Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: v(t)= x^|(t)

Входной контроль

1 В чем заключается решение прикладных задач при помощи производной

2 В чем заключается физический смысл производной

3В чем заключается геометрический смысл производной

Ход работы

1.Найдите скорость износа оборудования за период равный 5лет, если его износ изменяется по закону:

2. Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону . Найти силу тока и скорость изменения силы тока в момент времени t=  c

 3.Тело, масса которого равна 0,2 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через три секунды после начала движения.

4.Найдите величину силы F, действующей на точку массой 0,1 кг, движущуюся по закону: , при t =1 c

Выходной контроль

Каждая задача -2 балла

1 вариант

1.Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону . Найти силу тока в момент времени t=5 c.

2.Точка движется прямолинейно по закону . Найти момент времени, при котором скорость точки окажется равной нулю.

3.Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение в момент времени t=4 c.

4.Тело, масса которого равна 0,11 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через две секунды после начала движения.

2 вариант

1.Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2 t² – 5 t. Найти скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

2.Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость в момент времени t=4 c.

3.Закон прямолинейного движения тела задан уравнением . Найти максимальную скорость движения тела.

4.Найдите величину силы F, действующей на точку массой 0,2 кг, движущуюся по закону: , при t =2 c

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7-8	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 5	менее 70	2	неудовлетворительно

 

 

Практическое занятие № 7

Тема: Приложение дифференциала к приближённым вычислениям

Цель: Научиться применять дифференциал к приближённым вычислениям

Теоретические основы

Пусть функция y = f(х) дифференцируема на отрезке [a, b], содержащем некоторую точку x. Тогда производная в этой точке x определятся равенством . Из этого равенства (по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции) следует, что

,

где α(Δx) – б.м.ф. при . Отсюда

то есть приращение ∆у функции f(х), дифференцируемой в точке х, можно представить в виде суммы двух слагаемых, которые являются бесконечно малыми:

– линейного члена относительно Δx

и α(Δx)· Δx – нелинейного члена.

Первое слагаемое называют главной частью приращения функции Δy.

Определение. Главная часть приращения функции f(х), линейная относительно приращения независимой переменной ∆х, называется дифференциалом функции f(х) в точке х, т.е. это произведение производной f'(x) на приращение независимой переменной ∆х:

dy =df(x)=f'(х)·∆х.

Замечание 1. Дифференциал функции составляет основную (главную) часть ее приращения, линейную относительно ∆х.

Например, приращение функции у = х² в точке х = 1, вызванное приращением аргумента

 dх = 0,1, есть величина

∆у = (х + ∆х)² – х² = (1 + 0,1)² – 1² = 0,21.

Дифференциал функции в этой точке равен

dy = f'(х) · ∆х = 2 · х · ∆х = 2 · 1 · 0,1 = 0,2.

Таким образом, на нелинейную часть приращения α(Δx) · ∆х приходится величина 0,01 из полной величины приращения 0,21.

Замечание 2. Дифференциал аргумента совпадает с его приращением (dх=∆х), поэтому дифференциал функции записывается в виде

dy = df(х) = f'(x) dx,

т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала: dy = KN, т.е. дифференциал функции f(х) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение Dх.

Дифференциал к приближённым вычислениям применяется по формуле:

, где

Пример 1. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию в окрестности точки x =1.Найдем производную функции

∆х = 1-0,07=0,07, получим из формулы:

Пример 2. Найти приближенно sin31⁰.

Решение.

Пусть x=31⁰, x₀=30⁰ тогда ∆х =31^0-30⁰=1⁰

Перейдем из градусной меры угла в радианную:

f(x)= sinx, тогда значит:

  f(30⁰)= sin30⁰=0,5;

Используя формулу получим:

Входной контроль

1. Дайте определение дифференциала функции

2. Запишите формулу применения дифференциала в приближенных вычислениях

 

Ход работы

1.Найдите дифференциал функции:

1) y= x³-2x+5 2) y= 3) y=       4)y=sin(5x-7)

2.Вычислите приближенно:

