Угол между прямыми в пространстве

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

К учебнику

ГЕОМЕТРИЯ

Класс

2-е полугодие

 

Углубленный уровень

Самостоятельная работа № 9

Угол между прямыми в пространстве

Вариант 1

1. Отрезки AK и B ₁ D соответственно — высоты граней ABC и A ₁ B ₁ C ₁ призмы . Найдите угол между прямыми AK и B ₁ D, если

2. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  см,  см. Найдите косинус угла между прямыми AC и DC ₁.

3. Рёбра AD и BC тетраэдра DABC равны  см и 4 см соответственно, а угол между прямыми AD и BC равен 30°. Найдите расстояние между серединами рёбер AC и BD.

Вариант 2

1. Отрезки CM и B ₁ F соответственно — высоты граней ABC и A ₁ B ₁ C ₁ призмы . Найдите угол между прямыми CM и B ₁ F, если

2. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  см,  см. Найдите косинус угла между прямыми  и A ₁ D.

3. Рёбра AC и BD тетраэдра DABC равны  см и 2 см соответственно, а угол между прямыми AC и BD равен 45°. Найдите расстояние между серединами рёбер AD и BC.

Вариант 3

1. Отрезки AE и C ₁ P соответственно — высоты граней ABC и A ₁ B ₁ C ₁ призмы . Найдите угол между прямыми AE и C ₁ P, если

2. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  см,  см. Найдите косинус угла между прямыми BD и AD ₁.

3. Рёбра AB и CD тетраэдра DABC равны  см и 4 см соответственно, а угол между прямыми AB и CD равен 45°. Найдите расстояние между серединами рёбер AC и BD.

Вариант 4

1. Отрезки BN и A ₁ E соответственно — высоты граней ABC и A ₁ B ₁ C ₁ призмы . Найдите угол между прямыми BN и A ₁ E, если

2. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  см,  см. Найдите косинус угла между прямыми  и AD ₁.

3. Рёбра AD и BC тетраэдра DABC равны 6 см и 3 см соответственно, а угол между прямыми AD и BC равен 60°. Найдите расстояние между серединами рёбер AC и BD.

Самостоятельная работа № 10

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

1. Точка M лежит вне плоскости парал­лелограмма ABCD,  и , O — точка пересечения диа­гоналей параллелограмма. Докажите, что прямая MO перпендикулярна плоскости параллелограмма.

2. Прямая MB перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что  см, AD = 6 см,  Найдите отрезок MD.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB = AD. На рёбрах AB и CD отметили точки K и M соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой BM. В каком отношении секущая плоскость делит ребро ?

Вариант 2

1. Точка D лежит вне плоскости равнобедренного треугольни­ка ABC и равноудалена от точек B и C, точка M — середина основания BC. Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM.

2. Прямая FD перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что  см,  см,  Найдите отрезок AD.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  На рёбрах  и  отметили точки E и K соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой BE. В каком отношении секущая плоскость делит ребро DC?

Вариант 3

1. Точка K лежит вне плоскости равнобокой трапеции ABCD (AD || BC) и равноудалена от точек A и D. Точки E и F — середины оснований AD и BC соответственно. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости EFK.

2. Прямая KA перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что  см,  см,  Найдите отрезок KC.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB = AD. На рёбрах AB и CD отметили точки F и P соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой DF. В каком отношении секущая плоскость делит ребро ?

Вариант 4

1. Точка N лежит вне плоскости ромба ABCD и равноудалена от точек A и С. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости BND.

2. Прямая PC перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что AB = 9 см,  см,  см. Найдите отрезок BC.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  На рёбрах AD и  отметили точки N и F соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F и перпендикулярной прямой  В каком отношении секущая плоскость делит ребро ?

Самостоятельная работа № 11

Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

1. Из точки A к плоскости a проведены наклонные AB и AC длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9: 16.

2. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали BD. Расстояние между прямой BD и плоскостью a равно 5 см, а проекции отрезков AB и AD на эту плоскость равны 8 см и 7 см соответственно. Найдите диаго­наль AC параллелограмма, если диагональ BD равна 9 см.

