Производная функции нескольких переменных

Для нахождения производной функции нескольких переменных используют частные производные первого, второго и т.д. порядков.

При этом та переменная, по которой производная не находится, считается константой.

Для нахождения частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Определение 4. Частной производной от функции z=f(x,y) по независимой переменной х называется конечный предел

,

Обозначается:

 ,

Определение 5. Частной производной от функции z=f(x,y) по независимой переменной y называется конечный предел

,

Обозначается:

 ,

Определение 6. Частными производными второго порядка от функции z=f(x,y) называются частные производные от ее частных производных

 =

 =

 =

Входной контроль

1.Определение функции двух переменных

2.Определение функции трех переменных

3.Определение функции нескольких переменных

4.Определенеие частной производной функции двух переменных по переменной х

5.Определенеие частной производной функции двух переменных по переменной у

6. Определение частных производных второго порядка

Ход работы

1. Найти частные производные первого порядка

1) z= 5sinx-2cosy

2) z=6x²y³

3) z=x²-3xy-4y²

4) z=1-x+2y

5) z=siny cosx

2. Найти частные производные второго порядка

1) z=x⁴y²

2) z=x³-3xy-4y⁵

3) z=siny-cosx

 

Выходной контроль

1 вариант

1.Найти частные производные первого порядка (каждое задание 1 балл)

1) z= 3 -tgy

2) z=x⁷y⁵

3) z=2ctgy-lnx

 

2.Найти частные производные второго порядка (каждое задание 2 балла)

1) z=7x³y⁶

2) z=2x+5x ³y-y⁴

2 вариант

1.Найти частные производные первого порядка (каждое задание 1 балл)

1) z= 3ctgx-lny

2) z=x³y⁴

3) z=tgy-3

 

2.Найти частные производные второго порядка (каждое задание 2 балла)

1) z=3x⁵y²

2) z=x⁹-x y⁴+3y²

 

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 13

Тема: Интегрирование простейших функций

Цель: Научиться интегрировать простейшие функции

Теоретические основы

Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Совокупность (множество) всех первообразных от данной функции называется неопределенным интегралом от этой функции. Операция нахождения совокупности первообразных называется неопределенным интегрированием. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

Неопределенный интеграл от функции f (x) обозначают символом ∫ f (x) dx

здесь х - переменная интегрирования, f (x) - подынтегральная функция, dx -дифференциал переменной интегрирования, f (x) dx - подынтегральное выражение.

По определению неопределенного интеграла имеем ∫f(x)dx = F(x)+C,

где F(x) - любая первообразная от функции f(x) - любая первообразная от
функции f(x), С - любое число, так называемая постоянная интегрирования.
Из формул дифференцирования можно получить формулы интегрирования функций. 

Свойства неопределенного интеграла.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Таблица интегрирования

1.  (n≠-1).

2.  (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.