3)  4) tg 5) cos 6) ln 0,998

Выходной контроль

1 вариант

1.Найдите дифференциал функции (каждое задание-1 балл):

1) y=x⁴+6x+7 2) y= 3) y=       4)y=tg(1-x)

2.Вычислите приближенно (каждое задание-3 балла):

1)  , 2) 2)  , 3) , 4) sin , 5) ln1,233

2 вариант

1.Найдите дифференциал функции (каждое задание-1 балл):

1) y=x⁵-3x+11 2) y= 3) y=       4)y=ctg(8-x)

2.Вычислите приближенно (каждое задание-3 балла):

1) ) , 4) sin

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
18-19	90 ÷ 100	5	отлично
16-17	80 ÷ 89	4	хорошо
14-15	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 14	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 8

Тема: Исследование функции. Построение графиков

Цель: Научиться исследовать функции. Строить графики.

Теоретические основы

План исследования функции и построения ее графика

1. Область определения.

2. Четность, нечетность.

3. Производная.

4. Стационарные и критические точки.

5. Знаки производной, промежутки монотонности.

6. Экстремумы функции.

7. Точки пересечения с осями координат

8. График.

Пример.

1. Исследуйте функцию и постройте график:

а) Функция определена для всех , непрерывна.

б)  ни чётная, ни нечётная.

в)    

г) -   0  +     2    -     

 

х=0 точка min;

x=2 точка max;

 возрастает при

             убывает при

д) Найдём экстремумы функции:

е) Найдём пересечение с осью Ох, для этого решим уравнение:

Построим график.                        у

                                           

 

 

                                                                                  

Входной контроль

1. Запишите план исследования функции и построения ее графика.

                                                                        Ход работы        

Постройте графики функций

  

Выходной контроль

Постройте графики функций

1 вариант

1)  (7 баллов) у=х³-12х²+36х

2 вариант

1)  (7 баллов) у=х³-6х²

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 5	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 9

Тема: Решение прикладных задач с помощью производной и дифференциала

Цель: Научиться решать прикладные задачи с помощью производной и дифференциала

Теоретические основы

Решение прикладных задач посредством математики, как правило, содержит три основных этапа:

1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики),

2) решение полученной математической задачи,

3)   интерпретация найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

Решение разнообразных прикладных задач часто сводится к нахождению дифференциала функции.

Для решения данных задач используем схему:                                                                            1) задача переводится на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x),                                                                                   2) средствами анализа ищется приближенное значение этой функции с использованием дифференциала,                                                                                                                                                  3)выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный на языке функций) результат.

Формула нахождения приближенного значения функции с использованием дифференциала:

Пример. Вычислите приближённо объём сферического слоя, если известно, что радиус внутренней поверхности R=0,5 м, а толщина равна 0,1 м 

Решение

 

 

Объём шара равен  

Объём сферического слоя есть приращение объёма шара, вызванное изменением радиуса от 0,5 до 0,6 м. Приращение объёма шара заменяем дифференциалом:  

 

Подставим числовые значения R=0,5; dR=0,1

Имеем:

Решение разнообразных прикладных задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции. Для решения данных задач используем схему:                                                      1) задача переводится на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x),                                                                                   2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке,                                                                                                                                                  3)выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный на языке функций) результат.

Правило для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

1) Нахождение производной функции

2) Нахождение критических точек (точек, в которых производная функции равна нулю или не существует)

3) Нахождение значений функции в концах отрезка и критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Пример Найдите наибольший объём цилиндра, вписанного в данный конус

Решение

Пусть задан конус с высотой H и радиусом R. Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус основания цилиндра, вписанного в данный конус.

Обозначим BM=x. Тогда

и r=R-x

Объём цилиндра равен  подставим и получим

 

 

Определим, при каком значении х объём цилиндра будет принимать наибольшее значение. Най дём производную:

Найдем критические точки:  при . Решая полученное уравнение получим:

+         -           

 

0        

Следовательно, в точке функция имеет максимум, то  является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров. 

