Лекция 21. Продольгый изгиб. Критическая сила, критичес-

                   кое напряжение.Формулы Эйлера и Ясинского.

                   Расчёты на устойчивость.

Продольным изгибом называется изгиб бруса, вызванный сжимающей нагрузкой. При продольном изгибе брус теряет свою устойчивость. Величина нагрузки, до которой устойчивость бруса сохраняется, а после которой теряется, называется критической силой. Величина критической силы для бруса большой гибкости определяется по формуле Эйлера где

Е – модуль продольной упругости материала бруса;

- минимальный осевой момент инерции поперечного сечения бруса;

𝛍 – коэффициент, зависящий от способов крепления концов бруса; , если один конец бруса жёстко закреплён, а другой свободен; , если оба конца бруса имеют опоры; , если один конец бруса жёстко закреплён, а второй имеет опору; , если оба конца бруса жёстко закреплены (см. рисунок 63).

𝒍 – длина бруса.

 

𝛍 = 0,7            𝛍 = 1                   𝛍 = 2                      𝛍 = 0,5

Рисунок 63. Значения коэффициента 𝛍 для различных способов

                                       закрепления концов бруса.

Брус считается большой гибкости, если его гибкость больше предельной гибкости.

Гибкость бруса зависит от продольных и поперечных размеров бруса и от способов   

крепления его концов. Она определяется по формуле: 𝛌 = , где

 – минимальный радиус инерции поперечного сечения бруса.

 Предельная гибкость зависит от материала бруса и определяется по формуле:

= 𝛑 , где - предел пропорциональности материала бруса.

В частном случае для стали (Е =200000 Н/ ,  = 200 Н/ )  = 100. Таким

образом, стальной брус считается брусом большой гибкости, если его гибкость боль-               ше, или равна 100, т.е. 𝛌 ≥ 100.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, называют критическим напряжением. . Определим критическое напряжение, исходя из формулы Эйлера:

Введём подстановку:  - минимальный радиус инерции. Тогда . Разделив числитель и знаменатель на , получим: . Величину, стоящую в скобках в знаменателе стали называть гибкостью стержня и обозначать .

С учётом этого, окончательно, критическое напряжение будет определяться по формуле: . Формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. Е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня: .

Величину, стоящую в правой части этого неравенства называется предельной гибкостью. В отличии от гибкости стержня, представляющей собой его геометрическую характеристику, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня и является постоянной для данного материала. Итак .

Сжатые стержни в зависимости от их гибкости подразделяются на три категории:

1.  Стержни большой гибкости – это стержни гибкость которых больше, или равна предельной гибкости: λ =  ≥ где

- гибкость стержня;

- коэффициент, зависящий от способов крепления концов стержня;

l – длина стержня;

- минимальный радиус инерции поперечного сечения бруса;

- предельная гибкость;

 Е – модуль продольной упругости материала бруса;

- предел пропорциональности материала бруса.

 Величина гибкости стержня зависит от его продольных, поперечных размеров, а также от способа крепления его концов.

Величина предельной гибкости зависит от свойств материала стержня. В частности предельная гибкость стали = 100.

Критическое напряжение для стержней большой гибкости определяется по формуле Эйлера:

2. Стержни средней гибкости – это стержни, гибкость которых меньше предельной, но больше нулевой гибкости: > > . Нулевой гибкостью считается гибкость, при которой критическое напряжение соответствует предельному (пределу текучести  для пластичных материалов, пределу прочности при сжатии  для хрупких материалов, условному пределу текучести для хрупко пластичных материалов). В частности, для стали нулевая гибкость . Критическое напряжение для стержней средней гибкости определяется по формуле Ясинского: , где

а, в, с – коэффициенты, зависящие от свойств материала.

3. Стержни малой гибкости – это стержни, гибкость которых меньше, или равна нулевой: . Такие стержни не теряют устойчивости, т.к. их критические напряжения соответствуют предельным напряжениям.

Расчёты на устойчивость.      Устойчивостью называется способность бруса сохранять первоначальную форму равновесия под действием сжимающей нагрузки. Расчёты на устойчивость проводятся на основе условия устойчивости:   или , где

F – сжимающая нагрузка;  - критическое напряжение;

 - допускаемая сжимающая нагрузка;

F_KP – критическая сила;  - допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

- нормальное напряжение сжатия;  - допускаемое нормальное напряжение сжатия;

Расчёты на устойчивость проводятся по двум методикам.

 1. С применением формул Эйлера или Ясинского для определения критических сил и критических напряжений.

 2. По коэффициентам продольного изгиба.

