Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

1. Точка M лежит вне плоскости парал­лелограмма ABCD,  и , O — точка пересечения диа­гоналей параллелограмма. Докажите, что прямая MO перпендикулярна плоскости параллелограмма.

2. Прямая MB перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что  см, AD = 6 см,  Найдите отрезок MD.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB = AD. На рёбрах AB и CD отметили точки K и M соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой BM. В каком отношении секущая плоскость делит ребро ?

Вариант 2

1. Точка D лежит вне плоскости равнобедренного треугольни­ка ABC и равноудалена от точек B и C, точка M — середина основания BC. Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM.

2. Прямая FD перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что  см,  см,  Найдите отрезок AD.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  На рёбрах  и  отметили точки E и K соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой BE. В каком отношении секущая плоскость делит ребро DC?

Вариант 3

1. Точка K лежит вне плоскости равнобокой трапеции ABCD (AD || BC) и равноудалена от точек A и D. Точки E и F — середины оснований AD и BC соответственно. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости EFK.

2. Прямая KA перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что  см,  см,  Найдите отрезок KC.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB = AD. На рёбрах AB и CD отметили точки F и P соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой DF. В каком отношении секущая плоскость делит ребро ?

Вариант 4

1. Точка N лежит вне плоскости ромба ABCD и равноудалена от точек A и С. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости BND.

2. Прямая PC перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что AB = 9 см,  см,  см. Найдите отрезок BC.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что  На рёбрах AD и  отметили точки N и F соответственно так, что  Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F и перпендикулярной прямой  В каком отношении секущая плоскость делит ребро ?

Самостоятельная работа № 11

Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

1. Из точки A к плоскости a проведены наклонные AB и AC длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9: 16.

2. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали BD. Расстояние между прямой BD и плоскостью a равно 5 см, а проекции отрезков AB и AD на эту плоскость равны 8 см и 7 см соответственно. Найдите диаго­наль AC параллелограмма, если диагональ BD равна 9 см.

3. На ребре DС тетраэдра DABC отметили точку М так, что DM: MC = 1: 2. Известно, что  см,  см. Найдите расстояние между прямыми ВМ и АС.

Вариант 2

1. Из точки M к плоскости a проведены наклонные MN и MK, длины которых относятся как 25: 26. Найдите расстояние от точки M до плоскости a, если проекции наклонных MN и MK равны соответственно 14 см и 20 см.

2. Через вершину D параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали AC. Расстояние между прямой AC и плоскостью a равно 6 см, а проекции отрезков AD и DC на эту плоскость равны  см и  см соответственно. Найдите диаго­наль BD параллелограмма, если диагональ AC равна 14 см.

3. На ребре SB тетраэдра SABC отметили точку K так, что SK: KB = 3: 2. Известно, что  см, BC = 24 см. Найдите расстояние между прямыми AK и BC.

Вариант 3

1. Из точки M к плоскости проведены a две наклонные MB и MA, длины которых относятся как 5: 7. Найдите расстояние от точ­ки M до плоскости a, если проекции наклонных равны 12 см и  см.

2. Через вершину C параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали BD. Расстояние между прямой BD и плоскостью a равно 4 см, а проекции отрезков CB и C D на эту плоскость равны 3 см и  см соответственно. Найдите диаго­наль AC параллелограмма, если диагональ BD равна 10 см.

3. На ребре AС тетраэдра MABC отметили точку F так, что AF: FC = 1: 3. Известно, что  см, BC = 30 см. Найдите расстояние между прямыми MF и BС.

Вариант 4

1. Из точки K к плоскости a проведены наклонные KA и KB, длины которых равны 26 см и 30 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости a, если проекции наклонных KA и KB относятся как 5: 9.

2. Через вершину B параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная диагонали AC. Расстояние между прямой AC и плоскостью a равно 3 см, а проекции отрезков AB и BC на эту плоскость равны 4 см и  см соответственно. Найдите диагональ BD параллелограмма, если диагональ AC равна 8 см.

3. На ребре BС тетраэдра PABC отметили точку F так, что BF: FC = 7: 1. Известно, что  см,  см. Найдите расстояние между прямыми PF и АB.

Самостоятельная работа № 12