Входной контроль

1.Перечислите этапы решения прикладных задач

2.Запишите схему применения дифференциала для решения прикладных задач

3. Запишите формулу нахождения приближенного значения функции с использованием дифференциала,                                                                                                                                                  

4.Запишите схему применения производной для решения прикладных задач

5.Запишите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Ход работы

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x⁴-2x²+3 на отрезке [-3,2]

2.Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

 (ед), 0 рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость через час после начала работы и до ее окончания.

3.Электронагревательный прибор потребляет мощность от источника тока, э.д.с. которого равна E, а внутреннее сопротивление и сопротивление подводящих проводов в сумме равны r. Какое сопротивление R должен иметь прибор, чтобы в нем выделялась максимальная мощность?

4.На какой высоте над центром круглого стола радиуса 0,75м следует поместить лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей? Яркость освещения выражается формулой E , где b– расстояние от источника света до освещаемой площадки.

Выходной контроль

1 вариант

1.(3 балла) Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=3x⁵-5x³ на отрезке [-2,3]

2. (3 балла) Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

 (ед), рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость через три часа после начала работы и до ее окончания.

2 вариант

1.(3 балла) Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x⁴-8x²-9 на отрезке [-1,1]

2. (3 балла) Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

 (ед), рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость через два часа после начала работы и до ее окончания.

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
6	90 ÷ 100	5	отлично
5	80 ÷ 89	4	хорошо
4	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 4	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 10

Тема: Вычисление пределов функций в точке и на бесконечности

Цель: Научиться вычислять пределы функций в точке и на бесконечности

Теоретические основы:

Определение: Число в называется пределом функции  при ; если для любого положительного числа Е можно указать такой интервал, содержащий точку  будет выполняться .

Смысл выражения  заключается в следующем: если значения аргумента выбираются всё ближе и ближе к значению , то значения функции всё меньше и меньше отличаются от предельного значения в.

Приведём без доказательства основные теоремы о пределах функций.

1. Предел константы равен самой константе:     
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:   
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций.  

Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю.

Первый замечательный предел

                                           

                                           Второй замечательный предел

                                        

Пример.

1)

 

2)

Входной контроль:

1.Запишите формулы первого замечательного предела

2.Запишите формулы второго замечательного предела

Ход работы:

1.Вычислите предел: а)  б)  в)  г)

2.Вычислите предел:

а)       б)    в)   

3.Вычислите предел:

а)  б)

Выходной контроль

Вычислите пределы функций:

1 вариант

1) (1балл)

2) (1балл)  

3) (2балла)

4) (1балл)  

5) (3балла)  

 

2 вариант

1) (1балл)  

2) (1балл)  

3) (1балл)  

4) (2балла)  

5)  (3балла)  

 

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7-8	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 5	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 11

Тема: Дифференцирование сложных функций.

Цель: Научиться находить производные сложных функций.

Теоретические основы

Производная.

Пусть  - непрерывная функция, определённая на интервале (а;b),  - приращение аргумента;

- приращение функции в точке х.

Производной функции  в точке х называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при .

Обозначение:  или .

функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Производная элементарных функций.

                         

Правила дифференцирования.

Производная сложной функции.

Если у есть функция от u: , где , то есть если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то  называется функцией от функции или сложной функцией.

            

Производная сложной функции равна произведению её                          

 производной по промежуточному аргументу на производную                                                                                                                                  этого аргумента по независимой переменной.

Входной контроль

1.Определение производной

2.Таблица производной элементарных функций

3.Формулы дифференцирования

4.Производная сложной функции

Ход работы

Найти производные сложных функций.

Выходной контроль

Найдите производные функций (каждое задание -2 балла)

1 вариант

1) ;

2) .

3)

4)

5)

2 вариант

1)

2)

3) ;

4)

5)

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
9-10	90 ÷ 100	5	отлично
8	80 ÷ 89	4	хорошо
7	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 7	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 12

Тема: Нахождение частных производных

Цель: Научиться находить частные производные

Теоретические основы

Определение 1. Функцией двух переменных называется функция вида: z=f(x,y)

Определение 2. Функцией трех переменных называется функция вида: F=f(x,y,z)

Определение 3. Функцией нескольких переменных называется функция вида: F=f(x,y,z,…)