Первая методика предполагает определить первоначально категорию гибкости бруса, а затем по формулам Эйлера (для 1 категории), или Ясинского (для 2 категории) найти критическую силу, или критическое напряжение. Брус считается 1 категории гибкости (большой гибкости), если его гибкость больше предельной гибкости для материала бруса, т. е.:

, где

 - гибкость бруса;

 - коэффициент, зависящий от способа крепления концов бруса (, если один конец бруса жёстко закреплён, а другой свободен; , если оба конца бруса имеют опоры; , если один конец бруса жёстко закреплён, а второй имеет опору; , если оба конца бруса жёстко закреплены).

 - минимальный радиус инерции поперечного сечения бруса ( для круглого поперечного сечения,  для прямоугольного поперечного сечения, для фасонных прокатных профилей величина  выбирается по таблицам сортамента);

 - предельная гибкость. Для стального бруса .

Брус считается 2 категории (средней гибкости), если его гибкость меньше предельной гибкости, но больше нулевой гибкости, т. е.: , где

 - нулевая гибкость для материала бруса. Для стального бруса .

Формулы Эйлера, применяемые для определения критической силы, или критического напряжения: . Формула Ясинского, применяемая для определения критического напряжения: , где а, b,с – коэффициенты, зависящие от материала бруса. Для стального бруса а = 304 Н/мм², b = 1,12 Н/мм², с = 0.

Вторая методика позволяет определять допускаемую нагрузку без учёта категории гибкости бруса. Расчёт на устойчивость сводится к расчёту на прочность при сжатии, но по пониженным допускаемым напряжениям. Коэффициент, понижающий допускаемые напряжения, называется коэффициентом продольного изгиба. Его величина выбирается по специальным таблицам в зависимости от материала бруса и гибкости бруса. Формула для определения допускаемой нагрузки по второй методике имеет вид:

, где

 - допускаемое напряжение сжатия материала бруса;

А – площадь поперечного сечения бруса;

 - коэффициент продольного изгиба.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТА.

Определить допускаемую сжимающую нагрузку для бруса (рисунок 64), если его длина м, поперечное сечение двутавр №14, оба конца имеют опоры, допускаемое напряжение сжатия Н/мм², допускаемый коэффициент запаса устойчивости

1. Решаем эту задачу по первой методике, т. е. с применением формул Эйлера, или Ясинского:              

Определяем гибкость бруса: .

 Брус относится к первой категории гибкости. При определении гибкости ,

Рисунок 64. т.к. оба конца бруса имеют опоры; ммпо сортаменту для двутав-

Схема бруса. ра №14 (таблица 23). Критическую силу определим по формуле Эйлера.

H = 105,4кН.

    В этой формуле минимальный осевой момент инерции  взят из сортамента для

двутавра №14 (таблица 23), Н/мм² - модуль продольной упругости стали.

Допускаемую нагрузку определим по формуле: кН.

2. Решаем эту же задачу по второй методике: по гибкости бруса и материалу сталь по таблице 20 определим коэффициент продольного изгиба . При этом воспользуемся методом интерполяции: при гибкости , а при гибкости .

Гибкость увеличилась на 10 единиц, а коэффициент продольного изгиба уменьшился на 0,02, следовательно при увеличении гибкости на одну единицу коэффициент продольного изгиба уменьшится на 0,002 и при . Допускаемая нагрузка для бруса составит: Н = 515,7кН. В этой формуле величину площади поперечного сечения А выберем из сортамента для двутавра №14 (таблица 23). Как видно, результаты, полученные при применении обеих методик, не намного отличаются друг от друга.

Решим эту же задачу, изменив способы крепления концов бруса на жёсткие .

Первая методика:  - брус относится ко второй категории гибкости. Критическую силу определим с применением формулы Ясинского:

Н = 353кН.

Допускаемая нагрузка кН Коэффициенты а, b, c взяты из таблицы 19.

Вторая методика: по таблице 20, применяя метод интерполяции, определим .

Допускаемая нагрузка кН.

Как видно из расчёта, изменив способы крепления концов бруса, можно изменить категорию его гибкости и увеличить его грузоподъёмность.

Таблица 19.           Коэффициенты, входящие в формулу Ясинского [10].

Материал бруса	Коэффициенты
	а, Н/мм2	b, Н/мм2	с, Н/мм2
Стали Ст.2, Ст.3	304	1,12	0
Сталь Ст.5	455	3,55	0
Чугун	761	11,77	0,052
Дерево	28,7	0,19	0

Таблица 20.  Коэффициент продольного изгиба для сжатого бруса [10].

 

Гибкость бруса	Материал бруса.
	Стали Ст.2; Ст.3	Сталь Ст.5	Чугун	Дерево.
0	1	1	1	1
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,8
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,6
80	0,75	0,7	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,2	0,38
100	0,6	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43	-	0,25
120	0,45	0,36	-	0,22
130	0,4	0,33	-	0,18
140	0,36	0,29	-	0,16
150	0.32	0,26	-	0,14
160	0,29	0,24	-	0,12
170	0,26	0,21	-	0,11
180	0,23	0,19	-	0,1
190	0,21	0,17	-	0,09
200	0,19	0,16	-	0,08

Задача для самостоятельного решения. Для одной из схем, показанной на рисунке 65, по данным таблицы 21 определить допускаемую нагрузку для бруса.

