Свободная (естественная) конвенция

Расчет коэффициента теплообмена при свободном движении теплоносителя в большом объеме обычно ведут по критериальному уравнению вида

                            (2.2)

где С и т – коэффициенты, зависящие от условий теплообмена.

Для газов можно считать Р r= const, а (Pr_ж/Р r_c) =1, и поэтому все приведенные формулы упрощаются.

При вычислении чисел подобия физические параметры g, l, a выбираются по средней температуре теплоносителя в объеме и у стенки:

t_ср=0,5(t_ж+ t_c).

Коэффициент объемного расширения газа b определяется по формуле  или выбираются по приложениям для данного теплоносителя.

Среднее значение коэффициента теплообмена при естественной конвекции вертикальной поверхности можно получить из формулы (2.3)

,                                                        (2.3)

где D t= t_ж- t_c – перепад температур между температурой воздуха помещения и температурой поверхности стенки, °С.

Для определения среднего значения a_к при горизонтальном расположении поверхности, если греющая поверхность расположена внизу (рисунок 1 б) или холодная поверхность – вверху, можно пользоваться формулой

.                                                   (2.4)

Таблица 2.1 Значения коэффициентов С и т

Условия теплообмена	С	т	Определяющий размер
Вертикальные поверхности (трубы, пластины) 10^3< Gr × Pr <10^9 (ламинарный режим)	0,76	0,25	длина трубы, высота пластины
Gr × Pr >10^9 (турбулентный режим)	0,15	0,33	длина трубы, высота пластины
Горизонтальная труба 10^3< Gr × Pr <10^8	0,50	0,25	диаметр трубы
Для тел любой формы О = (Gr × Pr)ср <10^-3	0,50	0	Для труб и шара диаметр, а для плит - высота
10^-3< (Gr × Pr)ср <5×10^2	1,18	0,125
5×10^2< (Gr × Pr)ср <2×10^7	0,54	0,25
2×10^7< (Gr × Pr)ср <5×10^13	0,135	0,33
Горизонтальная пластина при ламинарном режиме движения охлаждение сверху	0,54	0,25	короткая сторона пластины
охлаждение снизу	0,27	0,25

 

Если греющая поверхность расположена вверху (рисунок 1 в) или холодная поверхность – внизу

.                                             (2.5)

Расчет теплообмена в ограниченном объеме ведут по уравнениям теплопроводности, применяя эквивалентную теплопроводность

l_экв= l × e_к,                                                     (2.6)

где e_к – коэффициент конвекции, который определяется в зависимости от произведения Gr × Pr

Gr × Pr <10³                                   e _r =1;

10³< Gr × Pr <10⁶                  e _r =0,105 (Gr × Pr) ^0,3;                              (2.7)

10⁶< Gr × Pr <10¹⁰                e _r =0,40 (Gr × Pr) ^0,2.                                (2.8)

В приложенных расчетах вместо (2.7) и (2.8) для всей области значений аргументов Gr × Pr >10³ можно применить зависимость

e_к= 0,18 (Gr × Pr) ^0,25,                                                              (2.9)

Примеры решения задач

Пример 2.1 Температура поверхностей вертикальной стенки высотой 3 м равна 10°С. Температура воздуха в помещении 20°С. Определить коэффициент теплоотдачи от воздуха к стенке.

Решение. Определяем значение критериев Gr и Pr

Gr= b gl³ D t/ g²; Pr= g/ a.

По таблице А1 приложения А по средней температуре t_cp =0,5 (t_c+ t_в) =15°С определяем параметры воздуха g, l и Pr.

g_ж =14,61×10^-6 м²/с; Pr_ж =0,705; l_ж =2,56×10^-2 Вт/(м×К).

;

Gr × Pr =4,31×10¹⁰×0,705=3,03×10¹⁰

Режим движения воздуха турбулентный, так как Gr × Pr >10⁹.