3. На ребре DС тетраэдра DABC отметили точку М так, что DM: MC = 1: 2. Известно, что  см,  см. Найдите расстояние между прямыми ВМ и АС.

Вариант 2

1. Из точки M к плоскости a проведены наклонные MN и MK, длины которых относятся как 25: 26. Найдите расстояние от точки M до плоскости a, если проекции наклонных MN и MK равны соответственно 14 см и 20 см.

2. Через вершину D параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали AC. Расстояние между прямой AC и плоскостью a равно 6 см, а проекции отрезков AD и DC на эту плоскость равны  см и  см соответственно. Найдите диаго­наль BD параллелограмма, если диагональ AC равна 14 см.

3. На ребре SB тетраэдра SABC отметили точку K так, что SK: KB = 3: 2. Известно, что  см, BC = 24 см. Найдите расстояние между прямыми AK и BC.

Вариант 3

1. Из точки M к плоскости проведены a две наклонные MB и MA, длины которых относятся как 5: 7. Найдите расстояние от точ­ки M до плоскости a, если проекции наклонных равны 12 см и  см.

2. Через вершину C параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали BD. Расстояние между прямой BD и плоскостью a равно 4 см, а проекции отрезков CB и C D на эту плоскость равны 3 см и  см соответственно. Найдите диаго­наль AC параллелограмма, если диагональ BD равна 10 см.

3. На ребре AС тетраэдра MABC отметили точку F так, что AF: FC = 1: 3. Известно, что  см, BC = 30 см. Найдите расстояние между прямыми MF и BС.

Вариант 4

1. Из точки K к плоскости a проведены наклонные KA и KB, длины которых равны 26 см и 30 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости a, если проекции наклонных KA и KB относятся как 5: 9.

2. Через вершину B параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали AC. Расстояние между прямой AC и плоскостью a равно 3 см, а проекции отрезков AB и BC на эту плоскость равны 4 см и  см соответственно. Найдите диагональ BD параллелограмма, если диагональ AC равна 8 см.

3. На ребре BС тетраэдра PABC отметили точку F так, что BF: FC = 7: 1. Известно, что  см,  см. Найдите расстояние между прямыми PF и АB.

Самостоятельная работа № 12

Вариант 1

1. Через центр O окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6 см, к плоскости треугольника проведён пер­пен­дикуляр OM длиной 3 см. Найдите расстояние от точки M до сторон треугольника.

2. Из точки М, не принадлежащей плоскости прямого угла, проведены перпендикуляры MK и MF к его сторонам. Известно, что  см, а расстояние от точки М до плоскости угла равно  см. Найдите расстояние от точки M до вершины угла.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AD: AB = 1: 2. На ребре AВ отметили точку М так, что прямая MD перпендикулярна прямой А ₁ С. Найдите отношение AМ: AB.

Вариант 2

1. Через центр O окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендику­ляр OD длиной 6 см. Точка D удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

2. Из точки K, не принадлежащей плоскости угла ABC, проведены перпендикуляры KD и KE к его сторонам. Известно, что  см,  см,  Найдите расстояние от точки K до плоскости АВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB: BC = 1: 3. На ребре BC отметили точку K так, что прямая AK перпендикулярна прямой B ₁ D. Найдите отношение BK: BC.

 

Вариант 3

1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 6 см. Через центр O треугольника к его плоскости проведён перпендику­ляр OM длиной 3 см. Найдите угол между перпендикуляром, проведённым из точки M к стороне AB, и проекцией этого перпендикуляра на плоскость ABC.

2. Из точки F, не принадлежащей плоскости угла CDE, проведены перпендикуляры FA и FB к его сторонам. Известно, что  см,  а расстояние от точки F до плоскости угла равно 8 см. Найдите расстояние от точки F до вершины угла.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB: BC = 2: 3. На ребре BC отметили точку F так, что прямая DF перпендикулярна прямой  Найдите отношение CF: CB.

Вариант 4

1. Сторона равностороннего треугольника равна 24 см. Через центр O треугольника к его плоскости проведён перпендику­ляр OD. Точка D удалена от сторон треугольника на расстояние 7 см. Найдите отрезок OD.