Рисунок 58. Расчётные схемы бруса для задания 4.6

Таблица 22.                        Варианты задания 4.6.

 

Вариант	Расчётная схема	Длина бруса м.	Размеры поперечных сечений в мм.
			B	h	d
1	1	1.2	-	-	40	1,8
2	1	1.3	15	30	-	1,7
3	1	1.4	-	-	42	1,9
4	1	1.5	18	36	-	2
5	2	1	14	28	-	1,8
6	2	1.5	-	-	45	1,7
7	2	1.8	20	40	-	1,9
8	2	2	-	-	60	2
9	3	1.3	-	-	40	2,1
10	3	1.2	15	30	-	2
11	3	1.4	-	-	38	2,1
12	3	1,5	22	44	-	2,2
13	4	1,5	25	50	-	1,7
14	4	1.6	-	-	34	1,8
15	4	1.7	20	40	-	1,9
16	4	1.8	-	-	42	2
17	1	2	-	-	58	1,7
18	1	1.8	25	50	-	1,6
19	1	1.7	-	-	40	1,5
20	1	1.6	20	40	-	1,6
21	2	1.5	18	36	-	1,7
22	2	1.4	-	-	45	1,8
23	2	1.3	14	28	-	2
24	2	1.2	-	-	42	1,7
25	3	1.5	20	40	-	1,6
26	3	1.4	-	-	50	2,2
27	3	1.3	16	32	-	2,5
28	3	1.2	-	-	48	2,4
29	4	2	25	50	-	1,9
30	4	1.8	-	-	52	1,8

 

С О Р Т А М Е Н Т

Таблица 23. Сталь горячекатаная, балки двутавровые. ГОСТ 8239-89 [10].

Номер балки.	h, мм.	b, мм.	d, мм.	А, см2	Ix, см4	Wx, см3	ix, см	Iy, см4	Wy, см3	iy, см
10	100	55	4,5	12	193	39,7	4,06	17,9	6,49	1,22
12	120	64	4,8	14,7	350	58,4	4,88	27,9	8,72	1,38
14	140	73	4,9	17,4	572	61,7	5,73	41,9	11,5	1,55
16	160	81	5	20,2	873	109	6,57	58,6	14,5	1,7
18	180	90	5,1	23,4	1290	143	7,42	82,6	18,4	1,88
20	200	100	5,2	26,8	1840	184	8,28	115	23,1	2,07
22	220	110	5,4	30,6	2550	232	9,13	157	28,6	2,27
24	240	115	5,6	34,8	3460	289	9,97	198	34,5	2,37
27	270	125	6	40,2	5010	371	11,2	260	41,5	2,54
30	300	135	6,5	46,5	7080	472	12,3	337	49,9	2,6
33	330	140	7	53,8	9840	597	13,5	419	59,9	2,79
36	360	145	7,5	61,9	13380	743	14,7	516	71,1	2,89
40	400	155	8	72,6	19062	953	16,2	667	86,1	3,03
45	450	160	8,6	84,7	27696	1231	18,1	808	101	3,09
50	500	170	9,5	100	39727	1589	19,9	1043	123	3,23
55	550	180	10,3	118	55962	2035	21,8	1356	151	3,39
60	600	190	11,1	138	76806	2560	23,6	1725	182	3,54
65	650	200	12	153	101400	3120	25,8	2170	217	3,77
70	700	210	13	176	134600	3840	27,7	2730	260	3,94

 

Обозначения: h – высота профиля; b – ширина полки; d – толщина стенки; А – площадь профиля; I – момент инерции; W – момент сопротивления; i – радиус инерции.

Таблица 24.         Сталь прокатная. Швеллеры. ГОСТ 8240-89 [10].

 