По формуле (2.2) подставляя вместо С и т их значения при вертикальной поверхности находим число Нуссельта

Nu =0,15 (Gr × Pr) ^0,33 (Pr_ж /Pr_c) ^0,25=0,15(3,03×10¹⁰)^0,33×1=431,48;

 Вт/(м²×К).

По приближенной формуле (2.3) для вертикальной поверхности

a_к  Вт/(м²×К).

Пример 2.2. Определить теплопотери через окно с двойным остеклением размерами 1,2х1,4 м², если расстояние между стеклами 120 мм, температура поверхности стекол 18°С и -15°С.

Решение. Вычисляем эквивалентный коэффициент теплопроводности по формуле lэкв= l × eк, где l - действительный коэффициент теплопроводности воздуха, определяется по средней температуре воздуха по таблице А1 приложения А; eк – коэффициент конвекции, являющийся функцией Gr × Pr, который может приближенно вычислен по формуле eк =0,18 (Gr × Pr) ^0,25. За определяющий размер принимаем расстояние между стеклами d, за расчетную разность температур , за определяющую температуру ; tопр =0,5(18-15)=1,5°С. По таблице А1 приложения А определяем параметры воздуха gж =13,41×10^-6 м^2/с; lж =24,6×10^-3 Вт/(м×К); Pr =0,71;

 К^-1.

Вычисляем произведение

.

Коэффициент конвекции e_к =0,18(8,046×10⁶)^0,25=9,58

Тогда

l_экв =9,58×24,6×10^-3=2,36×10^-1 Вт/(м×К).

Теплопотери через окно с двойным остеклением будут равны

 Вт

Пример 2.3 Определить силу тока для нихромовой проволоки диаметром 1,0 мм из условия, что ее температура не будет превышать 300°С. сопротивление 1 погонного метра проволки при температуре 300°С R=6,0 Ом, температура окружающей среды t_m=20°C.

Расчет произвести для двух случаев.

- проволока находится в спокойном воздухе;

- проволока находится в спокойной воде под давлением при температуре насыщения выше 300°С.

Решение. По закону Ньютона-Рихмана определим мощность теплового потока от проволки к окружающей среде

q_l= p d_н a(t_c- t_ж).

Для определения a находим число Грасгофа и число Нуссельта:

а) окружающая среда воздух.

По таблице А1 приложения А находим физические параметры воздуха при t_опр =0,5(300+20)=160°С.

l_ж =3,64×10^-2 Вт/(м×К); g_ж =30,09×10^-6 м²/с; Pr_ж =0,682.

Число Грасгофа

Gr × Pr =6,64×0,682=4,53.

По таблице 2.1 при произведении Gr × Pr =4,778

C =7,18; т =0,125, тогда по формуле (2.2)

Nu =1,18 (Gr × Pr) ^0,125=1,18×4,53^0,125=1,435.

 Вт/(м²×К).

q_l= p d_н × a(t_c- t_ж) =3,14×0,001×52,2(300-20)=45,89 Вт/ч

q_e= J² R А

Пример 2.4 В баке с раствором хлористого кальция размещен горизонтальный охлаждающий змеевик из труб, наружный диаметр которых 57 мм. Плотность раствора хлористого кальция при температуре 15°С r_ж =1220 кг/м³. Температура замерзания раствора t₃ = -25,7°C, средняя температура наружной поверхности трубы t_ст =-20°С, температура раствора вдали от поверхности трубы t_ж =-10°С.

Определить коэффициент теплообмена a от раствора к поверхности трубы при свободном движении жидкости.

Решение. Теплоотдачу при свободном движении около горизонтальной трубы (змеевика) определяем по уравнению

Nu =0,5 (Gr × Pr) ^0,25.

Определяющим размером является наружный диаметр трубы, в качестве определяющей температуры принимаем среднюю температуру

°С.

Данная формула справедлива 1×10³ £(Gr × Pr) £10³.

