Моделирование  конвективного  теплообмена

Теперь подробнее рассмотрим применение теории подобия к анализу процессов конвективного теплообмена.

Пусть имеются две подобные между собой системы.

Уравнение энергии, описывающее распределение температур внутри движущейся жидкости

Здесь     - характеризует изменение температуры во времени.

Член    характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, т.е. являет­ся конвективным изменением t.

Производные определяют интенсивность

изменения градиента температуры по направлению оси X. В таком случае подобные выражения могут служить мерой интенсивности из­менения потока тепла в направлении оси Х (т.к. ). Поэтому величина характеризует различие между тепловым потоком, подходящим к данной точке, и потоком, отходящим от нее. Именно этим различием и обусловлено изменение температу­ры в данной точке. То же самое можно сказать о направлениях по осям Уи Z.

Следовательно, получаем пространственное распределение температуры вблизи точки поверхности. Уравнение теплоотдачи конвекцией на границе тел.

                         

Вот этими двумя уравнениями и описываются условия, при кото­рых геометрически и механически подобные системы подобны и в тепловом отношении.

Итак, для первой системы будем иметь следующие уравнения теплопроводности и конвективного теплообмена

 

   (79)                        

и для второй системы соответственно:

(80)

на основании теории подобия имеем

         (81)

 

    Заменяя переменные второй системы через переменные первой получим систему II в виде

                                (82)                 

Из обоих уравнений эти величины следует определять одним и тем же способом, Это возможно только при условии тождества уравнений, а для этого необходимо, чтобы комплексы, состав­ленные из констант подобия были одинаковые, а, следовательно, сократились. Отсюда возникают ог­раничительные условия

                            (83)

Рассмотрим члены предыдущего равенства попарно и получим:

               (84)

              (85)

                    (86)

Подставляя теперь вместо констант подобия ихзначение из со­отношения (84,85,86) и произведя разделение переменных, по­лучим критерии теплового подобия

             (критерий Фурье)

        (критерий Пекле) (87)

            (критерий Нуссельта)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Таким образом, при тепловом моделировании между собой двух или нескольких систем для любых сходственных точек критерии подобия Fо, Ре и Nu  должны иметь одно и тоже значение. Критерий Рr можно преобразовать и представить в виде произведения двух критериев, а именно:

                            ,

       или же   

Этот критерий получил название критерия Прандтля, который име­ет большое практическое значение в теплообмене. При экспериментальном изучении теплообмена конвекцией искомой величиной является коэффициент теплоотдачи α. Так как коэффициент теплоотдачи α входит в критерий Nu, то окончательное критериальное уравнение теплообмена имеет следующий вид:                           

                                Nu = f (Fо, Rе, Pr)                            (88)

В применении к отдельным задачам общее уравнение может быть упрощено, На основании второй теоремы подобия и для случая теплопередачи конвекцией может быть установлена соответству­ющая зависимость между определенными и определяющими крите­риями, Например, для стационарного вынужденного движения кри­териальное уравнение конвективного теплообмена принимает вид:

                             Nu = f (Rе, Pr,  ... )                      (89)   

Для свободного движения:

                           Nu = φ (Gr, Pr,  ... )                       (90)   

где l_о - основной размер системы, например, диаметр;

      l  - дл на трубы.

Критериальное уравнение конвекции составляют на основе тщательного анализа теплового процесса. Обычно зависимости между критериями подобия в этом случае представляются в виде степенных функций, например

                                                          (91)

где с, п, т, и к, - постоянные числа

Ввиду того что физические константы, входящие в выражение критериев Rе, Pr,  и т.д. зависят от температуры, возникает необходимость учесть, так называемый температурный фактор Т_ст/ Т_w, в котором Т _ст - абсолютная температура обтекаемого твердого тела., а Т_w, - средняя температура, потока жидкости или газов.

В результате этого уточнения для конвективного теплообме­на можно принять, что

                        Nu = φ (Rе, Pr, ,  )                        (92)   

В большинстве случаев температурные функции физических кон­стант можно приближенно апроксимировать линейной зависимостью и в результате перейти к формуле

                      Nu = φ (Rе, Pr, ,  )                        (93)   

где μ_ст - коэффициент динамической вязкости потока при тем­пературе стенки;

    μ_w - то же, но при температуре ядра потока.