучшем воспроизведении входного полезного сигнала, а в формировании наибольшего пикового отношения сигнал-шум в момент времени t=T и сравнении выходного сигнала в этот момент времени с некоторым порогом h.

Из представленных структурных схем (рис. 2.8) видно, что коррелятор – это устройство, непосредственно реализующее алгоритм нахождения корреляционного интеграла.

 

Рис. 2.8. Структурные схемы оптимальных обнаружителей:

а) детерминированного сигнала с использованием коррелятора

б) согласованного фильтра

 

Согласованный фильтр реализует алгоритм нахождения корреляционного интеграла в неявном виде.