Определяем теплофизические свойства хлористого кальция при r =1220 кг/м³ и t₃ =-25,7°C l_-20=0,523 Вт/(м×К)

l_-15=0,518 Вт/(м×К)

l_-20=0,511 Вт/(м×К)

g _-10=4,87×10 м²/с;     g _-15=6,20×10 м²/с;  g =7,77×10 м²/с;

Pr _-10=33;                   Pr _-15=42,5;             Pr _-20=53,80;

b _-10=3,5×10^-4;            b _-20=3,3×10^-4К¹;      b _-15=3,4×10^-4К¹

Определяем критерии подобия, характеризующие процесс теплообмена:

Ra=(Gr_d × Pr_ж)= (1,607×10⁵×42,5)=6829750=6,83×10⁶.

Nu_{ж. d} =0,5(6,83×10⁶)^0,25=25,56

Коэффициент теплообмена Вт/(м²×К).

Вынужденная конвекция

При вынужденной конвекции между числами подобия существует зависимость

Nu=cReⁿ × Pr^m(Pr_m/Pr_c) ^0,25 .                                             (2.10)

где коэффициенты с и п принимаем по таблице 2.2 в зависимости от вида движения теплоносителя.

При ламинарном обтекании клинообразного тела Re <10⁵ с углом раствора pв число Нуссельта определяется по формуле

       т =1/3+0,067в-0,026в² .               (2.11)

 

При турбулентном обтекании - Re <10⁵

                т =1/3+0,067в-0,026в² .               (2.12)

Таблица 2.2 Значения коэффициентов с, п, и т в уравнении 2.10

Вид движения теплоносителя	с	п	т	Определяющий размер
1	2	3	4	5
Ламинарное вдоль горизонтальной плиты, Re <5×10^5	0,664	0,5	0,33	ширина пластины вдоль потока
Турбулентное вдоль горизонтальной плиты, Re >>5×10^5	0,037	0,8	0,43
Ламинарное в трубе,                Re <2300	0,15	0,33	0,43	внутренний диаметр трубы, dвн
Турбулентное в трубе,             Re =10^4…5×10^6	0,021	0,8	0,43
Переходное в трубе,                 Re =2300…10^4	0,008	0,9	0,43
Ламинарное поперек цилиндра 10^-3< Re <10^3 Re =5…80 Re =80…10^3	0,5 0,92 0,73	0,5 0,4 0,46	0,38 0,40 0,40	наружный диаметр цилиндра, dн
1	2	3	4	5
Турбулентное поперек цилиндра 10^3< Re <10^9 Re =5×10^3…5×10^4 Re >5×10^4	0,25 0,22 0,026	0,6 0,6 0,80	0,38 0,4 0,4
Поперечное обтекание коридорных пучков труб Re <10^3 Re =10^3…10^5	0,56 0,23	0,65 0,65	0,33 0,33	наружный диаметр цилиндра, d н
Поперечное обтекание шахматных пучков труб Re <10^3 Re =10^3…10^5	0,56 0,41	0,65 0,60	0,33 0,33	наружный диаметр цилиндра, d н

При любых режимах движения теплоносителя число Нуссельта при обтекании шара определяется

Nu =2+0,03 Pr ^0,33× Re ^0,54+0,35 Pr ^0,35× Re ^0,58                           (2.13)

В данном уравнении в качестве характерного размера принимается диаметр шара.

Значение числа Нуссельта также можно определить по уравнению Кримера-Лооса:

Nu =2+ Pr ^0,33(0,4× Re ^0,5+0,06 Re ^0,67);                                    (2.14)

или по формуле Ранца-Маршалла:

Nu =2+0,6 Pr ^0,33 Re ^0,5                                               (2.15)

К рассчитанному по (2.10) числу Нуссельта необходимо ввести поправки на изменение среднего коэффициента теплообмена по длине трубы e_е, на изгиб e_изг, изменение теплоотдачи начальных рядов труб (цилиндра) при поперечном обтекании e _i, поправочный коэффициент e _y, учитывающий угол атаки (т.е. угол между осью цилиндра и вектором скорости среды), поправочный коэффициент e _s, учитывающий влияние относительного шага e_s.