2. Из точки P, не принадлежащей плоскости прямого угла ABC, проведены перпендикуляры PE и PF к его сторонам. Известно, что  см,  см. Найдите расстояние от точки P до плоскости АВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB: AD = 1: 4. На ребре AD отметили точку E так, что прямая CE перпендикулярна прямой  Найдите отношение AE: AD.

Самостоятельная работа № 13

Вариант 1

1. Из точки D к плоскости a провели наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной DK на плоскость a, если  см.

2. На ребре  прямоугольного параллелепипеда  отметили точку M так, что  Найдите угол между прямой  и плоскостью  если  см, CD = 4 см,  см.

3. Основанием пирамиды SABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð SBA = 45°, Ð ADC = 60°. Найдите косинус угла между прямыми SB и CD.

Вариант 2

1. Из точки C к плоскости b провели наклонные CA и CB, образующие с ней углы 45° и 30° соответственно. Найдите проекцию наклонной CB на плоскость b, если  см.

2. На ребре AD прямоугольного параллелепипеда  отметили точку K так, что AK: KD = 2: 3. Найдите угол между прямой B ₁ K и плоскостью  если AD = 15 см, AB = 6 см,  см.

3. Основанием пирамиды PABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро PD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð PCD = 30°, Ð BAD = 60°. Найдите косинус угла между прямыми PC и AB.

Вариант 3

1. Из точки M к плоскости g провели наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если проекция наклонной MN на плоскость g равна  см.

2. На ребре  прямоугольного параллелепипеда  отметили точку E так, что  Найдите угол между прямой  и плоскостью  если AD = 12 см,  см,  см.

3. Основанием пирамиды MABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро MA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð MBA = 30°, Ð ADC = 75°. Найдите косинус угла между прямыми MB и CD.

Вариант 4

1. Из точки K к плоскости α провели наклонные KA и KB, образующие с ней углы 30° и 60° соответственно. Найдите наклонную KA, если  см.

2. На ребре CD прямоугольного параллелепипеда  отметили точку F так, что CF: FD = 1: 3. Найдите угол между прямой B₁F и плоскостью BCC ₁, если AB = 12 см,  см,  см.

3. Основанием пирамиды NABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро ND перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð NCD = 60°, Ð BAD = 75°. Найдите косинус угла между прямыми NC и AB.

Самостоятельная работа № 14

Вариант 1

1. В гранях двугранного угла проведены прямые a и b, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии 10 см и 6 см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми a и b равно 14 см.

2. Из точек M и K, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 60°, проведены к его ребру перпендикуляры  и  длиной 3 см и 8 см соответственно. Найдите отрезок MK, если  см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Катеты АС и ВС образуют с плоскостью a углы 30° и 45° соответственно. Найдите угол между плоскостями АВС и a.

Вариант 2

1. В гранях двугранного угла проведены прямые m и n, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии 8 см и  см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми m и n равно  см.

2. Из точек C и D, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 45°, проведены к его ребру перпендикуляры DA и CB. Найдите отрезок DC, если AB = 3 см,  см, BC = 8 см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Угол между плоскостями АВС и a равен 60°, а катет АС образует с плоскостью a угол 30°. Найдите угол, который образует катет ВС с плоскостью a.

Вариант 3

1. В гранях двугранного угла проведены прямые b и c, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии  см и 4 см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми b и c равно  см.

2. Из точек A и B, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 30°, проведены к его ребру перпендикуляры AC и B D. Найдите отрезок CD, если  см, BD = 2 см,  см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Катет АС образует с плоскостью a угол 45°, а угол АВС равен 60°. Найдите угол, который образует катет ВС с плоскостью a.

Вариант 4

1. В гранях двугранного угла проведены прямые a и c, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии 5 см и 8 см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми a и c равно 7 см.

2. Из точек D и E, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 120°, проведены к его ребру перпендикуляры  и  длиной 3 см и 5 см соответственно. Найдите отрезок DE, если  см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Угол между плоскостями АВС и a равен 60°, а катет ВС образует с плоскостью a угол 45°. Найдите угол, который образует катет АС с плоскостью a.