№ профиля.	h мм.	b мм.	d мм	A см2	Ix см4	Wx См3	ix см	Iy см4	Wy см3	iy см.	z0 см.
5	50	32	4,4	6,16	22,8	9,1	1,92	5,61	2,75	0,954	1,16
6,5	65	36	4,4	7,51	48,6	15	2,54	8,7	3,68	1,08	1,24
8	80	40	4,5	8,98	89,4	22,4	3,16	12,8	4,75	1,19	1,31
10	100	46	4,5	10,9	174	34,8	3,99	20,4	6,46	1,37	1,44
12	120	52	4,8	13,3	304	50,6	4,78	31,2	8,52	1,53	1,54
14	140	58	4,9	15,6	491	70,2	5,6	45,4	11	1,7	1,67
14а	140	62	4,9	17	545	77,8	5,66	57,5	13,3	1,84	1,87
16	160	64	5	18,1	747	93,4	6,42	63,3	13,8	1,87	1,8
16а	160	68	5	19,5	823	103	6,49	78,8	16,4	2,01	2
18	180	70	5,1	20,7	1090	121	7,24	86	17	2,04	1,94
18а	180	74	5,1	22,2	1190	132	7,32	105	20	2,18	2,13
20	200	76	5,2	23,4	1520	152	8,07	113	20,5	2,2	2,07
20а	200	80	5,2	25,2	1670	167	8,15	139	24,2	2,35	2,28
22	220	82	5,4	26,7	2110	192	8,89	151	25,1	2,37	2,21
22а	220	87	5,4	28,8	2330	212	8,99	187	30	2,55	2,46
24	240	90	5,6	30,6	2900	242	9,73	208	31,6	2,6	2,42
24а	240	95	5,6	32,9	3180	265	9,84	254	37,2	2,78	2,67
27	270	95	6	35,2	4160	308	10,9	262	37,3	2,73	2,47
30	300	100	6,5	40,5	5810	387	12	327	43,6	2,84	2,52
33	330	105	7	46,5	7980	484	13,1	410	51,8	2,97	2,59
36	360	110	7,5	53,4	10820	601	14,2	513	61,7	3,1	2,68
40	400	115	8	61,5	15220	761	15,7	642	73,4	3,23	2,75

 

Обозначения: h – высота профиля; b – ширина полки; d – толщина стенки; А – площадь профиля; I – момент инерции; W – момент сопротивления; i – радиус инерции; z₀ – расстояние от центра тяжести до наружной грани стенки.

Таблица 25.      Сталь прокатная угловая равнобокая ГОСТ 8509-93 [10].

 

№ профиля	Ширина полки B, мм	Толщина полки d, мм.	Площадь профиля А, см2.	Расстояние от внешней грани полки до центра тяжести z0, см.
2	20	3	1,13	0,6
		4	1,46	0,64
2,5	25	3	1,43	0,73
		4	1,86	0,76
2,8	28	3	1,62	0,8
3,2	32	3	1,86	0,89
		4	2,43	0,94
3,6	36	3	2,1	0,99
		4	2,75	1,04
4	40	3	2,35	1,09
		4	3,08	1,13
4,5	45	3	2,65	1,21
		4	3,48	!,26
		5	4,29	1,3
5	50	3	2,96	1,33
		4	3,89	1,38
		5	4,8	1,42
5,6	56	3,5	3,86	1,5
		4	4,38	1,52
		5	5,41	1,57
6,3	63	4	4,96	1,69
		5	6,13	1,74
		6	7,28	1,78
7	70	4,5	6,2	1,88
		5	6,86	1,9
		6	8,15	1,94
		7	9,42	1,99
		8	10,7	2,02
7,5	75	5	7,39	2,02
		6	8,78	2,06
		7	10,5	2,1
		8	11,5	2,15
		9	12,8	2,18
8	80	5,5	8,63	2,17
		6	9,38	2,19
		7	10,8	2,23
		8	12,3	2,27
№ профиля.	Ширина полки B, мм.	Толщина полки d, мм.	Площадь профиля А, см2.	Расстояние от внешней грани до центра тяжести z0, см.
9	90	6	10,6	2,43
		7	12,3	2,47
		8	13,6	2,51
		9	13,9	2,55
10	100	6,5	12,8	2,68
		7	13,8	2,71
		8	15,6	2,75
		10	19,2	2,83
		12	22,8	2,91
		14	26,3	2,99
		16	29,7	3,06
11	110	7	15,2	2,96
		8	17,2	3
12,5	125	8	19,7	3,36
		9	22	3,4
		10	24,3	3,45
		12	28,9	3,53
		14	33,4	3,61
		16	37,8	3,68
14	140	9	24,7	3,78
		10	27,3	3,82
		12	32,5	3,9
16	160	10	31,4	4,3
		11	34,4	4,35
		12	37,4	4,39
		14	43,3	4,47
		16	49,1	4,55
		18	54,8	4,63
		20	60,4	4,7
18	180	11	38,8	4,85
		12	42,2	4,89
20	200	12	47,1	5,37
		13	50,9	5,42
		14	54,6	5,45
		16	62	5,54
		20	76,5	5,7
		25	94,3	5,89
		30	111,6	6,07
22	220	14	60,4	5,93
		16	68,6	6,02
25	250	16	78,4	6,75
		18	87,7	6,83
		20	97	6,91
		22	106,1	7
		25	119,7	7,11
		28	133,1	7,23

Таблица 26.  Международная система единиц измерения СИ.

Величина