Скорость потока, входящая в критерий Re определяется в самом узком сечении пучка как отношение объемного расхода жидкости V (м³/с) к площади S (м²) самого узкого сечения.

a= a_рас × e_е × e_изг × e _i × e_ж × e _s.                                     (2.16)

Поправка на изгиб труб (повороты, змеевики) рассчитывается по формуле

e_изг =1+1,77 d/R,                                             (2.17)

где d – диаметр трубы, м;   R – радиус змеевика, м.

Поправка на изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы, канала при l/ d <50 в зависимости от режима движения принимается по таблице 2.3

 

 

Таблица 2.3 Поправочный коэффициент e _l

Режима движения	Отношение l/ d
	1	2	5	10	15	20	30	40
Ламинарный	1,90	1,70	1,44	1,28	1,18	1,13	1,05	1,02
Турбулентный Re=10^4	1,65	1,50	1,34	1,23	1,17	1,13	1,07	1,03
2×10^4	1,51	1,40	1,27	1,18	1,13	1,10	1,05	1,02
5×10^4	1,34	1,27	1,18	1,13	1,10	1,08	1,04	1,02
10×10^4	1,28	1,22	1,15	1,10	1,08	1,06	1,03	1,02
100×10^4	1,14	1,11	1,08	1,05	1,04	1,03	1,02	1,01

 

Таблица 2.4 Поправочный коэффициент e _y для пучков труб, расположенных под углом y к потоку жидкости

y, град.	90	80	70	60	50	40	30	20	10	0
e y	1	1	0,98	0,94	0,88	0,78	0,67	0,52	0,42	0,40

Поправка на изменение теплоотдачи в начальных рядах пучка труб принимается для:

первого ряда                                        e _i =0,6;

второго ряда коридорного пучка           e _i =0,9;

второго ряда шахматного пучка             e _i =0,7;

третьего и последующего рядов             e _i =1,0.

Поправочный коэффициент e _s, учитывающий влияние относительных шагов S₁/ d и   S₁/ d

Рисунок 3                                                       Рисунок 4

Схема коридорного расположения             Схема шахматного расположения

 

Для коридорного пучка:

e _s=(S₂/ d)^{- 0,15}

Для шахматного пучка

при S₁/ S₂ <2  e _s=(S₁/ S₂) ^1/6; при S₁/ S₂ ³2  e _s =1,12.

Среднее значение коэффициента теплоотдачи для всего пучка труб определяется по формуле

 ,                                                       (2.18)

где a _i - средний коэффициент теплоотдачи i -го ряда;

A_i – суммарная поверхность теплообмена трубок i -го ряда;

п – число рядов в пучке.

Среднее значение коэффициента теплоотдачи в кольцевых каналах можно определить по уравнению

Nu =0,017 Re ^0,8× Pr ^0,4(Pr _ж /Pr_c)^0,25(d₂/d₁)^0,18,                         (2.19)

где d₁ – внутренний диаметр кольцевого канала;

d₂ – внешний диаметр.

Формула (2.19) справедлива при d₂/ d₁ =1,2…14.

l/ d =50…460 и Pr=0,7…100.

Расчет теплоотдачи в пучках труб с круглыми и квадратными ребрами, обтекаемых поперечным потоком газа может быть произведен по следующим уравнениям в области значений

3×10³< Re <25×10³ и 3£ d/в £4,8,        Nu= cRe^m(d/в) ^-0,54(h/в)^-0,14,                        (2.20)

где в – шаг ребр, h =0,5(D- d), где D – диаметр или сторона ребра, d – наружный диаметр трубы. с =0,104 для  коридорных пучков труб с круглыми ребрами, для квадратных ребер с =0,096 и т =0,72 для обоих случаев. Для шахматных пучков с круглыми ребрами с=0,223; с квадратными ребрами с =0,205; в обоих случаях т =0,65.