Самостоятельная работа № 15

Перпендикулярные плоскости

Вариант 1

1. Точка S равноудалена от вершин квадрата ABCD. Точка O — её проекция на плоскость квадрата. Из точки S проведен перпенди­ку­ляр SM к стороне AB квадрата. Докажите, что плоскости ASB и OSM перпендикулярны.

2. Плоскости a и b перпендикулярны. Точки С и D принадлежат плоскости b. Прямая a принадлежит плоскости a и параллельна плоскости b. Из точек С и D к прямой a проведены перпендикуляры СA и DB. Известно, что DB = 17 см, а расстояния от точек С и D до линии пересечения плоскостей равны 6 см и 15 см соответственно. Найдите отрезок АС.

3. Плоскости прямоугольников ABCD и ABEF пер­пендикулярны. Найдите расстояние ме­жду прямыми DE и AB, если AF = 8 см, BC = 15 см (рис. 45).

 

Рис. 4 5	Рис. 4 6	Рис. 4 7	Рис. 4 8

Вариант 2

1. Точка M равноудалена от вершин C и D прямоугольника ABCD. Из точки M к стороне AB проведён перпендикуляр MN. Докажите, что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости MNO, где O — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Плоскости b и g перпендикулярны. Точки A и B принадлежат плоскости g. Прямая c принадлежит плоскости b и параллельна плоскости g. Из точек A и B к прямой c проведены перпендикуляры AC и BD. Известно, что AC = 13 см, BD = 20 см, а расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей равно 5 см. Найдите расстояние от точки B до линии пересечения плоскостей.

3. Плоскости квадратов ABCD и  перпендикулярны (рис. 46). Найдите расстояние между прямыми  и AB, если AB = 6 см.

Вариант 3

1. Точка S равноудалена от вершин равностороннего треугольни­ка ABC, точка O — центр этого треугольника. Докажите, что плоскость SOC перпендикулярна плоскости ASB.

2. Плоскости a и b перпендикулярны. Точки M и K принадлежат плоскости b. Прямая b принадлежит плоскости a и параллельна плоскости b. Из точек M и K к прямой b проведены перпендикуляры MF и KE. Известно, что KE = 20 см, а расстояния от точек M и K до линии пересечения плоскостей равны 9 см и 16 см соответственно. Найдите отрезок MF.

3. Плоскости прямоугольников AMND и BCNM перпендикулярны (рис. 47). Найдите расстояние между прямыми AC и MN, если AM = 2 см, MB = 3 см.

Вариант 4

1. Точка P не принадлежит плоскости ромба ABCD и равноудалена от вершин В и D. Докажите, что плоскости АРС и ABC перпендикулярны.

2. Плоскости b и g перпендикулярны. Точки E и F принадлежат плоскости g. Прямая l принадлежит плоскости b и параллельна плоскости g. Из точек E и F к прямой l проведены перпендикуляры EK и FM. Известно, что EK = 17 см, FM = 25 см, а расстояние от точки F до линии пересечения плоскостей равно 20 см. Найдите расстояние от точки E до линии пересечения плоскостей.

3. Плоскости квадрата ABCD и прямоугольника  перпендикулярны (рис. 48). Найдите расстояние между прямыми D С ₁ и AB, если AB = 5 см, AD ₁ = 12 см.

Самостоятельная работа № 16

Вариант 1

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник  с гипотенузой 10 см и катетом 8 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна  см².

2. Треугольник — ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость a. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость ABC. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников ABC и  соответственно равны 36 см² и 12 см².

3. Грань АВCD прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 6 см, ребро АА ₁ равно 8 см. На рёбрах АВ и AD отметили точки K и М соответственно так, что AK = АМ = 2 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью KМС ₁.

Вариант 2

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является равносторонний треугольник , сторона которого равна 4 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна 8 см².

2. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника DEF на плоскость a. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость DEF. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников DEF и  соответственно равны 42 см² и 7 см².

3. Грань АВCD прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 4 см, а ребро DD ₁ равно 5 см. На рёбрах АD и DC отметили точки E и F соответственно так, что DE = DF = 1 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFB ₁.

