Площадь ортогональной проекции многоугольника

Вариант 1

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник  с гипотенузой 10 см и катетом 8 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна  см².

2. Треугольник — ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость a. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость ABC. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников ABC и  соответственно равны 36 см² и 12 см².

3. Грань АВCD прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 6 см, ребро АА ₁ равно 8 см. На рёбрах АВ и AD отметили точки K и М соответственно так, что AK = АМ = 2 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью KМС ₁.

Вариант 2

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является равносторонний треугольник , сторона которого равна 4 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна 8 см².

2. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника DEF на плоскость a. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость DEF. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников DEF и  соответственно равны 42 см² и 7 см².

3. Грань АВCD прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 4 см, а ребро DD ₁ равно 5 см. На рёбрах АD и DC отметили точки E и F соответственно так, что DE = DF = 1 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFB ₁.

Вариант 3

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является прямоугольный равнобедренный треугольник  с гипотенузой 12 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна 72 см².

2. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника MNK на плоскость a. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость MNK. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников MNK и  соответственно равны 60 см² и 5 см².

3. Грань АВCD прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 8 см, а ребро CC ₁ равно 4 см. На рёбрах BC и CD отметили точки P и M соответственно так, что CP = CM = 6 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью PMA ₁.

Вариант 4

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является равнобедренный треугольник , боковая сторона которого равна 13 см, а основание — 10 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна  см².

2. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника PKF на плоскость b. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость PKF. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников PKF и  соответственно равны 90 см² и 9 см².

3. Грань АВ С D прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 5 см, а ребро BB ₁ равно 6 см. На рёбрах AB и BC отметили точки Q и N соответственно так, что BQ = BN = 4 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью QND ₁.

Самостоятельная работа № 17