При продольном обтекании пластины воздухом расчетная формула (2.10) упрощается и принимает вид:

- при ламинарном режиме

Nu =0,57 Re ^0,5;                                            (2.21)

- при турбулентном режиме

Nu =0,32 Re ^0,8;                                            (2.22)

a_рас =5,9 w ^0,8× l ^-0,2.                                        (2.23)

Для воздуха при вынужденном поперечном обтекании трубы можно применить формулу

.                                             (2.24)

Для поверхностей нагретой воды

a_рас =5,7+4,1 w,                                              (2.25)

где w - скорость движения теплоносителя, м/с;

  l – определяющий размер, м.     

Коэффициент теплоотдачи от горизонтальной трубы к воздуху при соответственной конвекции можно определить по формуле

.                                        (2.26)

Для условий вынужденной конвекции, обусловленной ветром

a_рас =4,65 w ^0,7/ d ^0,3.                                          (2.27)

где t_н.п. – температура наружной поверхности, °С;

t_o – температура окружающей среды, °С;

d₂ – наружный диаметр трубы, изоляции, м.

Пример 2.5 Через трубу диаметром 50 мм длиной 3 м изогнутой в виде змеевика диаметром 600 мм протекает горячая вода с температурой 50°С со скоростью w =0,8 м/с. Определить коэффициент теплоотдачи a от стенки к воде, если температура стенки t_c =70°С.

Решение. Определяем параметры воды при t_ж =50°С и t_c =70°C по таблице А5 приложения А.

при t_ж =50°С l_ж =0,648 Вт/(м×К); g_ж =5,56×10^-7 м²/с; Pr_ж =3,54.

при t_с =70°С l_ж =0,668 Вт/(м×К); g_ж =4,15×10^-7 м²/с; Pr_с =2,55.

Рассчитываем число Рейнольдса и число Нуссельта:

Re = w d/ g_ж =0,8×0,05/5,56×10^-7=7,2×10⁴;

Nu =0,021 Re ^0,8 Pr _ж ^0,43(Pr _ж /Pr_c)^0,25=0,021(7,2×10⁴)^0,8×3,54^0,43×(3,54/2,55)^0,25=303.

Вводим поправки e_е и e_изг

l/d =3/0,05=60>50                            e _e =1;

e_изг =1+1,77 d/R =1+1,77×50/300=1,295.

Тогда

 Вт/(м²×К).

Пример 2.6 Определить средний коэффициент теплоотдачи в воздухоподогревателе с поперечным восьмирядным коридорным расположением труб к потоку воздуха. Диаметр труб d =16 мм; S₁ =1,5 d; S₂ =2,0 d.

Средняя скорость воздуха в узком сечении 10 м/с, температура на входе 20°С, на выходе 60°С.

Решение. По средней температуре воздуха t_ср =0,5 =0,5(20+60)=40°С из таблицы А1 приложения А находим физические параметры воздуха: l =27,6×10^-3 Вт/(м×К); n =16,96×10^-6 м²/с и число Прандтля Pr =0,70.

Рассчитываем число Рейнольдса .

Пользуясь формулой (2.10) из таблицы 2.2 для поперечного пучка труб при Re=10³…10⁵ выбираем коэффициенты с =0,26; п =0,65 и т =0,33.

Nu =0,26× Re ^0,65× Pr ^0,33(Pr _ж /Pr_c)^0,25 × e _s,

где для воздуха Pr_ж/Рr_c=1; e_s=(S₂/d)^-0,15=(2d/d)^-0,15=0,901;

Nu=0,26(9434)^0,65×0,70^0,33×0,901=79,82.