Вариант 3

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является прямоугольный равнобедренный треугольник  с гипотенузой 12 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна 72 см².

2. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника MNK на плоскость a. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость MNK. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников MNK и  соответственно равны 60 см² и 5 см².

3. Грань АВCD прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 8 см, а ребро CC ₁ равно 4 см. На рёбрах BC и CD отметили точки P и M соответственно так, что CP = CM = 6 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью PMA ₁.

Вариант 4

1. Ортогональной проекцией треугольника ABC на некоторую плоскость является равнобедренный треугольник , боковая сторона которого равна 13 см, а основание — 10 см. Найдите угол между плоскостями ABC и  если площадь треугольника ABC равна  см².

2. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника PKF на плоскость b. Треугольник  — ортогональная проекция треугольника  на плоскость PKF. Найдите площадь треугольника , если площади треугольников PKF и  соответственно равны 90 см² и 9 см².

3. Грань АВ С D прямоугольного параллелепипеда  является квадратом, сторона которого равна 5 см, а ребро BB ₁ равно 6 см. На рёбрах AB и BC отметили точки Q и N соответственно так, что BQ = BN = 4 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью QND ₁.

Самостоятельная работа № 17

Вариант 1

1. Плоские углы АMB и АMC трёхгранного угла MАBC соответственно равны 125° и 155°. Докажите, что плоский угол BMC меньше 80° и больше 30°.

2. Плоские углы АSB и АSC трёхгранного угла SАBC соответственно равны 30° и 45°. Двугранный угол при ребре SА равен 150°. Найдите плоский угол BSC.

3. Ребро BС тетраэдра PABC равно 8 см. Найдите расстояние от точки B до плоскости ACP, если Ð BCP = Ð ACP = 30°, cosÐ ACB =

Вариант 2

1. Плоские углы АPB и BPC трёхгранного угла PАBC соответственно равны 110° и 165°. Докажите, что плоский угол АPC меньше 85° и больше 55°.

2. Плоские углы АMB и АMC трёхгранного угла MАBC соответственно равны 45° и 60°. Двугранный угол при ребре MА равен 30°. Найдите плоский угол BMC.

3. Ребро AС тетраэдра SАBC равно  см. Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC, если Ð SCА = Ð SCB = 45°, cosÐ ACB =

Вариант 3

1. Плоские углы CKB и АKC трёхгранного угла K АBC соответственно равны 115° и 160°. Докажите, что плоский угол АKB меньше 85° и больше 45°.

2. Плоские углы АPB и BPC трёхгранного угла PАBC соответственно равны 30° и 60°. Двугранный угол при ребре PB равен 120°. Найдите плоский угол АPC.

3. Ребро MС тетраэдра MАBC равно  см. Найдите расстояние от точки С до плоскости АMB, если Ð CMB = Ð АMB = 60°, cosÐ АMC =

Вариант 4

1. Плоские углы АSB и АSC трёхгранного угла SАBC соответственно равны 130° и 170°. Докажите, что плоский угол BSC меньше 60° и больше 40°.

2. Плоские углы CKB и АKC трёхгранного угла K АBC соответственно равны 45° и 60°. Двугранный угол при ребре K C равен 150°. Найдите плоский угол АKB.

3. Ребро DC тетраэдра DАBC равно 20 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости АDB, если Ð CDА = 30°, Ð АDB = 60°, cosÐ BDC =

Самостоятельная работа № 18

Вариант 1

1. Длина отрезка АВ равна 10 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек А и В и таких, что АХ = 13 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 15 см, 13 см и 4 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 60°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей a и b и удалённых от плоскости a на 6 см.

Вариант 2

1. Длина отрезка CD равна 12 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек C и D и таких, что CХ = 10 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 17 см, 10 см и 9 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 30°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей a и b и удалённых от их линии пересечения на 5 см.

Вариант 3

1. Длина отрезка MK равна 16 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек M и K и таких, что KХ = 17 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 20 см, 15 см и 7 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 45°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей b и g и удалённых от плоскости g на 4 см.

Вариант 4

1. Длина отрезка NP равна 24 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек N и P и таких, что PХ = 20 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 20 см, 13 см и 11 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из пр