Откуда  Вт/(м²×К).

Средний коэффициент теплоотдачи с учетом теплообмена в первом, втором и третьем рядах труб

 Вт/(м²×К).

Пример 2.7 Рассчитать коэффициент теплообмена при замораживании пельменей посредством обдувания их воздухом с температурой t_хл =-30°С и скоростью w =2,5 м/с. Пельмень радиусом R =0,02 м обдувается сверху.

Решение. Поскольку поток воздуха перпендикулярен поверхности пельменя, то используем формулу (2.12) с в =1. В качестве характерного размера берем радиус пельменя.

Параметры воздуха при t =-30° берем из приложения А таблица А1.

Определяем число Рейнольдса g =10,8×10^-6 м²/с

   l =2,2×10^-2 Вт/(м×К)

               Р r =0,723.

Число Нуссельта

Nu =0,061 Pr ^0,374× Re ^0,8=0,061×(0,723)^0,374×(4,629×10³)^0,8=46,24

Коэффициент теплообмена

Вт/(м²×К).

Пример 2.8 В односекционном трубчатом пастеризаторе молоко движется по трубам со скоростью w =1,1 м/с. Диаметр труб 35/32 мм, а общая их длина 18 м. Средняя температура молока 41°С, а поверхности стенок 65°С. Рассчитать тепловой поток воспринимаемый молоком.

Решение. По приложению А таблица А17 определяем теплофизические свойства молока при t_ж =41°С. l_ж =0,565 Вт/(м×к); g_ж =0,922×10^-6 м²/с; Pr_ж =7,57.

При t_ст =65°С Pr_ст =4,36.

Определяем критерий Рейнольдса, характеризующий процесс

Для турбулентного движения в трубе при Re =10⁴…5:10⁶       с =0,21, п =0,8 и т =0,43 и уравнение (2.10) примет вид

Nu_ж =0,21× Re ^0,8× Pr_ж ^0,43(Pr _ж /Pr_ст)^0,25× e_е =0,21×(38178)^0,8×7,57^0,49(7,57/4,36)^0,25=266,42

При l/ d_вн =18/0,032=562>50 e_е =1

Коэффициент теплообмена  Вт/(м²×К).

Определяем Ф (кВт), воспринимаемый молоком

Ф= a × p × d_н × l(t_ст- t_ж) =4703,9×3,14×0,035×18(65-41)=223,3 кВт

Пример 2.9 Алюминиевый электропровод, диаметром 6 мм охлаждается поперечным потоком воздуха при давлении р =1,01×10⁵ Па. Вдали от провода температура и скорость движения воздуха соответственно t_ж =20°С; w =1,2 м/с. Удельное электрическое сопротивление провода r =2,86×10^-8 Ом×м м²/м.

Найти температуру поверхности провода, если поверхностная плотность теплового потока q =2,7 кВт/м², а также силу тока в электропроводе, при котором будет обеспечена заданная поверхностная плотность теплового потока.

Решение. Определяем теплофизические свойства воздуха при заданной температуре 20°С по приложению А таблица А1 l_ж =2,59×10^-2 Вт/(м×К); g_ж =15,06×10^-6 м²/с, Pr_ж =0,703.

Для вынужденного движения при w=1,2 м/с находим критерий Рейнольдсона

При Re =478,08 коэффициент с =0,79; п =0,46 и т =0,40 и уравнение (2.10) примет вид

Nu_ж =0,79 Re ^0,46× Pr_ж ^0,40=0,79×(478,08)^0,46×(0,703)^0,40=11,72

Коэффициент теплообмена  Вт/(м²×К)

Температура на поверхности провода

t_ст= t_ж+ q/ a =20+2.7×10³/50.6=73.36°C

Из уравнения энергетического баланса

a p dl(t_ст- t_ж)= J² R, определяем силу тока J

где ; ;

А